（全国通用版）2019版高考数学一轮复习 第五单元 三角函数及其恒等变换学案 理.doc

第五单元 三角函数及其恒等变换教材复习课“三角函数及其恒等变换”相关基础知识一课过三角函数的有关概念过双基1终边相同的角所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合：s|2k，kz2弧长、扇形面积公式设扇形的弧长为l，圆心角大小为(rad)，半径为r，则l|r，扇形的面积为slr|r2.3任意角的三角函数(1)定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点p(x，y)，那么sin ，cos ，tan (x0)(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)如图中有向线段mp，om，at分别叫做角的正弦线、余弦线和正切线(3)三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦1(2018济南模拟)已知sin cos 1，则角的终边位于()a第一象限b第二象限c第三象限 d第四象限解析：选b由已知得(sin cos )21，即12sin cos 1，sin cos 0cos ，所以角的终边在第二象限2已知是第二象限角，p(x，)为其终边上一点，且cos x，则x()a. bc d解析：选d依题意得cos x0，由此解得x，选d.3若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角(0)的弧度数为()a. b.c. d2解析：选c设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为r，所以rr，故.4已知扇形的半径r10 cm，圆心角为120，则扇形的面积为_cm2.解析：因为120，由扇形的面积公式可得sr2102(cm2)答案：5在与2 010终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为_解析：2 01012，与2 010终边相同的角中绝对值最小的角的弧度数为.答案：清易错1注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90的角是概念不同的三类角第一类是象限角，第二、第三类是区间角2角度制与弧度制可利用180 rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用3已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况1下列说法正确的是()a三角形的内角必是第一、二象限角b第一象限角必是锐角c不相等的角终边一定不相同d若2k(kz)，则和终边相同答案：d2已知点p在角的终边上，且0,2)，则的值为()a. b.c. d.解析：选c因为点p在角的终边上，所以角的终边在第四象限，且tan .又0,2)，所以.3已知角的终边在直线3x4y0上，则sin cos _.解析：设终边上任一点为p(4a,3a)，当a0时，r5a，sin ，cos ；当a0时，r5a，sin ，cos .故sin cos 或.答案：三角变换公式过双基1同角三角函数的基本关系式(1)平方关系sin2cos2；(2)商数关系tan .2诱导公式组序一二三四五六角2k(kz)正弦sin sin sin sin cos cos_余弦cos cos cos cos_sin sin 正切tan tan tan tan_口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限记忆规律奇变偶不变，符号看象限3两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin()sin_cos_cos_sin_；cos()cos_cos_sin_sin_；tan().4二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 22sin_cos_；cos 2cos2sin22cos2112sin2；tan 2.1已知，tan()，则sin cos 的值是()ab.cd解析：选c由，tan()tan 0，所以，2，所以cos 20，则cos(2 0182)cos 2.2若cos，则sin 的值为()a. b.c. d.解析：选a由cos，可得sin，则sin sin.正弦、余弦、正切函数的图象与性质过双基正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数ysin xycos xytan x图象定义域rrxk，kz值域1,11,1r单调性递增区间：(kz) 递减区间：(kz)递增区间：2k，2k (kz) 递减区间：2k，2k (kz)递增区间(kz)奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心(k，0)(kz)对称中心(kz)对称中心(kz)对称轴：xk(kz)对称轴：xk(kz)周期221函数y12sin22x的最小正周期是()a. b.c. d解析：选b因为函数y12sin22xcos 4x，所以函数的最小正周期t.2若函数f(x)2sin x(01)在区间上的最大值为1，则()a. b.c. d.解析：选c因为x，所以x，又因为函数f(x)2sin x(00)的最小正周期为，则f()a1 b.c1 d解析：选a由题设知，所以2，f(x)sin，所以fsinsin 1.4(2018杭州模拟)若函数f(x)sin(0,2)是偶函数，则()a. b.c. d.解析：选c由已知f(x)sin是偶函数，可得k(kz)，即3k(kz)，又0,2，所以.5若函数f(x)sin x(0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则等于()a. b.c2 d3解析：选bf(x)sin x(0)过原点，当0x，即0x时，ysin x是增函数；当x ，即x 时，ysin x是减函数由f(x)sin x(0)在上单调递增，在上单调递减知，.清易错1正切函数的图象是由直线xk(kz)隔开的无穷多支曲线组成，单调增区间是，kz，不能说它在整个定义域内是增函数，如tan，正切函数不存在减区间2三角函数存在多个单调区间时易错用“”联结3研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易忽视“kz”这一条件1(2018石家庄一模)函数f(x)tan的单调递增区间是()a.(kz)b.(kz)c.(kz)d.(kz)解析：选b由k2xk(kz)得，x(kz)，所以函数f(x)tan的单调递增区间为(kz)2函数f(x)sin(2x)，x0,2的单调递增区间是_解析：f(x)sin(2x)sin 2x，令2k2x2k，kz，得kxk，kz，所以函数f(x)在0,2上的单调递增区间是，.答案：，函数yasin(x)的图象及应用过双基1用五点法画yasin(x)一个周期内的简图用五点法画yasin(x)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：xxyasin(x)0a0a02函数ysin x的图象变换得到yasin(x)(a0，0)的图象的步骤法一法二1函数ysin在区间上的简图是()解析：选a令x0，得ysin，排除b、d.由f0，f0，排除c，故选a.2将函数ysin 2x的图象先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的函数解析式是()aysin1 bysin1cysin1 dysin1解析：选b由题意可得函数的解析式为ysin1sin1.3.函数f(x)3sin x(0)的部分图象如图所示，点a，b是图象的最高点，点c是图象的最低点，且abc是正三角形，则f(1)f(2)f(3)的值为()a. b.c91 d.解析：选d因为abc是正三角形，所以abc的高是6，则abc的边长是12，即函数f(x)3sin x(0)的周期为12，所以，f(x)3sin x，所以f(1)f(2)f(3)3sin 3sin 3sin .4.如图是函数yasin(x)在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将ysin x(xr)的图象上所有的点()a向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变b向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变c向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变d向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变解析：选d由图象可知，a1，周期t，所以2，又sin0且0，所以，则ysin，由图象变换可知选d.清易错1由yasin x的图象得到yasin(x)的图象时，需平移的单位数应为，而不是|.2要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数1要得到函数ycos(2x1)的图象，只要将函数ycos 2x的图象()a向左平移1个单位 b向右平移1个单位c向左平移个单位 d向右平移个单位解析：选cycos(2x1)cos ，只要将函数ycos 2x的图象向左平移个单位即可2函数ycos(2x)()的图象向右平移个单位后，与函数ysin的图象重合，则_.解析：将ycos(2x)的图象向右平移个单位后得到ycos的图象，化简得ycos(2x)，又可变形为ysin.由题意可知2k(kz)，所以2k(kz)，结合0)的最小正周期为，则该函数的图象()a关于直线x对称 b关于点对称c关于直线x对称 d关于点对称解析：选bf(x)sin(0)的最小正周期为，2，即f(x)sin.经验证可知fsinsin 0，即是函数f(x)的一个对称点7将函数y3sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数()a在区间上单调递减b在区间上单调递增c在区间上单调递减d在区间上单调递增解析：选b平移后的函数为y3sin3sin，增区间：2k2x2k，kz，即kxk，kz，令k0时，x，故所得图象对应的函数在上单调递增，在上不单调，故选b.8.(2018河北衡水中学调研)已知函数f(x)acos(x)(a0，0)的部分图象如图所示，下面结论错误的是()a函数f(x)的最小正周期为b函数f(x)的图象可由g(x)acos x的图象向右平移个单位长度得到c函数f(x)的图象关于直线x对称d函数f(x)在区间上单调递增解析：选d函数的最小正周期t2，选项a正确；由t得3.又facos0，所以k(kz)又facosasin ，所以sin 0，2k(kz)，即f(x)acos，函数g(x)acos 3x的图象向右平移个单位长度得到的图象对应的函数的解析式为ygacosacosf(x)，选项b正确；当x时，f(x)a，因此函数f(x)的图象关于直线x对称，选项c正确；当x时，3x，故函数f(x)在上不是单调递增的，选项d错误二、填空题9函数f(x)sin x4sin3cos的最小正周期为_解析：f(x)sin x2sin2sin xsin xcos xsin 2x，所以函数的最小正周期t.答案：10在平面直角坐标系xoy中，以x轴为始边作锐角，它的终边与单位圆相交于点a，且点a的横坐标为，则tan的值为_解析：由题意知cos ，因为为锐角，所以cos ，sin ，所以tantan.答案：11已知函数yasin(x)的部分图象如图所示，则_.解析：由图象知a1，t4，故2，再由2，得.答案：12函数f(x)log2的最大值为_解析：因为sin xcos xsin(0，又因为函数ylog2x是增函数，所以，当时，函数f(x)log2 取得最大值为.答案：三、解答题13设函数f(x)3sin的最小正周期为.(1)求f(x)的解析式；(2)利用“五点作图法”，画出f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图；(3)已知f，求cos 的值解：(1)t4，f(x)3sin.(2)列表：4x02xf(x)03030图象如图所示：(3)f3sin3sin3cos ，cos .14已知向量m，n，记f(x)mn.(1)若f(x)1，求cos的值；(2)在锐角abc中，(2ac)cos bbcos c，求f(2a)的取值范围解：(1)f(x)mnsin cos cos2sin cossin，由f(x)1，得sin，所以cos12sin2.(2)因为(2ac)cos bbcos c，由正弦定理得(2sin asin c)cos bsin bcos c，所以2sin acos bsin ccos bsin bcos c，所以2sin acos bsin(bc)，因为abc，所以sin(bc)sin a，且sin a0，所以cos b，又0b，所以b.则ac，ac，又0c，0a，则a，得a，所以0)图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为.(1)求a和的值；(2)求函数f(x)在0，上的单调递减区间解：(1)f(x)4cos xsina4cos xsin xcos xa2sin xcos x2cos2x11asin 2xcos 2x1a2sin2x1a.当sin1时，f(x)取得最大值21a3a，又f(x)图象上最高点的纵坐标为2，3a2，a1.又f(x)图象上相邻两个最高点的距离为，f(x)的最小正周期t，22，1.(2)由(1)得f(x)2sin，由2k2x2k，kz，得kxk，kz.令k0，得x，函数f(x)在0，上的单调递减区间为.高考研究课(一)三角函数的3个基本考点定义、公式和关系全国卷5年命题分析考点考查频度考查角度三角函数的定义5年2考用三角函数的定义求值同角三角函数基本关系式5年2考求值诱导公式5年1考变角求值三角函数的定义典例(1)点p从(1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动 弧长到达点q，则点q的坐标为_(2)已知角的终边上一点p(，m)(m0)，且sin ，求cos ，tan 的值解析(1)设点a(1,0)，点p从(1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动 弧长到达点q，则aoq2(o为坐标原点)，所以xoq，cos，sin，所以点q的坐标为.答案：(2)由题设知x，ym，r2|op|22m2(o为原点)，r.sin ，r2，即3m28，解得m.当m时，r2，x，y，cos ， tan ；当m时，r2，x，y，cos ， tan .方法技巧(1)已知角的某三角函数值，可求角终边上一点p的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值(2)已知角的终边所在的直线方程或角的大小，根据三角函数的定义可求角终边上某特定点的坐标即时演练1已知角终边与单位圆x2y21的交点为p，则sin()a b.c d1解析：选a因为角终边与单位圆x2y21的交点为p，所以cos ，所以sincos 22cos21.2在平面直角坐标系中，点m(3，m)在角的终边上，点n(2m，4)在角的终边上，则m()a6或1 b1或6c6 d1解析：选a由题意得，tan ，tan，m6或1.诱导公式典例(1)(2018淄博模拟)已知sin，则cos_；(2)化简：_.解析(1)coscoscoscos，而sinsincos，所以cos.(2)原式1.答案(1)(2)1方法技巧利用诱导公式化简三角函数的思路和要求思路方法：(1)分析结构特点，选择恰当公式；(2)利用公式化成单角三角函数；(3)整理得最简形式化简要求：(1)化简过程是恒等变形；(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值 即时演练1已知函数f(x)asin(x)bcos(x)，且f(4)3，则f(2 017)的值为()a1 b1c3 d3解析：选df(4)asin(4)bcos(4)asin bcos 3，f(2 017)asin(2 017)bcos(2 017)asin()bcos()asin bcos (asin bcos )3.即f(2 017)3.2已知sin 是方程5x27x60的根，是第三象限角，则tan2()_.解析：方程5x27x60的根为或2，又是第三象限角，sin ，cos ，tan ，原式tan2tan2.答案：同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系是三角变换的基础，也是高考命题的热点，难度不大，属低档题.,常见的命题角度有：(1)知弦求弦、切问题；(2)知切求弦问题；(3)sin cos ，sin cos 的关系应用问题；(4)已知tan ，求f(sin ，cos )值问题.角度一：知弦求弦、切问题1已知cos k，则sin()()a b.c dk解析：选a由cos k，得sin ，sin()sin ，故选a.2已知sin，(0，)，则cos ()a. bc. d解析：选d因为(0，)，所以，又因为sin，所以，即，则cos .角度二：知切求弦问题3已知tan()，且，则sin()a. bc. d解析：选b由tan()，得tan ，又因为，所以为第三象限角，所以sin ，cos .所以sincos .角度三：sin cos ，sin cos 的关系应用问题4(2018揭阳模拟)已知sin cos ，且，则cos sin 的值为()a b.c d.解析：选b，cos 0，sin 0且|cos |sin |，cos sin 0，又(cos sin )212sin cos 12，cos sin .5已知sin()cos()，则sin cos _.解析：由sin()cos()，得sin cos ，将式子两边平方得12sin cos ，故2sin cos .(sin cos )212sin cos 1.又，sin 0，cos 0.sin cos .答案：角度四：已知tan ，求f(sin ，cos )值问题6已知是三角形的内角，且tan ， 则sin cos _.解析：由tan ，得sin cos ，将其代入 sin2cos21，得cos21，cos2，易知cos 0，cos ， sin ，故 sin cos .答案：7已知tan()2，tan()3，则的值为_解析：.答案：方法技巧同角三角函数基本关系式的应用技巧技巧解读适合题型切弦互化主要利用公式tan 化成正弦、余弦，或者利用公式tan 化成正切表达式中含有sin ，cos 与tan “1”的变换1sin2cos2cos2(1tan2)tan(sin cos )22sin cos 表达式中需要利用“1”转化和积转换利用(sin cos )212sin cos 的关系进行变形、转化表达式中含有sin cos 或sin cos 1(2016全国卷)若tan ，则cos22sin 2()a.b.c1 d.解析：选a因为tan ，所以cos22sin 2.2(2014大纲卷)已知角的终边经过点(4,3)，则cos ()a. b.c d解析：选d记p(4,3)，则x4，y3，r|op|5，故cos .3(2014全国卷)若tan 0，则()asin 20 bcos 0csin 0 dcos 20解析：选a由tan 0，可得的终边在第一象限或第三象限，此时sin 与cos 同号，sin 22sin cos 0，故选a. 4(2016全国卷)已知是第四象限角，且sin，则tan_.解析：由题意知sin，是第四象限角，所以cos0，所以cos .tantan.答案：一、选择题1.如图，圆o与x轴的正半轴的交点为a，点b，c在圆o上，且b，点c在第一象限，aoc，bc1，则cos()abc. d.解析：选b由已知可得ob1，即圆o的半径为1，又因为bc1，所以obc是等边三角形，所以coscossinsinboa.2(2018江西六校联考)点a(sin 2 018，cos 2 018)位于()a第一象限 b第二象限c第三象限 d第四象限解析：选c因为sin 2 018sin(1118038)sin 380，cos 2 018cos(1118038)cos 380，所以点a(sin 2 018，cos 2 018)位于第三象限3若sin cos ，则tan 的值是()a2 b2c2 d.解析：选btan 2.4(2018江西五校联考)()a bc. d.解析：选d原式.5已知a(xa，ya)是单位圆(圆心在坐标原点o)上任意一点，将射线oa绕o点逆时针旋转30，交单位圆于点b(xb，yb)，则xayb的取值范围是()a2,2 b，c1,1 d.解析：选c设沿x轴正方向逆时针旋转到射线oa的角为，根据三角函数的定义得xacos ，ybsin(30)，所以xaybcos sin(30)sin cos sin(150)1,16(2018日照模拟)已知0，sin cos ，则的值为()a. b.c. d.解析：选csin cos ，1sin 2，即sin 2，又0.cos sin ，.二、填空题7若tan 3，则_.解析：因为tan 3，所以2.答案：28(2018枣庄模拟)已知cosa(|a|1)，则cossin的值是_解析：由题意知，coscoscosa.sinsincosa，cossin0.答案：09(2018成都一诊)在直角坐标系xoy中，已知任意角以坐标原点o为顶点，以x轴的非负半轴为始边，若其终边经过点p(x0，y0)，且opr(r0)，定义：sicos ，称“sicos ”为“的正余弦函数”，若sicos 0，则sin_.解析：因为sicos 0，所以y0x0，所以的终边在直线yx上，所以当2k，kz时，sinsincos；当2k，kz时，sinsincos.综上得sin.答案：三、解答题10已知角的终边在直线y3x上，求10sin 的值解：设终边上任一点为p(k，3k)，则r|k|.当k0时，rk，sin ，10sin 330；当k0时，rk，sin ，10sin 330.综上，10sin 0.11已知cos(7)，求sin(3)tan的值解：cos(7)cos(7)cos()cos ，cos .sin(3)tansin()sin tansin sin cos .12已知为第三象限角，f().(1)化简f()；(2)若cos，求f()的值解：(1)f()cos .(2)cos，sin ，从而sin .又为第三象限角，cos ，f()cos .1若sin()cos cos()sin m，且为第三象限角，则cos 的值为()a. bc. d解析：选b因为msin()cos cos()sin sin()sin()，所以sin m.因为为第三象限角，所以cos .2化简(nz)的结果为_解析：当n为偶数，即n2k(kz)时，原式sin2x；当n为奇数，即n2k1(kz)时，原式sin2x，故化简的结果为sin2x.答案：sin2x高考研究课(二)三角函数的1个常考点图象与性质全国卷5年命题分析考点考查频度考查角度三角函数的图象与性质5年3考由单调性求参数、求单调区间与周期、对称性问题，三角函数性质的综合问题三角函数的定义域、值域典例(1)函数ylg(2sin x1)的定义域是_(2)函数y2sin(0x9)的最大值与最小值之和为_(3)函数f(x)cos2xsin x的值域为_解析(1)要使函数ylg(2sin x1)有意义，则即解得2kx0，函数f(x)sin在上是减函数，则的取值范围是_解析：由x，得x，由题意知2k，2k(kz)且2，则且02，故.答案：2函数f(x)sin xcos xcos2x的递减区间是_解析：f(x)sin xcos xcos2xsin 2x(cos 2x1)sin，由2k2x2k，kz，可得kxk，kz，所以函数f(x)的递减区间是，kz.答案：，kz三角函数的周期性、奇偶性及对称性 正、余弦函数的图象即是中心对称图形，又是轴对称图形.正切函数的图象只是中心对称图形，应把三角函数的对称性与奇偶性结合，体会二者的统一.常见的考查角度有：(1)三角函数的周期性；(2)三角函数的奇偶性；(3)三角函数的对称性；(4)三角函数性质的综合应用.角度一：三角函数的周期性1(2016山东高考)函数f(x)(sin xcos x)(cos xsin x)的最小正周期是()a. bc. d2解析：选b法一：f(x)(sin xcos x)(cos xsin x)44sincos2sin，t.法二：f(x)(sin xcos x)(cos xsin x)3sin xcos xcos2xsin2xsin xcos xsin 2xcos 2x2sin，t.故选b.2已知函数f(x)3sin xcos x4cos2x(0)的最小正周期为，且f()，则f()a bc d解析：选bf(x)sin 2x2cos 2x2，因为函数f(x)的最小正周期为，所以1，又f()sin 22cos 22，即sin 22cos 2，则fsin(2)2cos(2)2sin 22cos 22.角度二：三角函数的奇偶性3已知函数f(x)sin(x) cos(x)是偶函数，则的值为()a0 b.c. d.解析：选b据已知可得f(x)2sin，若函数为偶函数，则必有k(kz)，又由于，故有，解得，经代入检验符合题意方法技巧若f(x)asin(x)为偶函数，则k(kz)，同时，当x0时，f(x)取得最大或最小值；若f(x)asin(x)为奇函数，则k(kz)，同时，当x0时，f(x)0.角度三：三角函数的对称性4若函数f(x)sin(2x)cos(2x)(0)的图象关于对称，则函数f(x)在上的最小值是()a1 bc d解析：选bf(x)sin(2x)cos(2x)2sin，则由题意，知f2sin0，又00)的导数f(x)的最大值为3，则f(x)的图象的一条对称轴的方程是()ax bxcx dx解析：选af(x)cos，因为导数f(x)的最大值为3，所以3，则f(x)sin1，令3xk，kz，得x，kz，令k0，可得x，故选a.方法技巧对于函数yasin(x)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线xx0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断角度四：三角函数性质的综合应用6已知函数f(x)cos(xr)，下列结论错误的是()a函数f(x)的最小正周期为b函数f(x)图象关于点对称c函数f(x)在区间上是减函数d函数f(x)的图象关于直线x对称解析：选c函数f(x)cos的最小正周期为，且f0，f，则函数f(x)图象关于点对称，函数f(x)的图象关于直线x对称，因此a、b、d正确，令2k2x2k，kz，得kxk，kz，所以f(x)在区间上不单调，故c错误7(2018福建连城模拟)已知函数f(x)2sin2cos 2x.(1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)若当x时，关于x的方程f(x)m2有解，求实数m的取值范围解：(1)f(x)2sin2cos 2x1coscos 2x2sin1，则函数f(