高中数学 第三章 推理与证明 3.1.2 类比推理同步测控 北师大版选修1-2.DOC

高中数学 第三章 推理与证明 3.1.2 类比推理同步测控 北师大版选修1-2我夯基 我达标1.如果对象a和b都具有相同的属性p、q、r等，此外已知对象a还有一个属性s，而对象b还有一个未知的属性x,由类比推理，可以得出下列哪个结论可能成立？（ ）a.x就是p b.x就是q c.x就是r d.x就是s解析:各自另外的属性s只能类比x.答案:d2.已知扇形的弧长为l,半径为r,类比三角形的面积公式s=，可推知扇形面积公式s扇等于（ ）a. b. c. d.不可类比解析:由扇形的弧与半径类比于三角形的底边与高,可得c.答案:c3.下面使用类比推理恰当的是（ ）a.“若a3=b3，则a=b”类推出“a0=b0，则a=b”b.“(a+b)c=ac+bc”类推出“（ab）c=acbc”c.“（a+b）c=ac+bc”类推出“+(c0)”d.“（ab）n=anbn”类推出“（a+b）n=an+bn”解析:由实数运算积累的知识,易得c.答案:c4.下列说法正确的是（ ）a.若|=|，则=b.若=，则|=|c.若=，则四边形abdc为平行四边形，类似地，若ab=cd，则四边形abdc为平行四边形d.若，则、共线，类似地，若abcd，则ab、cd共线解析:由向量的有关概念,可知b正确.答案:b5.下列类比正确的是（ ）a.平面内两组对边分别相等的四边形是平行四边形，则空间中两组对边分别相等的四边形是平行四边形b.平面内两组对边分别平行的四边形是平行四边形，则空间内两组对边分别平行的四边形为平行四边形c.平面内垂直于同一条直线的两直线平行，则空间内垂直于同一条直线的两直线平行d.平面内n边形的内角和为（n-2）180，则空间内n面体的各面内角和为n(n-2)180解析:空间内两组对边分别相等的四边形不一定是平行四边形,但两组对边平行,则一定在一个平面内是平行四边形.答案:b6.下列类比错误的是（ ）a.三角形的两边中点连线得到的中位线平行并且等于第三边的一半，类似地，三棱锥的中截面的面积等于底面面积的一半b.三角形两边中点连线得到的中位线平行且等于第三边的一半，类似地，三棱锥的中截面的面积等于底面面积的c.三角形被平行于一边的直线所截得的三角形与原三角形相似，面积比等于相似比的平方，类似地棱锥被平行于底面的平面所截得的多边形与底面相似，面积比等于相似比的平方d.梯形的中位线等于两底和的一半，类似地，圆台的中截面半径等于上、下两底半径和的一半解析:a错误,三棱锥的中截面的面积等于底面面积的.答案:a7.由“等腰三角形的两底角相等，两腰相等”，可以类比推出正棱锥的类似属性是_.解析:等腰三角形的底与腰分别与正棱锥的底面与侧面类比.答案:各侧面与底面所成的二面角相等,各侧面都是全等三角形或各侧棱相等我综合 我发展8.类比以（0，0）为圆心、以r为半径的圆的方程x2+y2=r2，写出以（0，0，0）为球心、以r为半径的球的方程为_.解析:将平面方程推广到空间中需用三维坐标,空间内任意一点为(x,y,z),到球心的距离等于半径.答案:x2+y2+z2=r29.类比实数的加法和向量的加法，列出它们相似的运算性质.解析:向量的加法类比实数的加法,有许多共同点.解:(1)两实数相加后,结果是一个实数,两向量相加后,结果仍是一个向量.(2)从运算律的角度考虑,它们都满足交换律和结合律:a+b=b+a,a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c),(a+b)+c=a+(b+c).(3)从逆运算的角度考虑,二者都有逆运算,即减法运算,a+x=0与a+x=0都有唯一解,x=-a与x=-a.(4)在实数加法中,任意实数与0相加都不改变大小,即a+0=a,在向量加法中,任意向量与零向量相加,既不改变该向量的大小,亦不改变该向量的方向,即a+0=a.10.类比实数相等关系与不等关系，列出它们相似的性质.解析:实数相等关系与不等关系有许多相似的运算,可一一列举出.解:相等关系不等关系a=bb=aabbb,bcaca=ba+c=b+caba+cb+ca+c=b+dacbda=bac=bcab,c0acbcab,c0acb0anbna=b0=ab0=11.通过与圆的有关性质类比，推测出球的有关性质.解析:球是由圆旋转而成的,都是到一定点距离等于定长的点的集合,它们有类似的性质.解:圆球圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦球心与截面圆(不经过圆心的小截面圆)圆心的连线垂直于截面圆与圆心距离相等的两条弦长相等与球心距离相等的两个截面圆的面积相等圆的周长c=d球的表面积s=d212.在rtabc中，若c=90，则cos2a+cos2b=1，请在立体几何中，给出四面体性质的猜想.解析:考虑到平面中的图形是直线三角形,所以空间中取有三个面两两垂直的四面体pabc,且三个面与面abc所成的二面角分别为、.解:在rtabc中,cos2a+cos2b=()2+()2=1.于是类比到四面体pabc中,猜想三棱锥pabc中,若三个侧面pab、pbc、pca两两互相垂直且分别与底面所成的角为、,则cos2+cos2+cos2=1.我创新 我超越13.类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间四面体性质的猜想.解析:直角三角形的两条边互相垂直,我们选取有3个面两两垂直的四面体,作为直角三角形的类比对象.解:在四面体pdef中,若pdf=pde=edf=90,设s1、s2、s3和s分别表示pdf、pde、edf和pef的面积.相应于直角三角形的两条直角边和一斜边,则猜想s2=s12+s22+s32.14.两个同心圆中，任作大圆的弦zy交小圆于p、q，大圆半径为r，小圆半径为r.求证：pzpy为定值.解析:本题pzpy为定值,定值是多少?我们可先由特殊到一般,我们可先取特殊位置,如zy为大圆的直径等