（全国通用版）2019版高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何单元过关检测 文.doc

第八章 平面解析几何单元过关检测(八) (120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.过点(-1,3)且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为()a.2x+y-1=0b.2x+y-5=0c.x+2y-5=0d.x-2y+7=0 【解析】选a.设所求直线方程为2x+y+m=0,因为经过点(-1,3),所以2(-1)+3+m=0,所以m=-1,所以所求直线方程为2x+y-1=0.2.已知p1(a1,b1)与p2(a2,b2)是直线y=kx+1(k为常数)上两个不同的点,则关于x和y的方程组的解的情况是()a.无论k,p1,p2如何,总是无解b.无论k,p1,p2如何,总有唯一解c.存在k,p1,p2,使之恰有两解d.存在k,p1,p2,使之有无穷多解【解析】选b.由题意,直线y=kx+1一定不过原点o,p,q是直线y=kx+1上不同的两点,则与不平行,因此a1b2-a2b10,所以二元一次方程组一定有唯一解. 3.点p(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是()a.(x-2)2+(y+1)2=1b.(x-2)2+(y+1)2=4c.(x+4)2+(y-2)2=4d.(x+2)2+(y-1)2=1【解析】选a.设圆上任意一点n(x0,y0),线段pn的中点m(x,y).由中点坐标公式,得x=,y=,化简得x0=2x-4,y0=2y+2.因为点n(x0,y0)在圆x2+y2=4上运动,所以+=4,即(2x-4)2+(2y+2)2=4,化简得(x-2)2+(y+1)2=1.【变式备选】当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点c,则以c为圆心,半径为的圆的方程为()a.x2+y2-2x+4y=0b.x2+y2+2x+4y=0c.x2+y2+2x-4y=0d.x2+y2-2x-4y=0【解析】选c.该直线可整理为a(x+1)+(-x-y+1)=0,故定点c为(-1,2),所求圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=5,即x2+y2+2x-4y=0.4.圆x2+y2-2x-1=0关于直线2x-y+3=0对称的圆的方程是()a.(x+3)2+(y-2)2=b.(x-3)2+(y+2)2=c.(x+3)2+(y-2)2=2d.(x-3)2+(y+2)2=2【解析】选c.圆x2+y2-2x-1=0(x-1)2+y2=2,圆心(1,0),半径,关于直线2x-y+3=0对称的圆半径不变,排除a,b,两圆圆心连线段的中点在直线2x-y+3=0上,c中圆(x+3)2+(y-2)2=2的圆心为(-3,2),验证适合.5.已知点a(-1,0),点b是圆f:x2-2x+y2-11=0(f为圆心)上一动点,线段ab的垂直平分线交bf于点p,则动点p的轨迹方程为()a.+=1b.-=1c.-=1d.+=1【解析】选d.由题意可知|pa|+|pf|=|bf|=2,所以动点p的轨迹是以a,f为焦点,以2为长轴长的椭圆,所以它的轨迹方程为+=1. 6.若直线+=1通过点m(cos ,sin ),则 ()a.a2+b21b.a2+b21c.+1d.+1 【解析】选d.因为直线+=1通过点m(cos ,sin ),所以+=1,所以+=+2=1.7.过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于a,b两点,它们的横坐标之和等于5,则这样的直线()a.有且仅有一条b.有且仅有两条c.有无穷多条d.不存在【解析】选b.y2=4x的焦点是(1,0),设直线方程为y=k(x-1),k0,(1)将(1)代入抛物线方程可得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,x显然有两个实根,且都大于0,它们的横坐标之和是=53k2=4k=. 8.已知双曲线-=1(a0,b0)的左右焦点分别为f1,f2,p为右支上一点,点q满足=1(10)且|=2a,=2,=0,则|ot|的值为()a.4ab.2ac.ad.【解析】选c.由题知q,f1,p三点共线,f2,t,q三点共线.因为|pf1|-|pf2|=2a=|f1q|,所以|pq|=|pf2|,又ptqf2,所以t为等腰三角形qpf2底边qf2的中点,连接ot,则ot为f1qf2的中位线,所以|ot|=a.9.如图f1,f2是椭圆c1:+y2=1与双曲线c2的公共焦点,a,b分别是c1,c2在第二、四象限的公共点,若四边形af1bf2为矩形,则c2的离心率是 ()a.b.c.d.【解析】选d.因为f1,f2是椭圆c1:+y2=1与双曲线c2的公共焦点,所以c=, 由椭圆、双曲线的定义可知|af1|+|af2|=4,|af2|-|af1|=2a,所以|af2|=2+a, |af1|=2-a,又因为四边形af1bf2为矩形,所以af1af2,所以(2+a)2+(2-a)2= (2)2,解得a=,所以c2的离心率是e=.10.已知抛物线c:y2=2px(0p4)的焦点为f,点p为抛物线c上一动点,a(4,0), b(p,p),且|pa|的最小值为,则|bf|等于()a.4b.c.5d.【解析】选b.设点p(x,y),所以|pa|=,因为0p0,所以当且仅当x=-(p-4)时,|pa|取得最小值,所以16-(p-4)2=15,解得p=3,所以抛物线的焦点为f,b(3,3),所以|bf|=.11.已知双曲线x2-=1的左顶点为a1,右焦点为f2,p为双曲线右支上一点,则的最小值为()a.-2b.-c.1d.0【解析】选a.设点p(x,y),其中x1.依题意得a1(-1,0),f2(2,0),则有=x2-1,y2=3(x2-1),=(-1-x,-y)(2-x,-y)=(x+1)(x-2)+y2=x2+3(x2-1)-x-2=4x2-x-5=4-,其中x1.因此,当x=1时,取得最小值-2.12.已知以t=4为周期的函数f(x)=其中m0.若方程3f(x)=x恰有5个实数解,则m的取值范围为 ()a.b.c.d. 【解析】选b.令y=f(x).因为当x-1,1时,将函数化为方程x2+=1(y0),实质上为一个半椭圆,其图象如图所示,同时在坐标系中作出当x(1,3的图象,再根据周期性作出函数其他部分的图象,由图易知直线y=与第二个半椭圆(x-4)2+=1(y0)相交,而与第三个半椭圆(x-8)2+=1(y0)无公共点时,方程恰有5个实数解,将y=代入(x-4)2+=1(y0)得(9m2+1)x2-72m2x+135m2=0,令t=9m2(t0)则(t+1)x2-8tx+15t=0,由1=(-8t)2-415t(t+1)0,得t15,且m0得m.同样由y=与第三个半椭圆(x-8)2+=1(y0)无公共点,由20可计算mb0)的左焦点,若椭圆上存在点p,使得直线pf与圆x2+y2=b2相切,当直线pf的倾斜角为时,此椭圆的离心率是_.【解析】设直线pf与圆x2+y2=b2的切点为m,则依题意得ommf,因为直线pf的倾斜角为,所以ofp=,所以sin=,椭圆的离心率e=.答案:【一题多解】依题意可知pf:y=-(x+c),又o到pf的距离为b,即=b,所以=b2=a2-c2,所以4a2=7c2,所以e=.答案:14.已知f为双曲线c:-=1的左焦点,p,q为c上的点,若pq的长等于虚轴长的2倍,点a(5,0)在线段pq上,则pqf的周长为_.【解析】由题意可知|pq|=16,因为f,a分别是左右焦点,所以由双曲线的定义得pqf的周长为|pf|+|qf|+|pq|=23+|qa|+23+|pa|+|pq|=12+216=44.答案:4415.已知抛物线y2=8x的准线过双曲线-=1(a0,b0)的一个焦点, 且双曲线的离心率为2, 则该双曲线的方程为_.【解析】抛物线y2=8x的准线为x=-2,所以双曲线-=1(a0,b0)的一个焦点为(-2,0),c=2,因为双曲线的离心率为2,所以e=2,所以a=1,b=,所以双曲线的方程为x2-=1.答案:x2-=116.设直线系m:xcos +(y-2)sin =1(02),对于下列四个命题:m中所有直线均经过一个定点;存在定点p不在m中的任一条直线上;对于任意整数n(n3),存在正n边形,其所有边均在m中的直线上;m中的直线所能围成的正三角形面积都相等.其中真命题的序号是_(写出所有真命题的序号).【解析】对于,由已知点(cos ,2+sin )总在直线系上,但是这个点不是定点,所以错误;对于,点p(0,2)不在m中的任一条直线上,所以真;对于,定点p(0,2)到直线系m:xcos +(y-2)sin =1(02)的距离为d=1,这就是说圆x2+(y-2)2=1与直线系m:xcos +(y-2)sin =1(02)总相切,所以存在正n边形,其所有边均在m中直线上,使这正n边形的内切圆为这个圆,所以正确;对于,由可知m中的直线所能围成的正三角形的边长不一定相等,所以面积不一定相等.答案:三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)圆m和圆p:x2+y2-2x-10=0相内切,且过定点q(-,0).(1)求动圆圆心m的轨迹方程.(2)斜率为的直线l与动圆圆心m的轨迹交于a,b两点,且线段ab的垂直平分线经过点,求直线l的方程.【解析】(1)由已知|mp|=2-|mq|,即|mp|+|mq|=2,且2大于|pq|,所以m的轨迹是以(-,0),(,0)为焦点,2为长轴长的椭圆,其方程为+y2=1.(2)设a(x1,y1),b(x2,y2),直线l的方程为y=x+m,代入椭圆方程得10x2+6mx+3m2-3=0,所以x1+x2=-m,则ab的中点为,ab的垂直平分线方程为y-m=-,将代入得m=,所以直线l的方程为y=x+.18.(12分)(2017江苏高考)如图,在平面直角坐标系xoy中,椭圆e:+ =1(ab0)的左、右焦点分别为f1, f2,离心率为,两准线之间的距离为8.点p在椭圆e上,且位于第一象限,过点f1作直线pf1的垂线l1,过点f2作直线pf2的垂线l2. (1)求椭圆e的标准方程.(2)若直线l1,l2的交点q在椭圆e上,求点p的坐标.【解析】(1)设椭圆的半焦距为c. 因为椭圆e的离心率为,两准线之间的距离为8,所以=,=8, 解得a=2,c=1,于是b=, 因此椭圆e的标准方程是+=1.(2)由(1)知,f1(-1,0),f2(1,0).设p(x0,y0),因为点p为第一象限的点,故x00,y00.当x0=1时,l2与l1相交于f1,与题设不符.当x01时,直线pf1的斜率为,直线pf2的斜率为.因为l1pf1,l2pf2,所以直线l1的斜率为-,直线l2的斜率为-,从而直线l1的方程为:y=-(x+1), 直线l2的方程为:y=-(x-1). 由,解得x=-x0,y=,所以q.因为点q在椭圆上,由对称性,得=y0,即-=1或+=1.又p在椭圆e上,故+=1.由解得x0=,y0=;无解.因此点p的坐标为.19.(12分)已知椭圆e:+=1(ab0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点,直线l:y=-x+3与椭圆e有且只有一个公共点t. (1)求椭圆e的方程及点t的坐标.(2)设o是坐标原点,直线l平行于ot,与椭圆e交于不同的两点a,b,且与直线l交于点p.证明:存在常数,使得|pt|2=|pa|pb|,并求的值.【解题指南】(1)利用直线和椭圆只有一个公共点,联立方程,方程由两个相等的实根,解出b2的值,从而得出椭圆的标准方程.(2)利用椭圆的几何性质,数形结合及根与系数的关系,进行求解.【解析】(1)由已知得,a=b,则椭圆e的方程为+=1,由方程组得3x2-12x+(18-2b2)=0,方程根的判别式为=24(b2-3),由=0,得b2=3,此方程的解为x=2,所以椭圆e的方程为+=1.点t的坐标为(2,1).(2)由已知可设直线l的方程为y=x+m(m0),由可得3x2+4mx+(4m2-12)=0,所以=16(9-2m2)0,解得-m且m0,设点a,b的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),由得x1+x2=-,x1x2=.所以|pa|=,同理|pb|=,所以|pa|pb|=|-+|=m2,由得p点坐标为,所以|pt|2=+=m2.故存在常数=,使得|pt|2=|pa|pb|.20.(12分)已知椭圆x2+2y2=1,过原点的两条直线l1和l2分别与椭圆交于a,b和c,d,记得到的平行四边形abcd的面积为s. (1)设a(x1,y1),c(x2,y2),用a,c的坐标表示点c到直线l1的距离,并证明s=2|x1y2-x2y1|.(2)设l1与l2的斜率之积为-,求面积s的值.【解析】(1)直线l1:y1x-x1y=0,点c到l1的距离d=.|ab|=2|oa|=2,所以s=2sabc=2|ab|d=2|x1y2-x2y1|.(2)设l1:y=kx,则l2:y=-x.设a(x1,y1),c(x2,y2).由得=.同理=.由(1),s=2|x1y2-x2y1|=2=|x1x2|=,整理得s=.21.(12分)在平面直角坐标系xoy中,对于直线l:ax+by+c=0和点p1(x1,y1), p2(x2,y2),记=(ax1+by1+c)(ax2+by2+c).若0,则称点p1,p2被直线l分隔.若曲线c与直线l没有公共点,且曲线c上存在点p1,p2被直线l分隔,则称直线l为曲线c的一条分隔线. (1)求证:点a(1,2),b(-1,0)被直线x+y-1=0分隔.(2)若直线y=kx是曲线x2-4y2=1的分隔线