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向量法求夹角 1 设异面直线a b的夹角为 cos 利用两条直线的方向向量的夹角的余弦的绝对值为两直线的夹角的余弦而得 1求直线和直线所成的角 2 例1 正六棱柱ABCDEF A1B1C1D1E1F1 的底面边长为1 侧棱长为 则这个 棱柱的侧面对角线E1D与BC1所成的角是 A 90 B 60 C 45 D 30 2002年全国高考 解法一 连结FE1 FD BC1 四边形BFE1C1是平行四边形 FE1 BC1 FE1D是异面直线E1D与BC1所成的角或补角 底长为1 棱长为 FE1 FDE1为等边三角形 FE1D 60 B 3 解法2 建立如图所示的直角坐标系 故 60 E1D与BC1所成的角是60 故应选B 4 一法向量 如果一个向量所在直线垂直于平面 则该向量是平面的一个法向量 1证明线面平行 二法向量的主要作用 取和直线平行的向量 验证该向量和法向量的点积是否为零 a a a 5 例1 如图 正方体ABCD A1B1C1D1中 E是的BB1中点 求证 BD1 平面A1C1E 法一 证明 连B1D1交A1C1于O 连OE OD1 OB1 B1E BE OE BD1 BD1 平面A1C1E OE 平面A1C1E BD1 平面A1C1E 6 证法二 如图所示建立直角坐标系 且设正方体的棱长为2 D1 0 0 0 B 2 2 2 A1 2 0 0 C1 0 2 0 E 2 2 1 2 2 2 0 2 1 2 0 1 设平面A1EC1的法向量为 2y z 0 2x z 0 令x 1时 z 2 y 1 D1B 平面A1EC1 D1B 平面A1EC1 7 2证明面面垂直 如图设 a 验证两个平面的法向量的点积是否为零 8 3 求直线和平面所成的角 设直线BA与平面 的夹角为 A g1 9 例1如图所示 已知正四面体O ABC E F分别是AB OC的中点 1 求OE与BF所成的角 2 求BF与平面ABC所成的角 分析 1 设 求出 然后可求 2 可过点O作OO 平面ABC于点O 若OO 与 BF所成的角为 则BF与平面ABC所成的角为 10 解 1 设正四面体O ABC的棱长为1 则 11 OE与BF所成的角为 12 2 求BF与平面ABC所成的角 2 作OO 平面ABC于点O 设OO 与BF所成 的角为 则BF与平面ABC所成的角为 13 14 求BF与平面ABC所成的角 评析 利用向量讨论线面关系不需作辅助线 但需要正确 设出空间向量的基底 再利用多面体的性质算出或找出其它的向量 15 4 法向量的夹角与二面角的平面角的关系 设a l b的平面角为q q g 两个平面的法向量同时指向或背离 16 设a l b的平面角为q q g 两个平面的法向量一个指向另一个背离 17 例1如图 在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中 AC与BD交于点E C1B与CB1交于点F 1 求证 A1C 平面BDC1 2 求二面角B EF C的大小 结果用反三角函数表示 证明 1 以点D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 则 C 0 1 0 A1 1 0 1 B 1 1 0 D 0 0 0 C1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 C1D BD D A1C 平面BDC1 18 2020 1 8 19 解 2 同 1 可知 D1B 平面AB1C 由 1 A1C 平面BDC1 即向量 1 1 1 故二面角B EF C的为 20 例2 2001年全国 如图 在底面是直角梯形的四棱锥S ABCD中 与面SBA所成的二面角的正切值 D B C A s 解法1 延长BA CD相交于E 连接SE 则SE是所求二面角的棱 AD BC BC 2AD EA AB SA SE SB SA 面ABCD SA BC BC AB BC 面SEB SB是SC在面SEB上的射影 ABC 90 SA 面ABCD 求面SCD SA BC AB 1 21 SC SE CSB是所求二面角的平面角 BC 1 SBC 90 tan BSC 即所求二面角的正切值为 22 解法2 建立如图所示的直角坐标系 C 1 1 0 S 0 0 1 法向量 设平面SCD的法向量 即 23 即 令x 1 则 cosa 从而tana 反思研究 求二面角大小可转化为求两个平面的法向量的夹角大小 两平面法向量的夹角与二面角的大小相等或互补 解题时要注意 结合题目条件进一步确定二面角的大小 24 例3 2001年天津 如图 以正四棱锥V ABCD底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系O xyz 其中ox BC oy AB E为VC的中点 正四棱锥底面边长为2a 高为h 2 记面BCV为a 面DCV为b BED是二面角a VC b的平面角 求 BED 解 1 依题意 B a a 0 C a a 0 D a a 0 25 26 2 BED是二面角a VC b的平面角 又由C a a 0 V 0 0 h 0 BED 27 巩固练习 例1 2002年新教材高考题 如图所示 正三棱柱ABC A1B1C1的底面边长为a 侧棱长为 1 建立适当的坐标系 并写出点A B A1 C1的坐标 2 求AC1与侧面ABB1A1所成的角 1 1 解 1 如图以点A为坐标原点O 以AB所在 的直线为oy轴 以AA1所在直线为oz轴 以经过原点且与平面ABB1A1垂直的直线 为ox轴 建立空间直角坐标系 由已知得 A 0 0 0 B 0 a 0 A1 0 0 28 2 取A1B1的中点M 于是有 连MC1 AM 有 0 a 0 由于 0 0 MC1 平面ABB1A1 AC1与AM所成的角就是 AC1与侧面 ABB1A1所成的角 29 AC1与侧面ABB1A1所成的角为30 评析 本题主要考查空间直角坐标系的概念 空间点和向量的坐标 表示以及向量夹角的计算方法 考查运用向量研究空间图形的数学 思想方法 30 例2 2003年全国 如图直三棱柱ABC A1B1C1底面是等腰直角三角形 ACB 90 侧棱AA1 2 D E分别是CC1与A1B的中点 点E在平面ABD上的射影是 ABD的重心G 求A1B与平面ABD所成的角的大小 结果用反三角函数值表示 A 解 连结BG 则BG是BE在面ABD上的射影 即 A1BG是A1B与ABD所成的角 如图所示建立直角坐标系 坐标原点为C 设CA 2a 则A 2a 0 0 B 0 2a 0 D 0 0 1 E a a 1 0 2a 1 0 得a 1 31 B 0 2 0 A1 2 0 2 2 2 2 cos A1BG A1B与平面ABD所成的角是 32 3 正四棱锥S ABCD的棱长为 底面的边长为 E是SA的中点 求异面直线BE和SC所成的角 解法1 设O为底面的中心 连EO 则EO SC 则 BEO为异面直线BE和SC所成的角 又BD 面SAC BD OE tan BEO BEO 60 异面直线BE和SC所成的角为60 33 解2 如图所示建立空间直角坐标系 34 1 异面直线BE和SC所成的角为60 35 4正四棱锥S ABCD底面边长为4 高为6 点P是高S