不等式证明20法.doc

不等式证明方法大全不等式的证明是数学证题中的难点，其原因是证明无固定的程序可循，方法多样，技巧性强。1、比较法（作差法）在比较两个实数和的大小时，可借助的符号来判断。步骤一般为：作差变形判断（正号、负号、零）。变形时常用的方法有：配方、通分、因式分解、和差化积、应用已知定理、公式等。例1、已知：，求证：。证明：，故得。2、分析法（逆推法）从要证明的结论出发，一步一步地推导，最后达到命题的已知条件（可明显成立的不等式、已知不等式等），其每一步的推导过程都必须可逆。例2、求证：。证明：要证，即证，即，由此逆推即得。3、综合法证题时，从已知条件入手，经过逐步的逻辑推导，运用已知的定义、定理、公式等，最终达到要证结论，这是一种常用的方法。例3、已知：，同号，求证：。证明：因为，同号，所以，则，即。4、作商法（作比法）在证题时，一般在，均为正数时，借助或来判断其大小，步骤一般为：作商变形判断（大于1或小于1）。例4、设，求证：。证明：因为，所以，。而，故。5、反证法先假设要证明的结论不对，由此经过合理的逻辑推导得出矛盾，从而否定假设，导出结论的正确性，达到证题的目的。例5、已知，是大于1的整数，求证：。证明：假设，则，即，故，这与已知矛盾，所以。6、迭合法（降元法）把所要证明的结论先分解为几个较简单部分，分别证明其各部分成立，再利用同向不等式相加或相乘的性质，使原不等式获证。例6、已知：，求证：。证明：因为，所以，。由柯西不等式，所以原不等式获证。7、放缩法（增减法、加强不等式法）在证题过程中，根据不等式的传递性，常采用舍去一些正项（或负项）而使不等式的各项之和变小（或变大），或把和（或积）里的各项换以较大（或较小）的数，或在分式中扩大（或缩小）分式中的分子（或分母），从而达到证明的目的。值得注意的是“放”、“缩”得当，不要过头。常用方法为：改变分子（分母）放缩法、拆补放缩法、编组放缩法、寻找“中介量”放缩法。例7、求证：。证明：令，则，所以。8、数学归纳法对于含有的不等式，当取第一个值时不等式成立，如果使不等式在时成立的假设下，还能证明不等式在时也成立，那么肯定这个不等式对取第一个值以后的自然数都能成立。例8、已知：，求证：。证明：（1）当时，不等式成立；（2）若时，成立，则=，即成立。根据（1）、（2），对于大于1的自然数都成立。9、换元法在证题过程中，以变量代换的方法，选择适当的辅助未知数，使问题的证明达到简化。例9、已知：，求证：。证明：设，则， （因为，），所以。10、三角代换法借助三角变换，在证题中可使某些问题变易。例10、已知：，求证：。证明：设，则；设，则所以。11、判别式法通过构造一元二次方程，利用关于某一变元的二次三项式有实根时判别式的取值范围，来证明所要证明的不等式。例11、设，且，求证：。证明：设，则代入中得，即因为，所以，即，解得，故。12、标准化法形如的函数，其中，且为常数，则当的值之间越接近时，的值越大（或不变）；当时，取最大值，即。标准化定理：当A+B为常数时，有。证明：记A+B=C，则，求导得，由得C=2A，即A=B又由知的极大值点必在A=B时取得由于当A=B时，故得不等式。同理，可推广到关于个变元的情形。例12、设A，B，C为三角形的三内角，求证：。证明：由标准化定理得，当A=B=C时，取最大值，故。13、等式法应用一些等式的结论，可以巧妙地给出一些难以证明的不等式的证明。例13（1956年波兰数学竞赛题）、为的三边长，求证：。证明：由海伦公式，其中。两边平方，移项整理得而，所以。14、函数极值法通过变换，把某些问题归纳为求函数的极值，达到证明不等式的目的。例14、设，求证：。证明：当时，取最大值；当时，取最小值4。故。15、单调函数法当属于某区间，有，则单调上升；若，则单调下降。推广之，若证，只须证及即可，。例15、，求证：。证明：当时，而故得。16、中值定理法利用中值定理：是在区间上有定义的连续函数，且可导，则存在，满足来证明某些不等式，达到简便的目的。例16、求证：。证明：设，则故。17、分解法按照一定的法则，把一个数或式分解为几个数或式，使复杂问题转化为简单易解的基本问题，以便分而治之，各个击破，从而达到证明不等式的目的。例17、，且，求证：。证明：因为所以。18、构造法在证明不等式时，有时通过构造某种模型、函数、恒等式、复数等，可以达到简捷、明快、以巧取胜的目的。例18、已知：，求证：。证明：依题设，构造复数，则，所以故。19、排序法利用排序不等式来证明某些不等式。排序不等式：设，则有，其中是的一个排列。当且仅当或时取等号。简记作：反序和乱序和同序和。例19、求证：。证明：因为有序，所以根据排序不等式同序和最大，即。20、几何法借助几何图形，运用几何或三角知识可使某些证明变易。例20、已知：，且，求证：。证明：以为斜边，为直角边作延长AB至D，使，延长AC至E，使，过C作AD的平行线交DE于F，则，令，所以又，即，所以。 另外，还可以利用重要的不等式来证题，如平均不等式、柯西（Cauchy）不等式、琴生（Jensen）不等式、绝对值不等式、贝努利（J.Ber