（江苏专版）2017年高考数学二轮专题复习与策略 第1部分 专题5 解析几何 第18讲 高考中的圆锥曲线专题限时集训 理.doc

专题限时集训(十九)高考中的圆锥曲线(建议用时：4 5分钟)1(2014江苏高考)如图185，在平面直角坐标系xoy中，f1，f2分别是椭圆1(ab0)的左、右焦点，顶点b的坐标为(0，b)，连结bf2并延长交椭圆于点a，过点a作x轴的垂线交椭圆于另一点c，连结f1c.图185(1)若点c的坐标为，且bf2，求椭圆的方程；(2)若f1cab，求椭圆离心率e的值解设椭圆的焦距为2c，则f1(c,0)，f2(c,0)(1)因为b(0，b)，所以bf2a.又bf2，故a. 3分因为点c在椭圆上，所以1，解得b21.故所求椭圆的方程为y21. 6分(2)因为b(0，b)，f2(c,0)在直线ab上，所以直线ab的方程为1.解方程组得所以点a的坐标为. 10分又ac垂直于x轴，由椭圆的对称性，可得点c的坐标为.因为直线f1c的斜率为，直线ab的斜率为，且f1cab，所以1.又b2a2c2，整理得a25c2.故e2，因此e. 16分2(2016南通二调)如图186，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆1(ab0)的离心率为.a为椭圆上异于顶点的一点，点p满足2.图186(1)若点p的坐标为(2，)，求椭圆的方程；(2)设过点p的一条直线交椭圆于b，c两点，且m，直线oa，ob的斜率之积为，求实数m的值【导学号：19592055】解(1)因为2，而p(2，)，所以a. 3分代入椭圆方程，得1，又椭圆的离心率为，所以，由，得a22，b21，故椭圆的方程为y21. 6分(2)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，c(x3，y3)，因为2，所以p(2x1，2y1)因为m，所以(2x1x2，2y1y2)m(x3x2，y3y2)，即于是 10分代入椭圆方程，得1，即1， 14分因为a，b在椭圆上，所以1，1.因为直线oa，ob的斜率之积为，即，结合知0.将代入，得1，解得m. 16分3(2016江苏高考)如图187，在平面直角坐标系xoy中，已知直线l：xy20，抛物线c：y22px(p0)图187(1)若直线l过抛物线c的焦点，求抛物线c的方程；(2)已知抛物线c上存在关于直线l对称的相异两点p和q.求证：线段pq的中点坐标为(2p，p)；求p的取值范围解(1)抛物线c：y22px(p0)的焦点为，3分由点在直线l：xy20上，得020，即p4.所以抛物线c的方程为y28x. 6分(2)设p(x1，y1)，q(x2，y2)，线段pq的中点m(x0，y0)因为点p和q关于直线l对称，所以直线l垂直平分线段pq，于是直线pq的斜率为1，则可设其方程为yxb.证明：由消去x得y22py2pb0.(*) 10分因为p和q是抛物线c上的相异两点，所以y1y2，从而(2p)24(2pb)0，化简得p2b0.方程(*)的两根为y1,2p，从而y0p.因为m(x0，y0)在直线l上，所以x02p. 12分因此，线段pq的中点坐标为(2p，p)因为m(2p，p)在直线yxb上，所以p(2p)b，即b22p.由知p2b0，于是p2(22p)0，所以p0)上图188(1)求抛物线e的方程；(2)设动直线l与抛物线e相切于点p，与直线y1相交于点q.证明：以pq为直径的圆恒过y轴上某定点解(1)依题意，ob8，boy30，设b(x，y)，则xobsin 304，yobcos 3012.因为点b(4，12)在x22py上，所以(4)22p12，解得p2.故抛物线e的方程为x24y. 6分(2)证明：法一：由(1)知yx2，yx.设p(x0，y0)，则x00，且l的方程为yy0x0(xx0)，即yx0xx.由得所以q. 10分设m(0，y1)，令0对满足y0x(x00)的x0，y0恒成立由于(x0，y0y1)，由0，得y0y0y1y1y0，即(yy12)(1y1)y00.(*)由于(*)式对满足y0x(x00)的y0恒成立，所以解得y11.故以pq为直径的圆恒过y轴上的定点m(0,1). 16分法二：由(1)知yx2，yx.设p(x0，y0)，则x00，且l的方程为yy0x0(xx0)，即yx0xx.由得 10分所以q.取x02，此时p(2,1)，q(0，1)，以pq为直径的圆为(x1)2y22，交y轴于点m1(0,1)或m2(0，1)；取x01，此时p，q，以pq为直径的圆为22，交y轴于m3(0,1)或m4.故若满足条件的点m存在，只能是m(0,1)以下证明点m(0,1)就是所要求的点因为(x0，y01)，所以2y022y022y020.故以pq为直径的圆恒过y轴上的定点m(0,1). 16分5(2016南京盐城一模)如图189，在平面直角坐标系xoy中，设点m(x0，y0)是椭圆c：y21上一点，从原点o向圆m：(xx0)2(yy0)2r2作两条切线分别与椭圆c交于点p，q，直线op，oq的斜率分别记为k1，k2.图189(1)若圆m与x轴相切于椭圆c的右焦点，求圆m的方程；(2)若r.求证：k1k2；求opoq的最大值解(1)因为椭圆c右焦点的坐标为(，0)，所以圆心m的坐标为，4分从而圆m的方程为(x)22. 6分(2)证明：因为圆m与直线op：yk1x相切，所以，即(45x)k10x0y0k145y0，同理，有(45x)k10x0y0k245y0，所以k1，k2是方程(45x)k210x0y0k45y0的两根，从而k1k2. 10分设点p(x1，y1)，q(x2，y2)，联立解得x，y， 12分同理，x，y，所以op2oq2，当且仅当k1时取等号所以opoq的最大值为. 16分6.(2016苏州期末)如图1810，已知椭圆o：y21的右焦点为f，点b，c分别是椭圆o的上，下顶点，点p是直线l：y2上的一个动点(与y轴交点除外)，直线pc交椭圆于另一点m.图1810(1)当直线pm过椭圆的右焦点f时，求fbm的面积；(2)记直线bm，bp的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值；求的取值范围解(1)由题意b(0,1)，c(0，1)，焦点f(，0)，当直线pm过椭圆的右焦点f时，则直线pm的方程为1，即yx1，联立，解得或(舍)，即m. 3分连结bf，则直线bf：1，即xy0，而bfa2，m到直线bf的距离为d.故smbfbfd2. 6分(2)法一：设p(m，2)，且m0，则直线pm的斜率为k，则直线pm的方程为yx1，联立化简得x2x0，解得m， 8分所以k1m，k2，所以k1k2m为定值. 12分由知，(m,3)，所以(m,3)，令m24t4，故t7，因为yt7在t(4，)上单调递增，所以t7479，即的取值范围为(9，). 16分