（春季拔高课程）2017-2018年九年级数学 第12讲 几何问题探究—其它类型问题教案.doc

几何问题探究其它类型问题知识点相似三角形的性质与判定；相似三角形的综合；三角函数；教学目标熟练掌握图形相似的证明方法；教学重点能够灵活的运用图形的性质去证明与三角函数、角等相关问题；教学难点灵活运用相似、旋转、全等证明方法探究与三角函数、角等相关问题；教学过程一、课堂导入几何在初中数学中占有相当的比重，在全国各地的中考数学试卷中图形与几何的探究问题占到20%到30%的比重。主要考查了图形的一些基本性质，借助图形的变换（平移变换、旋转变换、轴对称变换、相似变换）进行线段和角的一些相关问题的探讨，主要考查了学生的观察能力、空间想象能力、动手操作能力以及所学几何基础知识的灵活运用能力。解决几何综合问题，是需要厚积而薄发，所谓的“几何感觉”，是建立在足够的知识积累的基础上的，熟悉基本图形及常用的辅助线，在遇到特定条件时能够及时联想到对应的模型，找到“新”问题与“旧“模型间的关联，明确努力方向，才能进一步探究综合问题。注重对基本模型及辅助线的积累是非常必要的。二、复习预习相似三角形的概念及性质1. 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形相似用符号“”表示，读作“相似于” 相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)相似三角形对应角相等，对应边成比例注： 对应性：即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边 顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的 两个三角形形状一样，但大小不一定一样 全等三角形是相似比为1的相似三角形二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例2. 相似三角形的性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比(3)相似三角形周长的比等于相似比(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方注：相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等三、知识讲解考点1 两条线段之间的数量关系在数量关系的猜想中，证明两条线段相等的情况较多，有时也出现证明两条线段的倍数关系，如ab=2cd或ab=cd等。在证明两条线短相等的过程中，可以根据特殊四边形的性质证明两条线段相等，也可以证明两个三角形全等，根据全等三角形的性质证明两条线段相等。证明两条线段的倍分关系时，利用构造基本图形模型证明，具体情况如下：1.利用三角形的中位线或直角三角形证明a=b；2.利用等腰三角形证明a=b；3.利用含30角的直角三角形证明a=b等；考点2 两条线段之间的位置关系 在位置关系猜想中，两条线段是垂直关系还是平行关系一目了然，关键是如何证明，方法如下：1.在证明垂直关系时，由垂直定义，即两条线段相交，所夹的角是90，一般利用直角三角形的两个锐角互余的角度进行证明；2.在证明两条线段平行时，大多是根据平行线的判定方法进行证明即可；总之证明位置关系，需要根据图形的性质，利用三角形全等进行证明，有时利用相似。在解答时，根据具体的题目条件，分解出基本图形，灵活掌握并选择方法证明。考点3 相似三角形的判定定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似判定定理1：两角对应相等，两三角形相似判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似考点4 锐角三角函数的定义、表达式及关系四、例题精析例1 如图1，abc中，ab=ac，点d在ba的延长线上，点e在bc上，de=dc，点f是de与ac的交点，且df=fe；（1）图1中是否存在与bde相等的角？若存在，请找出，并加以证明，若不存在，说明理由；（2）求证be=ec；（3）若将“点d在ba的延长线上，点e在bc上”和“点f是de与ac的交点，且df=fe”分别改为“点d在ab上，点e在cb的延长线上”和“点f是ed的延长线与ac的交点，且df=kfe”，其他条件不变（如图2）；当ab=1，abc=a时，求be的长（用含k、a的式子表示）；例2已知：如图1所示，rtabc与rtade中，acb=aed=90，ac=k bc，ae=k de，点o为线段bd的中点，探索coe、ade之间有怎样的数量关系，证明你的结论。说明：如果你反复探索没有解决问题，可以选取（1）和（2）中的条件，选（1）中的条件完成解答满分为7分；选（2）中的条件完成解答满分为4分。（1） 点e在ca延长线上（图2）；（2） k=1，点e在ca延长线上（图3）；例3如图1，abc为等腰直角三角形，acb=90，f是ac边上的一个动点（点f与a、c不重合），以cf为一边在等腰直角三角形外作正方形cdef，连接bf、ad（1）猜想图1中线段bf、ad的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；将图1中的正方形cdef，绕着点c按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度，得到如图2、图3的情形图2中bf交ac于点h，交ad于点o，请你判断中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断（2）将原题中的等腰直角三角形abc改为直角三角形abc，acb=90，正方形cdef改为矩形cdef，如图4，且ac=4，bc=3，cd=，cf=1，bf交ac于点h，交ad于点o，连接bd、af，求bd2+af2的值例4在四边形abcd中，对角线ac、bd相交于点o，将cod绕点o按逆时针方向旋转得到c1od1，旋转角为（090），连接ac1、bd1，ac1与bd1交于点p；（1）如图1，若四边形abcd是正方形；求证aoc1bod1；请直接写出ac1 与bd1的位置关系；（2）如图2，若四边形abcd是菱形，ac=5，bd=7，设ac1=k bd1；判断ac1与bd1的位置关系，说明理由，并求出k的值；（3） 如图3，若四边形abcd是平行四边形，ac=5，bd=10，连接dd1，设ac1=kbd1；请直接写出k的值和ac12+（kdd1）2的值；课程小结本节课主要针对与三角函数相关问题、与角相关等几何问题进行了探究。若遇到与三角函数相关问题时，只需将所研究的角放入直角三角形中，由已知角确定相应的三角函数表示；若遇到与角相关问题时，只需通过全等变换或是相似变换得出角的结论，有时也需注意题干中所给的信息。几何问题的探究是一个长期积累的过程，注重几何知识的综合运用，积累基本型是重中之重。例1【规范解答】（1）dca=bde；证明：ab=ac，dc=de，abc=acb，dec=dce，bde=decdbc=dceacb=dca（2）过点e作egac，交ab于点g，如图1，则有dac=dge，在dca和edg中，dcaedg（aas）da=eg，ca=dg，dg=ab，da=bgafeg，df=ef，da=ag，ag=bg，egac，be=ec.（3）过点e作egac，交ab的延长线于点g，如图2，ab=ac，dc=de，abc=acb，dec=dce，bde=dbcdec=acbdce=dcaaceg，dac=dge，在dca和edg中，dcaedg（aas）da=eg，ca=dg，dg=ab=1，afeg，adfgde，df=kfe，de=efdf=（1k）ef，ad=，ge=ad=过点a作ahbc，垂足为h，如图2，ab=ac，ahbc，bh=ch，bc=2bh，ab=1，abc=，bh=abcosabh=cosbc=2cos，aceg，abcgbe，be=，be的长为【总结与反思】（1）运用等腰三角形的性质及三角形的外角性质就可解决问题；（2）过点e作egac，交ab于点g，如图1，要证be=ce，只需证bg=ag，由df=fe可证到da=ag，只需证到da=bg即dg=ab，也即dg=ac即可；只需证明dcaedg即可解决问题；（3）过点a作ahbc，垂足为h，如图2，可求出bc=2cos；过点e作egac，交ab的延长线于点g，易证dcaedg，则有da=eg，ca=dg=1；易证adfgde，则有；由df=kfe可得de=efdf=（1k）ef；从而可以求得ad=，即ge=；易证abcgbe，则有，从而可以求出be例2【规范解答】证明：如图1，取ad、ab中点m、n，连接em、mo、on、cn，ad与eo相交于点f，则：em=dm=ma，cn=an=bn，ame=2ade，anc=2abc，o为bd中点om=an=cn，oman，on=am=em，onad，四边形anom为平行四边形，amo=ano，afe=noe，acb=aed=90，ac=kbc，ae=kde，rtabcrtade，ade=abc，ame=anc，emo=onc，emoonc，noc=meo，afe=ame+meonoe=coe+noc，coe=ame，coe=2ade，选择条件（1）证明：延长eo交cb的延长线于点f，acb=aed=90，edcf，deo=f，edo=fboo为bd中点，do=bo，edofbo，ed=fb，eo=fo，acb=90，co=of=eof=ocf，coe=f+ocf=2f，ac=kbc，ae=kde，ce=ac+ae，cf=bc+bf，ea：ce=ed：cf=1：（k+1），acb=aed=90，eadcef，ade=f，coe=2ade选择条件（2）证明：延长eo交cb的延长线于点facb=aed=90ae=de，edcf，ade=45，deo=f，edo=fboo为bd中点，do=bo，edofbo，ed=fb，eo=fo，ac=bc，ae=de，ce=cfcoef，coe=90，coe=2ade【总结与反思】（1）取ad、ab中点m、n，连接em、mo、on、cn，ad与eo相交于点f，先证明rtabcrtade，然后证明emoonc即可证明；（2）延长eo交cb的延长线于点f，证明edofbo，ed=fb，eo=fo，由ac=bc，ae=de，可得ce=cf，从而coef，可得coe=90，可得coe=2ade例3【规范解答】解：（1）bf=ad，bfad；bf=ad，bfad仍然成立，证明：abc是等腰直角三角形，acb=90，ac=bc，四边形cdef是正方形，cd=cf，fcd=90，acb+acf=fcd+acf，即bcf=acd，在bcf和acd中，bcfacd（sas），bf=ad，cbf=cad，又bhc=aho，cbh+bhc=90，cad+aho=90，aoh=90，bfad；（2）证明：连接df，四边形cdef是矩形，fcd=90，又acb=90，acb=fcd，acb+acf=fcd+acf，即bcf=acd，ac=4，bc=3，cd=，cf=1，bcfacd，cbf=cad，又bhc=aho，cbh+bhc=90，cad+aho=90，aoh=90，bfad，bod=aob=90，bd2=ob2+od2，af2=oa2+of2，ab2=oa2+ob2，df2=of2+od2，bd2+af2=ob2+od2+oa2+of2=ab2+df2，在rtabc中，acb=90，ac=4，bc=3，ab2=ac2+bc2=32+42=25，在rtfcd中，fcd=90，cd=，cf=1，bd2+af2=【总结与反思】（1）证bcfacd推出cad=fbc，bf=ad，即可得出结论；证bcfacd推出cad=fbc，bf=ad，即可得出结论；（2）连接fd，根据（1）得出boad，根据勾股定理得出bd2=ob2+od2，af2=oa2+of2，ab2=oa2+ob2，df2=of2+od2，推出bd2+af2=ab2+df2，即可求出答案例4【规范解答】（1）证明如图1，四边形abcd是正方形，oc=oa=od=ob，acbd，aob=cod=90，cod绕点o按逆时针方向旋转得到c1od1，o c1=oc，o d1=od，co c1=do d1，o c1=o d1，ao c1=bo d1=90+aod1，在ao c1和bod1中，ao c1bod1（sas）；ac1bd1；（2）ac1bd1理由如下如图2，四边形abcd是菱形，oc=oa=ac，od=ob=bd，acbd，aob=cod=90，cod绕点o按逆时针方向旋转得到c1od1，o c1=oc，o d1=od，co c1=do d1，o c1=oa，o d1=ob，ao c1=bo d1，ao c1bod1，o ac1=ob d1，又aob=90，o ab+abp+ob d1=90，o ab+abp+o ac1=90，apb=90ac1bd1；ao c1bod1，=，k=；（3）如图3，与（2）一样可证明ao c1bod1，=，k=；cod绕点o按逆时针方向旋转得到c1od1，o d1=od，而od=ob，od1=ob=od，bdd1为直角三角形，在rtbdd1中，bd12+dd12=bd2=100，（2ac1）2+dd12=100，ac12+（kdd1）2=25【总结与反思】（1）如图1，根据正方形的性质得oc=oa=od=ob，acbd，则aob=cod=90，再根据旋转的性质得o c1=oc，o d1=od，co c1=do d1，则o c1=o d1，利用等角的补角相等得ao c1=bo d1，然后证明ao c1bod1；由aob=90，则o ab+abp+ob d1=90，所以o ab+abp+o ac1=90，则apb=90所以ac1bd1；（2）如图2，根据菱形的性质得oc=oa=ac，od=ob=bd，acbd，则aob=cod=90，再根据旋转的性质得o c1=oc，o d1=od，co c1=do