高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充互动课堂学案 苏教版选修12.doc

3.1 数系的扩充互动课堂疏导引导1.复数概念的理解及两复数相等的条件 引进了虚数单位i之后，对于方程x2+1=0，当x=i时，x2+1=0成立，因此i是方程x2+1=0的一个根.由于i可以与实数进行四则运算，并且进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立，于是便有了形如a+bi(a、br)的数复数. 复数包括实数和虚数.两个复数相等，是指这两个复数的实部和虚部分别相等.一般地,两个复数只能说它们相等或者是不相等，而不能比较它们的大小，只有当两个复数都是实数时，才能比较它们的大小.2.各数集(复数集、实数集、虚数集、纯虚数集)之间的关系 上述四种数集之间的关系可用图来表示.如图，3.数的发展过程4.注意问题 本节内容概念较多,在理解的基础上要牢记实数、虚数、纯虚数与复数的关系,特别要明确,实数也是复数,要把复数与虚数加以区别,对于纯虚数bi(b0,br)不要只记形式,认为形如bi的数就是纯虚数,要注意br,且b0. 复数z=a+bi(a、br)是由它的实部和虚部唯一确定的.两个复数相等的充要条件是复数问题转化成实数问题的主要方法,要很好地掌握. 要明确一个复数等式可得到两个实数等式这一性质,并在解题中会应用它. 对“两个复数只能说相等或不相等,不能比较大小”的说明：(1)根据复数相等的定义知,在a=c,b=d两式中,只要有一个不成立,那么a+bic+di.(2)“不能比较大小”的确切含义是指：不论怎样定义两个复数之间的一个关系“”,都不能使这种关系同时满足实数集中大小关系的四种性质：对于任意实数a、b来说,ab,a=b,ba这三种情况有且只有一种成立;若ab,bc,则ac;若ab,则a+cb+c;若ab,c0,则acbc.规律总结1.设z=a+bi(a,br)利用复数相等转化为实数问题是解决复数问题常用的方法.2.两共轭复数在复平面内的对应点关于x轴对称，因此，它们的和为实数，差为0或纯虚数，积为实数.3.实数的共轭复数是它本身，两纯虚数的积是实数.4.数的概念扩展为复数后，实数集中的一些运算性质、概念、关系就不一定运用了.如不等式的性质、绝对值的定义、偶次方非负等等.活学巧用例1 实数k为何值时，复数(1+i)k2-(3+5i)k-2(2+3i)分别是(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数;(4)零?解：由z=(1+i)k2-(3+5i)k-2(2+3i)=(k2-3k-4)+(k2-5k-6)i.(1)当k2-5k-6=0时，zr，即k=6或k=-1.(2)当k2-5k-60时，z是虚数，即k6且k-1.(3)当时，z是纯虚数,解得k=4.(4)当时，z=0,解得k=-1.故当k=6或k=-1时，zr；当k6且k-1时，z是虚数；当k=4时，z是纯虚数；当k=-1时，z=0.点评：复数z=a+bi，a、br是复数的基本定义，由a、b的取值来确定实数、虚数和纯虚数，在解题时，关键是确定复数的实部和虚部.例2 设复数z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i,mr，当m为何值时，(1)z是实数；(2)z是纯虚数；(3)z对应的点在第二象限?解：(1)要使zr，则m=-1或m=-2， 所以当m=-1或m=-2时，z为实数.(2)要使z为纯虚数，则需即m=3.m=3时，z为纯虚数.(3)要使z对应的点位于复平面内的第二象限，则需即或.当m(-1,)(,3)时,z对应的点在第二象限.例3 已知2x-1+(y+1)i=x-y+(-x-y)i，求实数x、y的值.解：x、y为实数，2x-1、y+1、x-y、-x-y为实数. 由复数相等的定义知点评：两个复数相等时，应分清两复数的实部与虚部，然后让其实部与实部相等，虚部与虚部相等.例4 已知x是实数，y是纯虚数，且满足(2x-1)+i=y-(3-y)i，求x与y.解：设y=bi(br且b0)，代入已知条件并整理得(2x-1)+i=-b+(b-3)i. 由复数相等的条件得解得x=,y=4i.点评：一般根据复数相等的充要条件，可由一个复数等式得到两个实数等式组成的