（通用版）高考数学一轮复习 第八章 立体几何 课时达标检测（三十九）利用空间向量求空间角 理.doc

课时达标检测（三十九） 利用空间向量求空间角一般难度题全员必做1已知直三棱柱abca1b1c1，acb90，cacbcc1，d为b1c1的中点，求异面直线bd和a1c所成角的余弦值解：如图所示，以c为坐标原点，ca，cb，cc1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系设cacbcc12，则a1(2,0,2)，c(0,0,0)，b(0,2,0)，d(0,1,2)，(0，1,2)， (2,0，2)，cos，.异面直线bd与a1c所成角的余弦值为.2.(2018河南洛阳模拟)已知三棱锥a bcd，ad平面bcd，bdcd，adbd2，cd2，e，f分别是ac，bc的中点，p为线段bc上一点，且cp2pb.(1)求证：apde；(2)求直线ac与平面def所成角的正弦值解：(1)证明：作pgbd交cd于点g.连接ag.2，gdcd.ad平面bcd，addc，在adg中，tangad，dag30，在rtadc中，ac2ad2cd241216，ac4，又e为ac的中点，deae2，又ad2，ade60，agde.ad平面bcd，adbd，又bdcd，adcdd，bd平面adc，pg平面adc，pgde.又agpgg，de平面agp，又ap平面agp，apde.(2)以d为坐标原点，直线db、dc、da所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系d xyz，则d(0,0,0)，a(0,0,2)，b(2,0,0)，c(0,2，0)，e(0，1)，f(1，0)，(1，0)，(0，1)，(0,2，2)设平面def的法向量为n(x，y，z)，则即令x3，则n(3，3)设直线ac与平面def所成角为，则sin |cos，n|，所以ac与平面def所成角的正弦值为.3.如图，四边形abcd为正方形，pd平面abcd，dpc30，afpc于点f，fecd，交pd于点e.(1)证明：cf平面adf；(2)求二面角d afe的余弦值解：(1)证明：pd平面abcd，ad平面abcd，pdad.又cdad，pdcdd，ad平面pcd.又pc平面pcd，adpc.又afpc，adafa，pc平面adf，即cf平面adf.(2)设ab1，则在rtpdc中，cd1，又dpc30，pc2，pd，pcd60.由(1)知cfdf，dfcdsin 60，cfcdcos 60.又fecd，de.同理efcd.如图所示，以d为原点，建立空间直角坐标系，则a(0,0,1)，e，f，p(，0,0)，c(0,1,0)设m(x，y，z)是平面aef的一个法向量，则又，令x4，得m(4,0，)由(1)知平面adf的一个法向量为(，1,0)，设二面角d afe的平面角为，可知为锐角，故cos |cosm，|.故二面角d af e的余弦值为.中档难度题学优生做1.(2018郑州质量预测)如图，三棱柱abc a1b1c1中，各棱长均相等d，e，f分别为棱ab，bc，a1c1的中点(1)证明：ef平面a1cd；(2)若三棱柱abc a1b1c1为直棱柱，求直线bc与平面a1cd所成角的正弦值解：(1)证明：在三棱柱abc a1b1c1中，aca1c1，且aca1c1，连接ed(图略)，在abc中，因为d，e分别为棱ab，bc的中点，所以deac，deac.又f为a1c1的中点，可得a1fa1c1，所以a1fde，a1fde，因此四边形a1fed为平行四边形，所以efa1d，又ef平面a1cd，a1d平面a1cd，所以ef平面a1cd.(2)法一：因为底面abc是正三角形，d为ab的中点，所以cdab，又aa1cd，aa1aba，所以cd平面a1abb1.如图在平面a1abb1内，过点b作bga1d，交直线a1d于点g，连接cg，则bg平面a1cd，所以bcg为直线bc与平面a1cd所成的角设三棱柱的棱长为a，可得a1d，由a1adbgd，可得bg，在rtbcg中，sinbcg.所以直线bc与平面a1cd所成角的正弦值为.法二：设a1b1的中点为o，连接oc1，od，因为三棱柱abc a1b1c1为直棱柱，所以od平面a1b1c1，所以odoc1，odoa1.又a1b1c1为等边三角形，所以oc1a1b1.以o为坐标原点， ， 的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系o xyz.设三棱柱的棱长为a，则o(0,0,0)，b，c，a1，d(0，a,0)所以，.设平面a1cd的法向量为n(x，y，z)，由得令x2，得n(2,1,0)设直线bc与平面a1cd所成的角为，则sin .所以直线bc与平面a1cd所成角的正弦值为.2如图，正方形abcd的边长为4，abaebfef，abef，把四边形abcd沿ab折起，使得ad平面aefb，g是ef的中点，如图.(1)求证：ag平面bce；(2)求二面角caef的余弦值解：(1)证明：连接bg，因为bcad，ad底面aefb，所以bc底面aefb，又ag底面aefb，所以bcag，因为ab綊eg，abae，所以四边形abge为菱形，所以agbe，又bcbeb，be平面bce，bc平面bce，所以ag平面bce.(2)由(1)知四边形abge为菱形，agbe，aeegbgab4，设agbeo，所以oeob2，oaog2，以o为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则o(0,0,0)，a(2,0,0)，e(0，2，0)，f(4,2，0)，c(0,2，4)，d(2,0,4)，所以(2,2，4)，(2，2，0)，设平面ace的法向量为n(x，y，z)，则所以令y1，则x，z，即平面ace的一个法向量为n(，1，)，易知平面aef的一个法向量为(0,0,4)，设二面角caef的大小为，由图易知，所以cos .较高难度题学霸做1.(2018安徽省百所重点高中模拟)如图所示的几何体由平面pecf截棱长为2的正方体得到，其中p，c为原正方体的顶点，e，f为原正方体侧棱长的中点，正方形abcd为原正方体的底面，g为棱bc上的动点(1)求证：平面apc平面pecf；(2)设 (01)，当为何值时，平面efg与平面abcd所成的角为？解：(1)证明：由已知可知，ebfd，且ebfd，如图，连接bd，则四边形efdb是平行四边形，efbd.底面abcd为正方形，bdac.ap底面abcd，bdap.又acapa，bd平面apc，ef平面apc.ef平面pecf，平面apc平面pecf.(2)以d为原点建立如图所示的空间直角坐标系d xyz，则b(2,2,0)，f(0,0,1)，e(2,2,1)，g(2,22，0)，(2,2,0)， (0,2，1)，设m(x，y，z)是平面efg的法向量，故即令y1，可得m(1，1,2)为平面efg的一个法向量，而平面abcd的一个法向量为n(0,0,1)于是cos|cosm，n|，解得，又01，.2(2018山西太原模拟)如图甲，在平面六边形abfcde中，四边形abcd是矩形，且ab4，bc2，aede，bfcf，点m，n分别是ad，bc的中点，分别沿直线ad，bc将ade，bcf翻折成如图乙的空间几何体abcdef.(1)利用下面的结论或结论，证明：e，f，m，n四点共面；结论：过空间一点作已知直线的垂面，有且只有一个结论：过平面内一条直线作该平面的垂面，有且只有一个(2)若二面角e adb和二面角f bc a都是60，求二面角a bef的余弦值解：(1)证明：如图，连接mn，me，nf，四边形abcd是矩形，点m，n分别是ad，bc的中点，ambn，ambn，dab90，四边形abnm是矩形，admn.aede，点m是ad的中点，adme，又mnmem，ad平面emn，平面emn平面abcd，同理可得平面fmn平面abcd，由结论可得平面emn与平面fmn是同一个平面，e，f，m，n四点共面(2)由(1)知平面emnf平面abcd，过点e作eomn，垂足为o，eo平面abcd.以过点o作垂直于mn的直线为x轴，on，oe所在直线分别为y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系o xyz.ad2，aede，点m是ad的中点，aed