（全国通用版）2019版高考数学一轮复习 第十四单元 椭圆、双曲线、抛物线 高考达标检测（四十）轨迹方程求解3方法——直接法、定义法、代入法 理.doc

高考达标检测（四十） 轨迹方程求解3方法直接法、定义法、代入法一、选择题1(2018深圳调研)已知点f(0,1)，直线l：y1，p为平面上的动点，过点p作直线l的垂线，垂足为q，且，则动点p的轨迹方程为()ax24y by23xcx22y dy24x解析：选a设点p(x，y)，则q(x，1)，(0，y1)(x,2)(x，y1)(x，2)，即2(y1)x22(y1)，整理得x24y，动点p的轨迹方程为x24y.2(2018呼和浩特调研)已知椭圆1(ab0)，m为椭圆上一动点，f1为椭圆的左焦点，则线段mf1的中点p的轨迹是()a圆 b椭圆c双曲线 d抛物线解析：选b设椭圆的右焦点是f2，由椭圆定义可得|mf1|mf2|2a2c，所以|pf1|po|(|mf1|mf2|)ac，所以点p的轨迹是以f1和o为焦点的椭圆3已知正方形的四个顶点分别为o(0,0)，a(1,0)，b(1,1)，c(0,1)，点d，e分别在线段oc，ab上运动，且|od|be|，设ad与oe交于点g，则点g的轨迹方程是()ayx(1x)(0x1)bxy(1y)(0y1)cyx2(0x1)dy1x2(0x1)解析：选a设d(0，)，e(1,1)，01，所以线段ad的方程为x1(0x1)，线段oe的方程为y(1)x(0x1)，联立方程组(为参数)，消去参数得点g的轨迹方程为yx(1x)(0x1)4.(2018安徽六安一中月考)如图，已知f1，f2是椭圆：1(ab0)的左、右焦点，p是椭圆上任意一点，过f2作f1pf2的外角的角平分线的垂线，垂足为q，则点q的轨迹为()a直线 b圆c椭圆 d双曲线解析：选b延长f2q与f1p的延长线交于点m，连接oq.因为pq是f1pf2的外角的角平分线，且pqf2m，所以在pf2m中，|pf2|pm|，且q为线段f2m的中点又o为线段f1f2的中点，由三角形的中位线定理，得|oq|f1m|(|pf1|pf2|)由椭圆的定义，得|pf1|pf2|2a，所以|oq|a，所以点q的轨迹为以原点为圆心，半径为a的圆5已知a(0,7)，b(0，7)，c(12,2)，以c为一个焦点作过a，b的椭圆，椭圆的另一个焦点f的轨迹方程是()ay21(y1) by21cy21 dx21解析：选a由题意，得|ac|13，|bc|15，|ab|14，又|af|ac|bf|bc|，|af|bf|bc|ac|2，故点f的轨迹是以a，b为焦点，实轴长为2的双曲线的下支c7，a1，b248，点f的轨迹方程为y21(y1)6(2018梅州质检)动圆m经过双曲线x21的左焦点且与直线x2相切，则圆心m的轨迹方程是()ay28x by28xcy24x dy24x解析：选b双曲线x21的左焦点f(2,0)，动圆m经过点f且与直线x2相切，则圆心m到点f的距离和到直线x2的距离相等，由抛物线的定义知轨迹是抛物线，其方程为y28x.二、填空题7已知f是抛物线yx2的焦点，p是该抛物线上的动点，则线段pf中点的轨迹方程是_解析：因为抛物线x24y的焦点f(0,1)，设线段pf的中点坐标是(x，y)，则p(2x,2y1)在抛物线x24y上，所以(2x)24(2y1)，化简得x22y1.答案：x22y18已知圆的方程为x2y24，若抛物线过点a(1,0)，b(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程是_解析：设抛物线焦点为f，过a，b，o作准线的垂线aa1，bb1，oo1，则|aa1|bb1|2|oo1|4，由抛物线定义得|aa1|bb1|fa|fb|，|fa|fb|4，故f点的轨迹是以a，b为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)所以抛物线的焦点轨迹方程为1(y0)答案：1(y0)9(2018河北定州中学测试)已知a(1,2)，b(1,2)，动点p满足，若双曲线 1(a0，b0)的渐近线与动点p的轨迹没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是_解析：由，可得动点p的轨迹方程为x2(y2)21，易知双曲线的一条渐近线方程为yx，由题意知圆心(0,2)到渐近线的距离大于半径1，所以1，即3a2b2，又b2c2a2，所以离心率e1，所以1eb0)的一个焦点为(，0)，离心率为.(1)求椭圆c的方程；(2)若动点p(x0，y0)为椭圆c外一点，且点p到椭圆c的两条切线相互垂直，求点p的轨迹方程解：(1)依题意得，c，e，因此a3，b2a2c24，故椭圆c的方程是1.(2)若两切线的斜率均存在，设过点p(x0，y0)的切线方程是yk(xx0)y0，则由得1，即(9k24)x218k(y0kx0)x9(y0kx0)240，18k(y0kx0)236(9k24)(y0kx0)240，整理得(x9)k22x0y0ky40.又所引的两条切线相互垂直，设两切线的斜率分别为k1，k2，于是有k1k21，即1，故xy13(x03)若两切线中有一条斜率不存在，则易得或或或经检验知均满足xy13.因此，动点p(x0，y0)的轨迹方程是x2y213.11已知圆m：(x1)2y21，圆n：(x1)2y29，动圆p与圆m外切并且与圆n内切，圆心p的轨迹为曲线c.(1)求c的方程；(2)l是与圆p，圆m都相切的一条直线，l与曲线c交于a，b两点，当圆p的半径最长时，求|ab|.解：由已知得圆m的圆心坐标为m(1,0)，半径r11；圆n的圆心为n(1,0)，半径r23.设圆p的圆心坐标为p(x，y)，半径为r.(1)因为圆p与圆m外切并且与圆n内切，所以|pm|pn|(rr1)(r2r)r1r24.由椭圆的定义可知，曲线c是以m，n为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为1(x2)(2)对于曲线c上任意一点p(x，y)，由于|pm|pn|2r22，所以r2，当且仅当圆p的圆心为(2,0)时，r2.所以当圆p的半径最长时，其方程为(x2)2y24.若l的倾斜角为90，则l与y轴重合，可得|ab|2.若l的倾斜角不为90，由r1r，知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为q，则，可求得q(4,0)，所以可设l：yk(x4)，由l与圆m相切得1，解得k.当k时，yx代入1，并整理得7x28x80，解得x1,2.所以|ab|x2x1|.当k时，由图形的对称性可知|ab|.综上，|ab|2或|ab|.12在平面直角坐标系xoy中，a，b两点的坐标分别为(0,1)，(0，1)，动点p满足直线ap与直线bp的斜率之积为，直线ap，bp与直线y2分别交于点m，n.(1)求动点p的轨迹方程；(2)求线段mn的最小值；(3)以线段mn为直径的圆是否经过某定点？若经过定点，求出定点的坐标；若不经过定点，请说明理由解：(1)已知a(0,1)，b(0，1)，设动点p的坐标为(x，y)，则直线ap的斜率k1，直线bp的斜率k2(x0)，又k1k2，即y21(x0)(2)设直线ap的方程为y1k1(x0)，直线bp的方程为y1k2(x0)，由得m.由得n.k1k2，|mn|24，当且仅当4|k1|，即k1时等号成立，线段mn长的最小值为4.(3)设点q(x，y)是以线段mn为直径的圆上的任意一点，则0，即(y2)(y2)0，又k1k2，故以线段mn为直径的圆的方程为x2x(y2)2120，令x0，得(y2)212，解得y22，以线段mn为直径的圆经过定点(0，22)或(0，22)在平面直角坐标系中，动圆经过点m(0，t2)，n(0，t2)，p(2,0)其中tr.(1)求动圆圆心e的轨迹方程；(2)过点p作直线l交轨迹e于不同的两点a，b，直线oa与直线ob分别交直线x2于两点c，d，记acd与bcd的面积分别为s1，s2.求s1s2的最小值解：(1)设动圆的圆心为e(x，y)，则|pe|22x2，即(x2)2y24x2，y24x.即动圆圆心e的轨迹方程为y24x.(2)当直线ab的斜率不存在时，abx轴，此时，a(2，2)，b(2，2)，|ab|cd|4，s1s2448，s1s216.当直线ab的斜率存在时，设直线ab的斜率为k，直线ab的方程是yk(x2)，k0.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，联立方程消去y，得k2x24(k21)x4k20，16(2k21)0，x1x2，x1x24