（浙江专用）2018年高考数学总复习 第八章 立体几何与空间向量 第5讲 直线、平面垂直的判定及其性质学案.doc

第5讲直线、平面垂直的判定及其性质最新考纲1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.知 识 梳 理1.直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义如果一条直线l与平面内的任意直线都垂直，就说直线l与平面互相垂直.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直l性质定理 两直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行ab2.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直性质定理如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面l诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“”或“”)(1)直线l与平面内的无数条直线都垂直，则l.()(2)垂直于同一个平面的两平面平行.()(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.()(4)若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则.()解析(1)直线l与平面内的无数条直线都垂直，则有l或l与斜交或l或l，故(1)错误.(2)垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，故(2)错误.(3)若两个平面垂直，则其中一个平面内的直线可能垂直于另一平面，也可能与另一平面平行，也可能与另一平面相交，也可能在另一平面内，故(3)错误.(4)若平面内的一条直线垂直于平面内的所有直线，则，故(4)错误.答案(1)(2)(3)(4)2.(必修2p56a组7t改编)下列命题中错误的是()a.如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面b.如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面c.如果平面平面，平面平面，l，那么l平面d.如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面解析对于d，若平面平面，则平面内的直线可能不垂直于平面，即与平面的关系还可以是斜交、平行或在平面内，其他选项易知均是正确的.答案d3.(2016浙江卷)已知互相垂直的平面，交于直线l，若直线m，n满足m，n，则()a.ml b.mnc.nl d.mn解析因为l，所以l，又n，所以nl，故选c.答案c4.已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m的是()a.且m b.且mc.mn且n d.mn且解析由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知c正确.答案c5.(2017浙江名校协作体联考)已知矩形abcd，ab1，bc.将abd沿矩形的对角线bd所在的直线进行翻折，在翻折过程中，()a.存在某个位置，使得直线ac与直线bd垂直b.存在某个位置，使得直线ab与直线cd垂直c.存在某个位置，使得直线ad与直线bc垂直d.对任意位置，三对直线“ac与bd”，“ab与cd”，“ad与bc”均不垂直解析若abcd，bccd，则可得cd平面acb，因此有cdac.因为ab1，bcad，cd1，所以ac1，所以存在某个位置，使得abcd.答案b6.(必修2p67练习2改编)在三棱锥pabc中，点p在平面abc中的射影为点o，(1)若papbpc，则点o是abc的_心.(2)若papb，pbpc，pcpa，则点o是abc的_心.解析(1)如图1，连接oa，ob，oc，op，在rtpoa、rtpob和rtpoc中，papcpb，所以oaoboc，即o为abc的外心.图1 图2(2)如图2，pcpa，pbpc，papbp，pc平面pab，ab平面pab，pcab，又abpo，popcp，ab平面pgc，又cg平面pgc，abcg，即cg为abc边ab的高.同理可证bd，ah分别为abc边ac，bc上的高，即o为abc的垂心.答案(1)外(2)垂考点一线面垂直的判定与性质【例1】 如图，在四棱锥pabcd中，pa底面abcd，abad，accd，abc60，paabbc，e是pc的中点.证明：(1)cdae；(2)pd平面abe.证明(1)在四棱锥pabcd中，pa底面abcd，cd平面abcd，pacd，又accd，且paaca，cd平面pac.而ae平面pac，cdae.(2)由paabbc，abc60，可得acpa.e是pc的中点，aepc.由(1)知aecd，且pccdc，ae平面pcd.而pd平面pcd，aepd.pa底面abcd，ab平面abcd，paab.又abad，且paada，ab平面pad，而pd平面pad，abpd.又abaea，pd平面abe.规律方法(1)证明直线和平面垂直的常用方法有：判定定理；垂直于平面的传递性(ab，ab)；面面平行的性质(a，a)；面面垂直的性质(，a，la，ll).(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.【训练1】 如图所示，已知ab为圆o的直径，点d为线段ab上一点，且addb，点c为圆o上一点，且bcac，pd平面abc，pddb.求证：pacd.证明因为ab为圆o的直径，所以accb.在rtabc中，由acbc得，abc30.设ad1，由3addb得，db3，bc2.由余弦定理得cd2db2bc22dbbccos 303，所以cd2db2bc2，即cdab.因为pd平面abc，cd平面abc，所以pdcd，由pdabd得，cd平面pab，又pa平面pab，所以pacd.考点二面面垂直的判定与性质【例2】 (2015山东卷)如图，三棱台defabc中，ab2de，g，h分别为ac，bc的中点.(1)求证：bd平面fgh；(2)若cfbc，abbc，求证：平面bcd平面egh. 证明(1)连接dg，cd，设cdgfm，连接mh.在三棱台defabc中，ab2de，g为ac中点，可得dfgc，且dfgc，则四边形dfcg为平行四边形.从而m为cd的中点，又h为bc的中点，所以hmbd，又hm平面fgh，bd平面fgh，故bd平面fgh.(2)连接he，因为g，h分别为ac，bc的中点，所以ghab.由abbc，得ghbc.又h为bc的中点，所以efhc，efhc，因此四边形efch是平行四边形，所以cfhe.又cfbc，所以hebc.又he，gh平面egh，heghh，所以bc平面egh.又bc平面bcd，所以平面bcd平面egh.规律方法(1)证明平面和平面垂直的方法：面面垂直的定义；面面垂直的判定定理.(2)已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.【训练2】 如图，在三棱锥pabc中，平面pab平面abc，papb，m，n分别为ab，pa的中点.(1)求证：pb平面mnc；(2)若acbc，求证：pa平面mnc.证明(1)因为m，n分别为ab，pa的中点，所以mnpb.又因为mn平面mnc，pb平面mnc，所以pb平面mnc.(2)因为papb，mnpb，所以pamn.因为acbc，ambm，所以cmab.因为平面pab平面abc，cm平面abc，平面pab平面abcab.所以cm平面pab.因为pa平面pab，所以cmpa.又mncmm，所以pa平面mnc.考点三平行与垂直的综合问题(多维探究)命题角度一多面体中平行与垂直关系的证明【例31】 (2016江苏卷)如图，在直三棱柱abca1b1c1中，d，e分别为ab，bc的中点，点f在侧棱b1b上，且b1da1f，a1c1a1b1.求证：(1)直线de平面a1c1f；(2)平面b1de平面a1c1f.证明(1)在直三棱柱abca1b1c1中，a1c1ac.在abc中，因为d，e分别为ab，bc的中点，所以deac，于是dea1c1.又因为de平面a1c1f，a1c1平面a1c1f，所以直线de平面a1c1f.(2)在直三棱柱abca1b1c1中，a1a平面a1b1c1.因为a1c1平面a1b1c1，所以a1aa1c1.又因为a1c1a1b1，a1a平面abb1a1，a1b1平面abb1a1，a1aa1b1a1，所以a1c1平面abb1a1.因为b1d平面abb1a1，所以a1c1b1d.又因为b1da1f，a1c1平面a1c1f，a1f平面a1c1f，a1c1a1fa1，所以b1d平面a1c1f.因为直线b1d平面b1de，所以平面b1de平面a1c1f.规律方法(1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.(2)垂直与平行的结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.命题角度二平行垂直中探索性问题【例32】 如图所示，平面abcd平面bce，四边形abcd为矩形，bcce，点f为ce的中点.(1)证明：ae平面bdf.(2)点m为cd上任意一点，在线段ae上是否存在点p，使得pmbe？若存在，确定点p的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由.(1)证明连接ac交bd于o，连接of，如图.四边形abcd是矩形，o为ac的中点，又f为ec的中点，of为ace的中位线，ofae，又of平面bdf，ae平面bdf，ae平面bdf.(2)解当p为ae中点时，有pmbe，证明如下：取be中点h，连接dp，ph，ch，p为ae的中点，h为be的中点，phab，又abcd，phcd，p，h，c，d四点共面.平面abcd平面bce，平面abcd平面bcebc，cd平面abcd，cdbc.cd平面bce，又be平面bce，cdbe，bcce，h为be的中点，chbe，又cdchc，be平面dphc，又pm平面dphc，bepm，即pmbe.规律方法(1)求条件探索性问题的主要途径：先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性.(2)涉及点的位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点.【训练3】 (2017嘉兴七校联考)在如图所示的几何体中，面cdef为正方形，面abcd为等腰梯形，abcd，ac，ab2bc2，acfb.(1)求证：ac平面fbc.(2)求四面体fbcd的体积.(3)线段ac上是否存在点m，使ea平面fdm？若存在，请说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由.(1)证明在abc中，因为ac，ab2，bc1，所以ac2bc2ab2，所以acbc.又因为acfb，bcfbb，所以ac平面fbc.(2)解因为ac平面fbc，fc平面fbc，所以acfc.因为cdfc，accdc，所以fc平面abcd.在等腰梯形abcd中可得cbdc1，所以fc1.所以bcd的面积为s.所以四面体fbcd的体积为vfbcdsfc.(3)解线段ac上存在点m，且点m为ac中点时，有ea平面fdm.证明如下：连接ce，与df交于点n，取ac的中点m，连接mn.因为四边形cdef是正方形，所以点n为ce的中点.所以eamn.因为mn平面fdm，ea平面fdm，所以ea平面fdm.所以线段ac上存在点m，且m为ac的中点，使得ea平面fdm成立.思想方法1.证明线面垂直的方法：(1)线面垂直的定义：a与内任何直线都垂直a；(2)判定定理1：l；(3)判定定理2：ab，ab；(4)面