（浙江专版）2018年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2 椭圆学案 新人教A版选修2-1.doc

2.2221椭圆及其标准方程预习课本p3842，思考并完成以下问题1平面内满足什么条件的点的轨迹为椭圆？椭圆的焦点、焦距分别是什么？2椭圆的标准方程是什么？1椭圆的定义平面内与两个定点f1，f2的距离的和等于常数(大于|f1f2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距点睛定义中的条件2a|f1f2|0不能少，这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的否则：当2a|f1f2|时，其轨迹为线段f1f2；当2ab0)1(ab0)焦点坐标(c,0)，(c,0)(0，c)，(0，c)a，b，c的关系c2a2b21判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内到两定点距离之和等于定长的点的轨迹为椭圆()(2)已知椭圆的焦点是f1，f2，p是椭圆上的一动点，如果延长f1p到q，使得|pq|pf2|，则动点q的轨迹为圆()(3)方程1(a0，b0)表示的曲线是椭圆()答案：(1)(2)(3)2若椭圆1的一个焦点坐标为(1,0)，则实数m的值为()a1b2c4 d6答案：c3椭圆1的焦点坐标是_答案：(0，12)求椭圆的标准方程典例求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)解(1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为1(ab0)将点(5,0)代入上式解得a5，又c4，所以b2a2c225169故所求椭圆的标准方程为1(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为1(ab0)因为椭圆经过点(0,2)和(1,0)，所以故所求椭圆的标准方程为x21确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面(1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；(2)“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解活学活用求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)经过两点(2，)，；(2)过点(，)，且与椭圆1有相同的焦点解：法一：(分类讨论法)若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为1(ab0)由已知条件得解得所以所求椭圆的标准方程为1若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为1(ab0)由已知条件得解得则a2b0矛盾，舍去综上，所求椭圆的标准方程为1法二：(待定系数法)设椭圆的一般方程为ax2by21(a0，b0，ab)将两点(2，)，代入，得解得所以所求椭圆的标准方程为1(2)因为所求椭圆与椭圆1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c225916设它的标准方程为1(ab0)因为c216，且c2a2b2，故a2b216又点(，)在椭圆上，所以1，即1由得b24，a220，所以所求椭圆的标准方程为1椭圆的定义及其应用典例如图所示，已知椭圆的方程为1，若点p在第二象限，且pf1f2120，求pf1f2的面积解由已知得a2，b，所以c1，|f1f2|2c2在pf1f2中，由余弦定理，得|pf2|2|pf1|2|f1f2|22|pf1|f1f2|cos 120，即|pf2|2|pf1|242|pf1|由椭圆定义，得|pf1|pf2|4，即|pf2|4|pf1|将代入解得|pf1|所以spf1f2|pf1|f1f2|sin 1202，即pf1f2的面积是(1)椭圆定义的应用中，要实现两个焦点半径之间的相互转化，将两个焦半径之和看作个整体(2)涉及焦点三角形面积时，可把|pf1|，|pf2|看作一个整体，运用|pf1|2|pf2|2(|pf1|pf2|)22|pf1|pf2|及余弦定理求出|pf1|pf2|，而无需单独求解活学活用设f1，f2是椭圆1的两个焦点，p是椭圆上一点，且|pf1|pf2|2则pf1f2是()a钝角三角形b直角三角形c锐角三角形 d等腰直角三角形解析：选b由椭圆的定义得|pf1|pf2|8又|pf1|pf2|2，|pf1|5，|pf2|3，又|f1f2|2c4，故pf1f2为直角三角形与椭圆有关的轨迹问题典例(1)已知p是椭圆1上一动点，o为坐标原点，则线段op中点q的轨迹方程为_(2)已知圆m：(x1)2y21，圆n：(x1)2y29，动圆p与圆m外切并且与圆n内切，圆心p的轨迹为曲线c求c的方程解析(1)设p(xp，yp)，q(x，y)，由中点坐标公式得所以又点p在椭圆1上，所以1，即x21答案：x21(2)解：由已知得圆m的圆心为m(1,0)，半径r11；圆n的圆心为n(1,0)，半径r23设圆p的圆心为p(x，y)，半径为r动圆p与圆m外切并且与圆n内切，所以|pm|pn|(rr1)(r2r)r1r24由椭圆定义可知，曲线c是以m，n为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为1(x2)解决与椭圆有关的轨迹问题的两种方法(1)定义法：用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可(2)相关点法：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法活学活用求过点p(3,0)且与圆x26xy2910相内切的动圆圆心的轨迹方程解：圆方程配方整理得(x3)2y2102，圆心为c1(3，0)，半径为r10设所求动圆圆心为c(x，y)，半径为r，依题意有消去r得r|pc|cc1|pc|cc1|r，即|pc|cc1|10又p(3,0)，c1(3,0)，且|pc1|60，常数)；命题乙：p点轨迹是椭圆则命题甲是命题乙的()a充分不必要条件 b必要不充分条件c充分且必要条件 d既不充分又不必要条件解析：选b利用椭圆定义若p点轨迹是椭圆，则|pa|pb|2a(a0，常数)，甲是乙的必要条件反过来，若|pa|pb|2a(a0，常数)是不能推出p点轨迹是椭圆的这是因为：仅当2a|ab|时，p点轨迹才是椭圆；而当2a|ab|时，p点轨迹是线段ab；当2ab”是“方程1表示椭圆”的()a充分而不必要条件 b必要而不充分条件c充要条件 d既不充分条件又不必要条件解析：选a若ab，则a2b2，方程1表示椭圆，是充分条件，若方程1表示椭圆，得不到ab，不是必要条件5已知p为椭圆c上一点，f1，f2为椭圆的焦点，且|f1f2|2，若|pf1|与|pf2|的等差中项为|f1f2|，则椭圆c的标准方程为()a1b1或1c1d1或1解析：选b由已知2c|f1f2|2，c2a|pf1|pf2|2|f1f2|4，a2b2a2c29故椭圆c的标准方程是1或16椭圆1的焦距是2，则m的值是_解析：当椭圆的焦点在x轴上时，a2m，b24，c2m4，又2c2，c1m41，m5当椭圆的焦点在y轴上时，a24，b2m，c24m1，m3答案：3或57已知椭圆c经过点a(2,3)，且点f(2,0)为其右焦点，则椭圆c的标准方程为_解析：法一：依题意，可设椭圆c的方程为1(ab0)，且可知左焦点为f(2,0)从而有解得又a2b2c2，所以b212，故椭圆c的标准方程为1法二：依题意，可设椭圆c的方程为1(ab0)，则解得b212或b23(舍去)，从而a216所以椭圆c的标准方程为1答案：18椭圆的两焦点为f1(4,0)，f2(4,0)，点p在椭圆上，若pf1f2的面积最大为12，则椭圆方程为_解析：如图，当p在y轴上时pf1f2的面积最大，8b12，b3又c4，a2b2c225椭圆的标准方程为1答案：19设f1，f2分别是椭圆c：1(ab0)的左、右焦点设椭圆c上一点到两焦点f1，f2的距离和等于4，写出椭圆c的方程和焦点坐标解：由点在椭圆上，得1，又2a4，所以椭圆c的方程为1，焦点坐标分别为(1,0)，(1,0)10已知椭圆c与椭圆x237y237的焦点f1，f2相同，且椭圆c过点(1)求椭圆c的标准方程；(2)若pc，且f1pf2，求f1pf2的面积解：(1)因为椭圆y21的焦点坐标为(6,0)，(6,0)所以设椭圆c的标准方程为1(a236)将点的坐标代入整理得4a4463a26 3000，解得a2100或a2(舍去)，所以椭圆c的标准方程为1(2)因为p为椭圆c上任一点，所以|pf1|pf2|2a20由(1)知c6，在pf1f2中，|f1f2|2c12，所以由余弦定理得：|f1f2|2|pf1|2|pf2|22|pf1|pf2|cos ，即122|pf1|2|pf2|2|pf1|pf2|因为|pf1|2|pf2|2(|pf1|pf2|)22|pf1|所以122(|pf1|pf2|)23|pf1|pf2|所以1222023|pf1|pf2|所以|pf1|pf2|spf1f2|pf1|pf2|sin 所以f1pf2的面积为层级二应试能力达标1下列说法中正确的是()a已知f1(4,0)，f2(4,0)，平面内到f1，f2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆b已知f1(4,0)，f2(4,0)，平面内到f1，f2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆c平面内到点f1(4,0)，f2(4,0)两点的距离之和等于点m(5,3)到f1，f2的距离之和的点的轨迹是椭圆d平面内到点f1(4,0)，f2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆解析：选ca中，|f1f2|8，则平面内到f1，f2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段，所以a错误；b中，到f1，f2两点的距离之和等于6，小于|f1f2|，这样的轨迹不存在，所以b错误；c中，点m(5,3)到f1，f2两点的距离之和为4|f1f2|8，则其轨迹是椭圆，所以c正确；d中，轨迹应是线段f1f2的垂直平分线，所以d错误故选c2椭圆1的焦点为f1，f2，p为椭圆上的一点，已知0，则f1pf2的面积为()a9b12c10 d8解析：选a0，pf1pf2|pf1|2|pf2|2|f1f2|2且|pf1|pf2|2a又a5，b3，c4，2，得2|pf1|pf2|36，|pf1|pf2|18，f1pf2的面积为s|pf1|pf2|93若，方程x2sin y2cos 1表示焦点在y轴上的椭圆，则的取值范围是()a bc d解析：选a易知sin 0，cos 0，方程x2sin y2cos 1可化为1因为椭圆的焦点在y轴上，所以0，即sin cos 0又，所以b0)或1(ab0)，由已知条件得解得所以b2a2c212于是所求椭圆的标准方程为1或1法二：设所求的椭圆方程为1(ab0)或1(ab0)，两个焦点分别为f1，f2由题意知2a|pf1|pf2|358，所以a4在方程1中，令xc，得|y|；在方程1中，令yc，得|x|依题意有3，得b212于是所求椭圆的标准方程为1或18 如图在圆c：(x1)2y225内有一点a(1,0)q为圆c上一点，aq的垂直平分线与c，q的连线交于点m，求点m的轨迹方程解：如图，连接ma由题意知点m在线段cq上，从而有|cq|mq|mc|又点m在aq的垂直平分线上，则|ma|mq|，故|ma|mc|cq|5又a(1,0)，c(1,0)，故点m的轨迹是以(1,0)，(1,0)为焦点的椭圆，且2a5，故a，c1，b2a2c21故点m的轨迹方程为1222椭圆的简单几何性质第一课时椭圆的简单几何性质预习课本p4347，思考并完成以下问题1椭圆有哪些几何性质？什么叫做椭圆的中心、顶点、长轴与短轴？2什么是椭圆的离心率？随着离心率的变化椭圆的形状有何变化？椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程1(ab0)1(ab0)范围axa且bybbxb且aya顶点a1(a,0)，a2(a,0)，b1(0，b)，b2(0，b)a1(0，a)，a2(0，a)，b1(b,0)，b2(b,0)轴长长轴长2a，短轴长2b焦点f1(c,0)，f2(c,0)f1(0，c)，f2(0，c)焦距|f1f2|2c对称性对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0)离心率e(0eb0)的长轴长等于a()(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为ac()(3)椭圆的离心率e越小，椭圆越圆()答案：(1)(2)(3)2椭圆25x29y2225的长轴长、短轴长、离心率依次是()a5,3，b10,6，c5,3， d10,6，答案：b3若椭圆y21的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的两倍，则椭圆的离心率为()a bc d答案：a4若焦点在y轴上的椭圆1的离心率为，则m的值为_答案：由标准方程研究几何性质典例求椭圆4x29y236的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率解椭圆方程变形为1，a3，b2，c 椭圆的长轴长和焦距分别为2a6,2c2，焦点坐标为f1(，0)，f2(，0)，顶点坐标为a1(3,0)，a2(3,0)，b1(0，2)，b2(0,2)，离心率e求椭圆的性质时，应把椭圆化为标准方程，注意分清楚焦点的位置，这样便于直观地写出a，b的数值，进而求出c，求出椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标等几何性质活学活用已知椭圆c1：1，设椭圆c2与椭圆c1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆c2的焦点在y轴上(1)求椭圆c1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；(2)写出椭圆c2的方程，并研究其性质解：(1)由椭圆c1：1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，(6,0)，离心率e；(2)椭圆c2：1，性质：范围：8x8，10y10；对称性：关于x轴、y轴、原点对称；顶点：长轴端点(0,10)，(0，10)，短轴端点(8,0)，(8,0)；焦点：(0,6)，(0，6)；离心率：e利用几何性质求标准方程典例求适合下列条件的椭圆的标准方程(1)长轴长是10，离心率是；(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6解(1)设椭圆的方程为1(ab0)或1(ab0)由已知得2a10，a5又e，c4b2a2c225169椭圆方程为1或1(2)依题意可设椭圆方程为1(ab0)如图所示，a1fa2为一等腰直角三角形，of为斜边a1a2的中线(高)，且|of|c，|a1a2|2b，则cb3，a2b2c218，故所求椭圆的方程为1(1)利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法(2)根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，即先明确焦点的位置或分类讨论一般步骤是：求出a2，b2的值；确定焦点所在的坐标轴；写出标准方程活学活用求适合下列条件的椭圆的标准方程(1)长轴长是短轴长的5倍，且过点a(5,0)(2)离心率e，焦距为12解：(1)若椭圆焦点在x轴上，设其标准方程为1(ab0)，由题意得解得故所求椭圆的标准方程为y21；若焦点在y轴上，设其标准方程为1(ab0)，由题意，得解得故所求椭圆的标准方程为1综上所述，所求椭圆的标准方程为y21或1(2)由e，2c12，得a10，c6，则b2a2c264当焦点在x轴上时，所求椭圆的标准方程为1；当焦点在y轴上时，所求椭圆的标准方程为1综上所述，所求椭圆的标准方程为1或1求椭圆的离心率典例设椭圆c：1(ab0)的左、右焦点分别为f1，f2，p是c上的点，pf2f1f2，pf1f230，则c的离心率为()abc d解析法一：由题意可设|pf2|m，结合条件可知|pf1|2m，|f1f2|m，故离心率e法二：由pf2f1f2可知p点的横坐标为c，将xc代入椭圆方程可解得y，所以|pf2|又由pf1f230可得|f1f2|pf2|，故2c，变形可得(a2c2)2ac，等式两边同除以a2，得(1e2)2e，解得e或e(舍去)答案d一题多变1变条件若将本例中“pf2f1f2，pf1f230”改为“pf2f175，pf1f245”，求c的离心率解：在pf1f2中，pf1f245，pf2f175，f1pf260，设|pf1|m，|pf2|n，|f1f2|2c，椭圆的长轴长为2a，则在pf1f2中，有，e2变条件，变设问若将本例中“pf2f1f2，pf1f230”改为“c上存在点p，使f1pf2为钝角”，求c的离心率的取值范围解：由题意，知cb，c2b2又b2a2c2，c2a2c2，即2c2a2e2，e故c的离心率的取值范围为求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e求解若已知a，b或b，c可借助于a2b2c2求出c或a，再代入公式e求解(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2b2c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围 层级一学业水平达标1椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(10,0)，则焦点坐标为()a(13,0)b(0，10)c(0，13) d(0，)解析：选d由题意知椭圆焦点在y轴上，且a13，b10，则c，故焦点坐标为(0，)2若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为()a bc d解析：选a依题意，bf1f2是正三角形，在rtobf2中，|of2|c，|bf2|a，of2b60，cos 60，即椭圆的离心率e，故选a3已知椭圆1与椭圆1有相同的长轴，椭圆1的短轴长与椭圆1的短轴长相等，则()aa225，b216ba29，b225ca225，b29或a29，b225da225，b29解析：选d因为椭圆1的长轴长为10，焦点在x轴上，椭圆1的短轴长为6，所以a225，b294已知椭圆1(ab0)的左焦点为f，右顶点为a，点b在椭圆上，且bfx轴，直线ab交y轴于点p若2，则椭圆的离心率是()a bc d解析：选d2，|2|又pobf，即，e5椭圆mx2ny2mn0(mn0)的焦点坐标是()a(0，) b(，0)c(0，) d(，0)解析：选c化为标准方程是1，mn0，0n0)，椭圆过点p(5,4)，1解得a245椭圆方程为1答案：18设f1，f2分别为椭圆y21的左，右焦点，点a，b在椭圆上，若5，则点a的坐标是_解析：设a(m，n)由5，得b又a，b均在椭圆上，所以有解得或所以点a的坐标为(0,1)或(0，1)答案：(0,1)或(0，1)9在平面直角坐标系xoy中，椭圆c的中心为原点，焦点f1，f2在x轴上，离心率为，过点f1的直线l交椭圆c于a，b两点，且abf2的周长为16，求椭圆c的标准方程解：设椭圆c的标准方程为1(ab0)由e知，故，从而，由abf2的周长为|ab|bf2|af2|af1|af2|bf1|bf2|4a16，得a4，b28故椭圆c的标准方程为110椭圆1(ab0)的右顶点是a(a,0)，其上存在一点p，使apo90，求椭圆离心率的取值范围解：设p(x，y)，由apo90知，点p在以oa为直径的圆上，圆的方程是2y22y2axx2又p点在椭圆上，故1把代入化简，得(a2b2)x2a3xa2b20，即(xa)(a2b2)xab20，xa，x0，x，又0xa，0a，即2b2a2由b2a2c2，得a2又0e1，e1层级二应试能力达标1椭圆1与1(0kb0)，则c又2b2，即b1，所以a2b2c26，则所求椭圆的标准方程为x214(全国丙卷)已知o为坐标原点，f是椭圆c：1(ab0)的左焦点，a，b分别为c的左、右顶点p为c上一点，且pfx轴过点a的直线l与线段pf交于点m，与y轴交于点e若直线bm经过oe的中点，则c的离心率为()a bc d解析：选a如图所示，由题意得a(a,0)，b(a,0)，f(c,0)设e(0，m)，由pfoe，得，则|mf|又由oemf，得，则|mf|由得ac(ac)，即a3c，e故选a5已知椭圆1(ab0)，a，b分别为椭圆的左顶点和上顶点，f为右焦点，且abbf，则椭圆的离心率为_解析：在rtabf中，|ab|，|bf|a，|af|ac，由|ab|2|bf|2|af|2，得a2b2a2(ac)2将b2a2c2代入，得a2acc20，即e2e10，解得e因为e0，所以e答案：6已知椭圆的长轴长为20，短轴长为16，则椭圆上的点到椭圆中心的距离的取值范围是_解析：由题意，知a10，b8，不妨设椭圆方程为1，其上的点m(x0，y0)，则|x0|a10，|y0|b8，点m到椭圆中心的距离d因为1，所以y6464x，则d ，因为0x100，所以64x64100，即8d10答案：8,107已知椭圆x2(m3)y2m(m0)的离心率e，求实数m的值及椭圆的长轴长和短轴长，并写出焦点坐标和顶点坐标解：椭圆方程可化为1，由m0，可知m，所以a2m，b2，c ，由e，得 ，解得m1于是椭圆的标准方程为x21，则a1，b，c所以椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为，；四个顶点坐标分别为(1,0)，(1,0)，8设f1，f2分别是椭圆e：1(ab0) 的左、右焦点，过点 f1的直线交椭圆 e于 a，b两点，|af1|3|f1b| (1)若|ab|4，abf2 的周长为16，求|af2|；(2)若cosaf2b，求椭圆e 的离心率解：(1)由|af1|3|f1b|，|ab|4，得|af1|3，|f1b|1因为abf2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a16，|af1|af2|2a8故|af2|835(2)设|f1b|k，则k0且|af1|3k，|ab|4k由椭圆定义可得，|af2|2a3k，|bf2|2ak在abf2中，由余弦定理可得，|ab|2|af2|2|bf2|22|af2|bf2|cosaf2b，即(4k)2(2a3k)2(2ak)2(2a3k)(2ak)化简可得(ak)(a3k)0，而ak0，故a3k于是有|af2|3k|af1|，|bf2|5k因此|bf2|2|f2a|2|ab|2，可得f1af2a，故af1f2为等腰直角三角形从而ca，所以椭圆e的离心率e第二课时直线与椭圆的位置关系预习课本p4748，思考并完成以下问题1点与椭圆的位置关系有哪几种？如何判断？2直线与椭圆有哪几种位置关系？如何确定？3直线被椭圆截得的弦长公式是什么？1点与椭圆的位置关系点p(x0，y0)与椭圆1(ab0)的位置关系：点p在椭圆上1；点p在椭圆内部12直线与椭圆的位置关系直线ykxm与椭圆1(ab0)的位置关系，判断方法：联立消y得一元二次方程当0时，方程有两解，直线与椭圆相交；当0时，方程有一解，直线与椭圆相切；当0时，方程无解，直线与椭圆相离3直线与椭圆相交的弦长公式(1)定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦(2)求弦长的方法交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦ab两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为：|ab| 1已知点(2,3)在椭圆1上，则下列说法正确的是()a点(2,3)在椭圆外b点(3,2)在椭圆上c点(2，3)在椭圆内 d点(2，3)在椭圆上答案：d2直线yx1被椭圆1所截得的弦的中点坐标是()a bc d答案：c3设f1，f2分别是椭圆1的左、右焦点，p为椭圆上一点，m是f1p的中点，|om|3，则p点到椭圆左焦点的距离为_答案：4直线与椭圆的位置关系典例对不同的实数值m，讨论直线yxm与椭圆y21的位置关系解由消去y，得(xm)21，整理得5x28mx4m240(8m)245(4m24)16(5m2)当m0，直线与椭圆相交；当m或m时，0，直线与椭圆相切；当m时，0直线与椭圆相交；0直线与椭圆相切；0直线与椭圆相离活学活用若直线ykx1与焦点在x轴上的椭圆1总有公共点，求m的取值范围解：直线ykx1过定点a(0,1)由题意知，点a在椭圆1内或椭圆上，1，m1又椭圆焦点在x轴上mb0)上的两个不同的点，m(x0，y0)是线段ab的中点，则由，得(xx)(yy)0，变形得，即kab活学活用(全国卷)已知椭圆c：1(ab0)的离心率为，点(2，)在c上(1)求c的方程；(2)直线l不过原点o且不平行于坐标轴，l与c有两个交点a，b，线段ab的中点为m证明：直线om的斜率与直线l的斜率的乘积为定值解：(1)由题意有，1，解得a28，b24所以c的方程为1(2)证明：法一：设直线l：ykxb(k0，b0)，a(x1，y1)，b(x2，y2)，m(xm，ym)将ykxb代入1，得(2k21)x24kbx2b280故xm，ymkxmb于是直线om的斜率kom，即komk所以直线om的斜率与直线l的斜率的乘积为定值法二：设a(x1，y1)，b(x2，y2)，m(xm，ym)，则得0，kab又ko m，kabkom所以直线om的斜率与直线l的斜率的乘积为定值与椭圆有关的综合问题典例已知椭圆y21(a1)，过直线l：x2上一点p作椭圆的切线，切点为a，当p点在x轴上时，切线pa的斜率为.(1)求椭圆的方程；(2)设o为坐标原点，求poa面积的最小值解(1)当p点在x轴上时，p(2,0)，直线pa的方程为y(x2)，联立x22x10，则440a22，所以椭圆方程为y21.(2)设切线方程为ykxm，p(2，y0)，a(x1，y1)，则(12k2)x24kmx2m22016k2m24(12k2)(2m22)0m22k21，且x1，y1，y02km，则|po|，直线po的方程为yx，则点a到直线po的距离d，则spoa|po|d|y0x12y1|(2km)|km|k|，(sk)212k2k22sks210，8s240s，当且仅当k时等号成立poa面积的最小值为.解决与椭圆有关的最值问题的三种方法(1)定义法：利用定义转化为几何问题处理(2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解(3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题来处理，注意椭圆的范围活学活用设椭圆1(ab0)的左、右焦点为f1，f2，右顶点为a，上顶点为b已知|ab|f1f2|(1)求椭圆的离心率(2)设p为椭圆上异于其顶点的一点，以线段pb为直径的圆经过点f1，经过原点o的直线l与该圆相切，求直线l的斜率解：(1)设椭圆的右焦点f2的坐标为(c,0)由|ab|f1f2|，可得a2b23c2，又b2a2c2，则所以椭圆的离心率e(2)由(1)知a2 2c2，b2c2故椭圆方程为1设p(x0，y0)由f1(c,0)，b(0，c)，有(x0c，y0)，(c，c)由已知，有0，即(x0c)cy0c0又c0，故有x0y0c0又因为点p在椭圆上，故1由和可得3x4cx00而点p不是椭圆的顶点，故x0，代入得y0，即点p的坐标为设圆的圆心为t(x1，y1)，则x1c，y1c，进而圆的半径rc，设直线l的斜率为k，依题意，直线l的方程为ykx由l与圆相切，可得r，即c，整理得k28k10，解得k4所以直线l的斜率为4或4层级一学业水平达标1直线ykxk1与椭圆1的位置关系为()a相切b相交c相离 d不确定解析：选b直线ykxk1可变形为y1k(x1)，故直线恒过定点(1,1)，而该点在椭圆1内部，所以直线ykxk1与椭圆1相交，故选b2椭圆mx2ny21与直线y1x交于m，n两点，过原点与线段mn中点所在直线的斜率为，则的值是()a bc d解析：选a由消去y得，(mn)x22nxn10设m(x1，y1)，n(x2，y2)，mn中点为(x0，y0)，则x1x2，x0，代入y1x得y0由题意，选a3已知f1，f2是椭圆的两个焦点，满足0的点m总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是()a(0,1) b0，c0， d，1解析：选c，点m在以f1f2为直径的圆上，又点m在椭圆内部，cb，c2b2a2c2，即2c2a2，即0，0eb0)的右焦点为f(3,0)，过点f的直线交e于a，b两点若ab的中点坐标为(1，1)，则e的方程为()a1 b1c1 d1解析：选d因为直线ab过点f(3,0)和点(1