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指数曲线模型的讲解 第一节直线模型预测法第二节多项式曲线模型预测法第三节指数曲线模型预测法第四节修正指数曲线模型预测法第五节成长曲线预测模型 应用趋势延伸法有两个假设前提 1 决定过去预测目标发展的因素 在很大程度上仍将决定其未来的发展 2 预测目标发展过程一般是渐进变化 而不是跳跃式变化 2 常见的趋势线 3 第一节直线模型预测法 直线预测模型为 直线预测模型的特点 是一阶差分为一常数 一 最小平方法最小平方法就是使误差平方和即达到最小来估计a和b的方法 4 5 x的编号的影响 对预测结果没有影响对斜率b没有影响对截距a有影响 6 如果时间序列有偶数项 则对称编号方式 5 3 1 1 3 5 如果时间序列有奇数项 则对称编号方式 2 1 0 1 2 7 例1某市1978 1986年化纤零售量如表所示 试预测1987年化纤零售量 某市化纤零售量及其一阶差分单位 万米解 1 选择预测模型计算序列的一阶差分 列于表中 从计算结果可以看出 一阶差分大体接近 因此 可配合直线预测模型来预测 2 建立直线预测模型根据资料列表计算有关数据 8 某市化纤零售量直线预测模型最小平方法计算表 9 所求直线预测模型为 3 预测以代入预测模型 则可预测1987年化纤零售量为 10 二 折扣最小平方法 折扣最小平方法就是对误差平方进行指数折扣加权后 使其总和达到最小的方法 其数学表达式为 最近期的误差平方的权数为 最远期的误差平方的权数为 第t期的误差平方的权数为 由于是越来越小的权数 这说明对最近期的误差平方不打折扣 而对远期的误差平方 越远打的折扣越大 所以称为折扣最小平方法 11 用折扣最小平方法来估计直线预测模型的参数a b 使对此式求偏导数 便得求参数a b估计值的标准方程组为 12 例2根据前面给出的某市化纤零售量的统计资料 试用折扣最小平方法预测1987年化纤零售量 0 8 13 解 列表计算有关数据 将计算的结果代入公式得 解此方程组得 所求直线预测模型为 将各年的t值代入预测模型 可得各年的追溯预测值 14 直线趋势延伸预测模型与运用平滑技术建立直线预测模型进行预测的比较 相同点 都遵循事物发展连续原则 预测目标时间序列资料呈现有单位时间增 减 量大体相同的长期趋势变动为适用条件 区别为 预测模型的参数计算方法不同 线性预测模型中的时间变量取值不同 模型适应市场的灵活性不同 随时间推进 建模型参数的简便性不同 直线趋势延伸模型较适合趋势发展平衡的预测对象的近期 中期预测 平滑技术建立的线性模型更适合趋势发展中有波动的预测目标的短期 近期预测 15 第二节多项式曲线模型预测法 多项式曲线预测模型的一般形式为 二次抛物线预测模型为 二次抛物线预测模型的特点是二阶差分为一常数 16 2 用三点法确定待定系数 由于三个参数需三个方程估算 故将历史数据分解成三组 其原理 其理论值与实际值的离差代数和为零 即 17 这三点选择方法是 1 当时间序列的总项数n 15时 在序列的首尾两端和正中各取五项数据 求出三个加权平均数 权数由远及近分别用1 2 3 4 5 用以加重近期信息在平均数中的比重 这三个加权平均数就作为二次抛物线上三个点的纵坐标 2 若9 n 15时 则在序列初 中 近期各取三项求出三个加权平均数 权数由远及近分别用1 2 3 若为偶数 可删去最初的一个观察期数据 18 设初 中 近期三点的坐标为又设n为数列总项数 且为奇数 则 正中项设各项观察值为 五项加权平均时 三个加权平均数为 19 这三点的横坐标也应取加权平均值 即 五项加权平均时 三点的坐标为 三项加权平均时三点的坐标为 20 二次抛物线预测模型的参数估计值 二次抛物线预测模型为 求得的三点坐标必须满足这模型 因此五项加权平均时有 21 解方程组得参数估计值为 同理 三项加权平均时 参数估计值为 22 例4某市1978 1986年某水产品收购量如表所示 试预测1987年某水产品收购量 某市某水产品收购量及其差分单位 万担 23 24 根据上表资料计算得 代入公式得 25 二次抛物线预测模型为 将各年的t值代入预测模型 可得各年的追溯预测值 26 三次抛物线预测模型为 三次抛物线预测模型的特点是三阶差分为一常数 27 参数估计 一 最小平方法根据最小平方法的原理 可得标准方程组 为了简化计算 可选取时间序列的中点为时间原点 使 从而使上列方程组简化为 由此可解得a b c d的估计值 28 例3某省1974 1986年机械手表销售量如下表所示 试预测1987年手表销售量 29 30 解 1 选择预测模型 从表的资料 可以看出机械手表销售量是呈现先上升 后下降 再上升的发展趋势 其图形为一条有两个弯曲的曲线 因此 可配合三次抛物线预测模型来预测 2 建立三次抛物线预测模型 列表计算有关数据 将计算结果代入公式得 解此方程组得 31 所求三次抛物线预测模型为 将各年的t值代入预测模型 可得各年的追溯预测值 3 预测又 0 05 自由度n m 9时 查t分布表得 以t 7代入预测模型 可得1987年手表销售量的预测值为 32 预测区间 简化式 为即有95 的把握预期1987年该省机械手表销售量将在 14 15 19 71 万只之间 33 指数曲线模型预测法 指数曲线预测模型为 其特点是环比发展速度为一常数 可化为对数直线模型 其特点是对数的一阶差分为一常数 34 根据最小平方法的原理并使 t 0 推导求得 再求反对数 便得a b的估计值 例5某市1978 1989年居民储蓄存款余额如表所示 试预测1990年该市居民储蓄存款余额 35 某市居民储蓄存款余额最小平方法计算表单位 亿元 36 解 1 选择预测模型 计算序列的环比发展速度 列于上表中 从计算结果可以看出 环比发展速度大体相近 因此 可配合指数曲线预测模型来预测 2 建立指数曲线预测模型 列表计算有关数据 将计算结果代入公式 可得 求反对数 得 所求指数曲线预测模型为 3 预测 90年居民储蓄存款余额的预测值为 37 二 两点法 指数曲线的对数形式为 令化为直线预测模型 若n 10时 在序列首尾两端各取五项加权平均 可得参数估计值若6 n 10时 则取三项加权平均 同理可求得参数估计值为 38 例6根据例5某市居民储蓄存款余额的统计资料 试用三点法建立预测模型 预测1990年该市居民储蓄存款余额 某市居民储蓄存款余额指数曲线预测模型三点法计算表 39 解 1 建立指数曲线预测模型 根据表中的资料计算得 代入公式得 所求预测模型为 2 预测 以t 13代入预测模型 可得1990年该市居民储蓄存款余额的预测值为 40 修正指数曲线模型预测法 预测模型及其特征修正指数曲线预测模型为 41 由于修正指数曲线预测模型的一阶差分 是指数函数形式 因此由指数曲线预测模型的特点 可知修正指数曲线预测模型的特征是 一阶差分的环比为一常数 42 3 4修正指数曲线拟合法 2 参数的确定方法 1 分组平均法 三点法 2 三和法 设有3n个观察值 若9个数据n 3 取时间 则有 43 3 4修正指数曲线拟合法 将三组分组左 右两边分别相加得 把 式代入 式 44 例7某市1977 1985年某种家用电器销售量如表所求 试预测1986 1987年该种家用电器销售量 45 解 1 选择预测模型 计算序列一阶差分的环比列于表中 可知一阶差分环比基本上为一常数 因此 可配合修正指数曲线预测模型来预测 2 建立修正指数曲线预测模型 n 3将计算结果代入k a b的计算公式 得 46 所求修正指数曲线预测模型为 3 预测 以t 9和t 10分别代入预测模型 可得1986年和1987年该种家用电器销售量的预测值分别为 表明这种家用电器已处于饱和状态 47 生长曲线 S曲线 预测法 技术和经济的发展过程类似于生物的发展过程 经历发生 发展 成熟三个阶段 每一阶段的发展速度是不一样的 一般地 在发生阶段 变化速度较为缓慢 在发展阶段 变化速度加快 到成熟阶段 变化速度又趋于缓慢 按照这三个阶段发展规律得到的事物变化发展曲线 通常称为生长曲线或增长曲线 亦称逻辑增长曲线 由于此类曲线常似 S 形 故又称S曲线 现在 S曲线已广泛应用于描述及预测生物个体生长发育及某些技术 经济特性的发展领域中 48 49 成长曲线预测模型 一 龚柏兹曲线预测模型龚柏兹曲线 是美国统计学家和数学家龚柏兹首先提出用作控制人口增长率的一种数学模型 它的预测模型为 对其求一 二阶导数 有并令 可求得曲线拐点的位置为 0 a 1e 2 718282 50 3 5 1龚珀兹曲线拟合法 1 模型形式和特征 0 a 1 0 b 1 01 a 1 0 b 1 a 1 b 1 特征 纵坐标取对数后的一级增长量的环比系数为常量b 51 参数估计 对数形式 令上式变为 依照修正指数曲线估计参数的方法 可得b lga和lgk的计算公式 这里n为总数据的1 3 分别为总数据三等分后的各部分和 52 例8某省1976 1984年小型拖拉机拥有量如表所示 试预测1985年和1986年小型拖拉机拥有量 某省小拖拉机拥有量龚柏兹曲线预测模型计算表单位 千台 53 解 将计算结果代入b lga和lgk的计算公式 可得 求反对数 得 所求龚柏兹曲线预测模型为 3 预测 以t 9和t 10分别代入 得1985年和1986年小型拖拉机拥有量的预测值分别为 54 二 罗吉斯缔曲线预测模型 罗吉斯缔曲线预测模型为 对其求一 二阶导数 有并令 可求得曲线拐点的位置为 55 由于罗吉斯缔曲线的倒数是修正指数曲线 因此 依照修正指数曲线估计参数的方法 可得b a和k的计算公式 56 例9某省1969 1987年人口统计数据如表所示 试预测该省1990年人口总数 57 解 1 选择预测模型 计算人口总数的倒数一阶差分的环比 列于表中 从计算结果可以看出 倒数一阶差分的环比大体接近 因此 可选用罗吉斯缔曲线预测模型来预测 2 建立罗吉斯缔曲线预测模型 将计算结果代入k a b的计算公式 可得 58 所求罗吉斯缔曲线预测模型为 3 预测 以t 21代入预测模型 可得该省1990年人口总数的预测值为 预测模型中的万人 这个数值是该模型预测某省人口总数的渐近值 59 60 原始数据如下表 并绘图如下 例甘肃省社会消费品零售总额的分析预测 61 由表和图形可以看出 甘肃省社会消费品零售总额的变化呈增长趋势 根据直观判断 其变化趋势大体与三种模型类似 故初选三种曲线模型A指数曲线模型B二次曲线模型C三次曲线模型运用最小二乘法对参数进行估计 分别得模型为 62 3 模型分析 首先进行历史数据分析 把三个模型的拟合结果与实际值绘图比较如下 进行直观判断 可以看出 二次曲线和三次曲线的拟合效果比较好 同时 分别计算三个模型的预测精度 这里选用常用的均方误差和平均绝对百分误差进行比较 分析表明二次曲线和三次曲线的拟合效果都比较好 其中三次曲线的拟合效果更佳 其次进行未来趋势表现程度分析 随着市场经济的深入 西部大开发的实施 甘肃的经济发展水平将不断提高 人民的生活也得到日益的改善 决定了社会零售商品总额也将不断增加 模型反映的是上升趋势 与社会零售商品总额的未来趋势是一致的 所以可以用来进行预测 63 64 4 预测 根据选定的模型 计算预测值 预测结果见表 表预测结果表 65 1 已知1978 1995