数字信号处理习题答案.doc

部分练习题参考答案第二章2.1 2.2 其卷积过程如下图所示-0.5-12.55h(m)x(m)00mm-1210.512h(0-m)0m-121h(-1-m)0m-121h(1-m)0m-121y(n)0n-122.3 （1）这是有理数，因此是周期序列。周期N=14。（2），k取任何整数时，p都不为整数，因此为非周期序列。（3），当p1，p2 同时为整数时k=5,x(n)为周期序列,周期N=60。（4），取k=4，得到p=6，因此是周期序列。周期N=6。2.4 （1） (a) 当n7时，y(n)=0所以（2） （3）(a) 当n0 时，y(n)=0(b) 当时，(c) 当时，最后写成统一表达式：（4）(a) 当n0 时，y(n)=0 (b) 当时， (c) 当时， (d) 当n6时，y(n)=02.6 （1）非线性、移不变系统（2）线性、移不变系统（3）线性、移变系统（4）非线性、移不变系统（5）线性、移变系统2.7 （1）若，则稳定，因果，线性，时变（2）不稳定，时因果，时非因果，线性，时不变（3）线性，时变，因果，不稳定2.8 （1）因果，不稳定（2）因果，稳定（3）因果，稳定（4）因果，稳定（5）因果，不稳定（6）非因果，稳定（7）因果，稳定（8）非因果，不稳定（9）非因果，稳定（10）因果，稳定2.9 因为系统是因果的，所以令， 所以系统的单位脉冲响应为2.10 （1）初始条件为n0时，y(n)=0设，输出就是上式可变为可得 依次迭代求得故系统的单位脉冲响应为 （2）初始条件为n0时，y(n)=0所以2.11 证明（1）因为令，则（2）利用（1）证明的结果有交换求和的次序有（3）2.12 (a) 当n0 时，y(n)=0(b) 当时，(c) 当时，最后写成统一表达式：2.13 2.14 （1）采样间隔为（2）数字频率，周期N=4-0.92-0.380.920.38x(n)0n2.15 （1） （2） （3） （4）（5）2.16 （1）（2）2.17 （1）（2）（3）（4）2.18采样间隔为，采样频率没有失真，因为输入信号的频率小于失真，因为输入信号频率大于第三章31 设和分别是和的傅里叶变换，试求下列序列的傅里叶变换：（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8）（9）解：（1） FT=令，则FT=（2） FT=（3） FT=令，则FT=（4） FT=证明 =FT=令，则FT= = =（5） FT = = = =或者 FT=（6） 因为，对该式两边对求导，得到FT因此 FT=（7） FT=令，则FT= = = =或者FT=（8） FT=利用（5）题结果，令，则FT=（9） FT=令，则FT=32 已知求的傅里叶反变换。解： 33 线性时不变系统的频率响应（传输函数），如果单位脉冲响应为实序列，试证明的稳态响应为解：假设输入信号，系统单位脉冲响应为，系统输出为上式说明，当输入信号为复指数序列时，输出序列仍是复指数序列，且频率相同，但幅度和相位决定于网络传输函数，利用该性质解此题。= =上式中是的偶函数，相位函数是的奇函数，即=， =34 设将以4为周期进行周期延拓，形成周期序列，画出和的波形，求出的离散傅里叶级数和傅里叶变换。解：画出和的波形如题4解图所示。题4解图=，以4为周期=35 设题5图所示的序列的FT用表示，不直接求出，完成下列运算：（1）；（2）；（3）；（4）确定并画出傅里叶变换实部的时间序列；（5）；（6）。解：（1） =（2） =（3） =（4）因为傅里叶变换的实部对应序列的共轭对称部分，即=按照上式画出的波形如题5解图所示：（5）=（6）因为因此 =36 试求如下序列的傅里叶变换：（1）（2）（3）（4）解：（1）（2）（3）（4）=或者 =37 设：（1）是实偶函数，（2）是实奇函数，分别分析推导以上两种假设下，其的傅里叶变换性质。解：令 （1）是实偶函数，两边取共轭，得到因此上式说明是实序列，具有共轭对称性质。由于是偶函数，是奇函数，那么因此该式说明是实函数，且是的偶函数。总结以上是实偶函数时，对应的傅里叶变换也是实偶函数。（2）是实奇函数，上面已经推出，由于是实序列，具有共轭对称性质，即由于是奇函数，是奇函数，那么因此该式说明是纯虚数，且是的奇函数。3.8 设，试求的共轭对称序列和共轭反对称序列，并分别用图表示。解： ，和的波形如题8解图所示。 题8解图3.9设，分别求出的偶函数和奇函数的傅里叶变换。解： 因为的傅里叶变换对应的实部，的傅里叶变换对应的虚部乘以j，因此FT=FT=3.10 若序列是实因果序列，其傅里叶变换的实部如下式：求序列及其傅里叶变换。解： 3.11 若序列是实因果序列，其傅里叶变换的虚部为求序列及其傅里叶变换。解： 3.12 设系统的单位取样响应，输入序列为完成下列各题：（1） 求出系统输出序列；（2） 分别求出、和的傅里叶变换。解：（1）*=+（2） 3.13已知，式中，以采样频率对进行采样，得到采样信号和时域离散信号，试完成下面各题：（1）写出的傅里叶变换表达式；（2）写出和的表达式；（3）分别求出的傅里叶变换和的傅里叶变换。解： （1）上式中指数函数的傅里叶变换不存在，引入奇异函数函数，它的傅里叶变换可表示成：（2） ，（3） =式中 = =式中 上式推导过程中，指数序列的傅里叶变换仍然不存在，只有引入奇异函数函数，才能写出它的傅里叶变换表示式。3.14 求出以下序列的Z变换及收敛域。（1） （2）（3） （4）（5） （6）解：（1）ZT（2）ZT（3）ZT（4）ZT=1，（5）ZT=，（6）ZT=3.15 求以下序列的Z变换及收敛域，并在平面上画出极零点分布图：（1）（2）（3）解：（1） =0，零点为：； =0，极点为：极零点分布图如题15解图（a）所示，图中处的零极点相消。 （2） =零点：，极点：，极零点分布图如题15解图（b）所示。（3）令，则，因为 因此得到 极点为：，零点为：；在处的零极点相消，收敛域为：，极零点分布图如题15解图（c）所示。 （a） （b） （c）题15解图3.16 已知：求出对应的各种可能的序列表达式。解：有两个极点：，因为收敛域总是以极点为边界，因此收敛域有以下三种情况：，三种收敛域对应三种不同的原序列。（1） 当收敛域为时，由收敛域可得原序列为左边序列。查表3-2可得 （2） 当收敛域为时， 由收敛域可得对应的原序列为右边序列，而对应的原序列为左边序列，查表3-2可得 （3） 当收敛域为时，由收敛域可得原序列为右边序列。查表3-2可得 3.17 已知。分别求：（1）的Z变换；（2）的Z变换；（3）的Z变换。解：（1） （2） ZT=，（3） ZT=3.18 已知，分别求：（1）收敛域对应的原序列；（2）收敛域对应的原序列。解：有两个极点：，所以利用部分分式进行展开为：其中所以（1）收敛域对应的原序列，由收敛域可得对应的原序列为左边序列，而对应的原序列为右边序列，查表3-2可得 （2）收敛域对应的原序列,由收敛域可得、对应的原序列都为右边序列，查表3-2可得 3.19 分别用长除法、部分分式法求以下的反变换：（1）（2）解：（1）部分分式法：有两个极点：，所以利用部分分式进行展开为：所以由收敛域可得原序列为右边序列，查表3-2可得长除法 （2）部分分式法：有两个极点：，所以利用部分分式进行展开为：所以由收敛域可得原序列为左边序列，查表3-2可得长除法08-432-161283.20 设确定性实序列的自相关函数用下式表示：试用的Z变换和傅里叶变换分别表示自相关函数的Z变换和傅里叶变换。解： 令，则 =或者 =因为是实序列，因此=。3.21 用Z变换法解下列差分方程：（1）（2）（3）解：（1） 对方程两边进行Z变换得运用部分分式法得 由知，是因果序列，查表3-2得（2） 对方程两边进行Z变换得当时，运用部分分式法得 查表3-2得总结得到 （3） 对方程两边进行Z变换得当时，运用部分分式法得查表3-2得总结得到 3.22 设线性时不变系统的系统函数为，为实数（1） 在平面上用几何法证明该系统是全通网络，即常数。（2） 参数如何取值，才能使系统因果稳定？并画出其极零点分布图及收敛域。解：（1） ，极点：，零点：设，极零点分布图如题22解图（a）所示。已知等于极点矢量的长度除以零点矢量的长度，由题22解图（a）得到因为，所以，故。所以，故是一个全通网络。（2）只有选择才能使系统因果稳定。设，极零点分布图及收敛域如题22解图（b）所示。 （a） （b）题22解图3.23 设系统由下面差分方程描述：（1） 求系统的系统函数，并画出极零点分布图。（2） 限定系统是因果的，写出的收敛域，并求出其单位脉冲响应；（3） 限定系统是稳定的，写出的收敛域，并求出其单位脉冲响应。解：（1） 对方程两边进行变换，得 因此 零点：=0极点：令=0，求出极点，=，=题23解图 极零点分布图如题23解图所示。（2）限定系统是因果的，的收敛域必须包含，即，求出其单位脉冲响应，。 因为是因果的，查表3-2得到（3）限定系统是稳定的，的收敛域必须包含单位圆，即，求出其单位脉冲响应，。由（2）的结论， 由收敛域得对应的原序列为左边序列，对应的原序列为右边序列，查表3-2得到3.24 已知线性因果网络用下面差分方程描述：（1） 求网络的系统函数及单位脉冲响应；（2） 写出网络传输函数表达式，并定性画出其幅频特性曲线；（3） 设输入，求输出。解：（1） 对方程两边进行变换，得 （a）（b）题24解图因此 因为单位脉冲响应为因果序列，查表3-2得（2） 极点=0.9，零点=-0.9，极零点图如题24解图（a）所示，根据极零点分布定性画出的幅度特性如题24解图（b）所示。（3） 3.25 已知网络的输入和单位脉冲响应分别为，试求：（1）用卷积法求网络输出；（2）用Z变换法求网络输出。解：（1）用卷积法求网络输出 = ， ，=0综上得到 （2）用Z变换法求网络输出，利用部分分式法展开得由题意知，该系统为因果系统，所以系统在之后才有输出，查表3-2得3.26 如果和是两个不同的因果稳定实序列，求证：式中，和分别表示和的傅里叶变换。解： FT*=对上式进行IFT，得 令 （1）因为和都是因果稳定实序列，* （2） （3）联立（1）、（2）、（3）式，得3.27 如序列是因果序列，其傅里叶变换的实部如下式：，求序列及其傅里叶变换。解： 对上式求IZT，得到序列的共轭对称序列。因为是因果序列，所以必为双边序列，所以收敛域为，查表3-2得所以 3.28 如序列是因果序列，其傅里叶变换的虚部如下式：，求序列及其傅里叶变换。解： 对应的共轭对称反序列，因此的反变换就是。因为是因果序列，所以必为双边序列，所以收敛域为，查表3-2得所以 第四章 4.4 4.5 周期卷积为14,12,10,8,6,10 4.7 (1)X(k)=(2) X(k)=1(3) X(k)=(4) X(k)=(5) X(k)=(6) X(k)= (7) X(k)=(8) X(k)=(9) X(k)= (10) X(k)=4.8 (1) (2) 4.11 4.14 n=5到n=14的点。 第五章 5.1 直接计算所需时间为6.290432 s，FFT计算需要时间为35.84ms；信号最高频率为6666.7Hz。5.2 （1）9965段；（2）5102.08kHz；（3）2550kHz。5.6 15.625 Hz.5.7 （1）0.1s； （2）5kHz； （3）1024第六章6.1 分别用直接型、级联型和并联型实现下面的传递函数，并画出流图解：（1）直接型：=级联型：并联型：直接型、级联型、并联型结构分别如图p6.1(a),(b),(c)所示图p6.1 IIR的网络结构(2)直接型：级联型： 并联型：直接型、级联型、并联型结构分别如图p6.2 (a),(b),(c)所示图p6.2 IIR网络结构的信号流图6.2 用横截型和级联型结构实现传递函数。解：横截型：级联型：横截型结构如图p6.3(a)或(b)所示。级联型结构如图p6.3(c)所示。图p6.3 FIR网络结构信号流图6.3 用直接I型及直接II型结构实现以下传递函数：解： 直接I型及直接II型结构如图p6.4(a),(b)所示图p6.46.4 用级联型结构及并联型结构实现以下传递函数解 级联型结构及并联型结构如图p 6.5 (a),(b)所示图p 6.56.5 设滤波器差分方程为，用直接I型、II型以及全部一阶节的级联型、并联型结构实现它。解 直接I型、II型以及全部一阶节的级联型、并联型结构如图p6.6(a)(b)(c)(d)所示。图p6.66.6 已知滤波器单位脉冲响应为，求横截型结构。解 横截型结构如图p6.7图p6.76.7 用横截型和级联型结构实现传递函数。解 横截型和级联型结构如图p6.8(a)(b)(c)所示。图p6.86.8 已知系统的状态方程和输出方程为试根据其状态方程与输出方程画出网络结构图。解 由状态方程与输出方程网络结构如图p6.9所示。图p6.96.9 设FIR滤波器由系统函数给定，求出并画出它的直接形式、线性相位形式和级联形式的结构。解：a. 直接形式。差分方程为。直接形式结构如图p6.10(a)所示。b. 线性相位形式。差分方程可写为，所得结构如图p6.10(b)所示。c. 级联形式。要用matlab协助 b=1, 0, 0, 0, 16.0625, 0, 0, 0, 1; sos,G=tf2sos(b,1)程序运行的结果为：sos = G = 1其传递函数应写成级联形式结构如图p6.10(c)所示。图p6.106.10 设.画出频率样本结构图。解： 频率样本形式如图p6.11所示。由图可见，当采样点数很大时，显然其结构很复杂，需要的乘法器和延时单元多。但对于窄带滤波器，大部分频率样本值为零，使二阶网络个数大大减少，所以频率样本结构适用于窄带滤波器。图p6.11 频率采样结构第七章7.1 设某低通滤波器的设计指标如下：1）通带截止角频率2）通带最大衰减3）阻带起始角频率4）阻带最小衰减试由冲激不变法设计该滤波器。解： 相应归一化滤波器的阻带起始角频率由和阻带最小衰减，查巴特沃思滤波器阻带衰减曲线簇，可得满足要求的的最低阶次。查表可得 7.2 一数字滤波器采样频率fs = 1kHz，要求滤除100Hz的干扰，其3dB的边界频率为95Hz和105Hz，原型归一化低通滤波器为 w1=95/500; w2=105/500; B,A=butter(1,w1, w2,stop); h,w=freqz(B,A); f=w/pi*500; plot(f,20*log10(abs(h); axis(50,150,-30,10); grid; xlabel(频率/Hz) ylabel(幅度/dB) 图7-32 巴特沃思滤波器7.3 设计一数字高通滤波器，它的通带为400500Hz，通带内容许有0.5dB的波动，阻带内衰减在小于317Hz的频带内至少为19dB，采样频率为1,000Hz。 wc=2*1000*tan(2*pi*400/(2*1000); wt=2*1000*tan(2*pi*317/(2*1000); N,wn=cheb1ord(wc,wt,0.5,19,s); B,A=cheby1(N,0.5,wn,high,s); num,den=bilinear(B,A,1000); h,w=freqz(num,den); f=w/pi*500; plot(f,20*log10(abs(h); axis(0,500,-80,10); grid; xlabel() ylabel(幅度/dB) 图7-33 巴特沃思高通滤波器7.4试设计一巴沃特什低通滤波器，要求在20rad/s处的幅频响应衰减不多于2dB；在30rad/s处的衰减大于10dB。解 技术指标为 ， 2dB，10dB将上述参数代入式（7.2.6）后可得则选N4，将此N4代入式（7.2.7）可得查表可得4阶归一化巴特沃思低通滤波（）的传递函数为当21.387时，用置换上式中的s后，并化简可得7.5 用冲激响应不变法设计一个满足以下技术指标要求的巴特沃思低通滤波：幅度响应在通带截止频率处的衰减不大于0.75dB，在阻止截止频率处的衰减不小于20dB。求巴特沃思模拟低通滤波的传输函数。解 (1) 求滤波器的阶数N取N8。(2)求滤波器的3dB截止频率其中0.9111=0.9472因此 0.91110.9472选取0.9111，准确满足通带指标要求，超过阻带指标要求。(3) 求的极点 ，0，1，,15其中，左半s平面的极点为 0.1778j0.8936 =0.5062j0.7575 =0.7575j0.5062 =0.8963j0.1778 =0.8936j0.1778 0.7575j0.5062 0.5062j0.7575 =0.1778j0.8963(4) 求传输函数7.6 设计一切比雪夫高通滤波器，采样频率，在频率处衰减不大于，在频率处衰减不小于.将高通数字滤波器的频率指标换算成数字频率Wp = input(Normalized passband edge = );Ws = input(Normalized stopband edge = );Rp = input(Passband ripple in dB = );Rs = input(Minimum stopband attenuation in dB = );N,Wn = cheb1ord(Wp,Ws,Rp,Rs)b,a = cheby1(N,Rp,Wn,high);h,omega = freqz(b,a,256);plot (omega/pi,20*log10(abs(h);grid;xlabel(omega/pi); ylabel(Gain, dB);title(Type I Chebyshev Highpass Filter);Normalized passband edge = 0.133Normalized stopband edge = 0.033Passband ripple in dB = 3Minimum stopband attenuation in dB = 48结果是 N =3Wn =0.1330滤波器最小阶数是3，截止频率为。图7-34 切比雪肤高通滤波器7.7 设计一个数字带阻滤波器，通带下限频率,阻带下截止频率，阻带上截止频率，通带上限频率，阻带最小衰减，和处衰减。采用巴特沃斯型。 解(1) 数字带阻滤波器技术指标： (2) 模拟带阻滤波器的技术指标： 设T=1，则有阻带中心频率平方为 阻带带宽为 将以上边界频率对B归一化： (3) 模拟归一化低通滤波器的技术指标：p=1,p=3dB(4) 设计模拟低通滤波器：5) 将G(p)转换成模拟阻带滤波器Ha(s)：(6) 将Ha(s)通过双线性变换，得到数字带阻滤波器H(z)。7.8 使用双线性变换法设计一个切比雪肤数字低通滤波器，假设取样频率为10KHz，通带截止频率处衰减不大于，在阻带截止频率处衰减不小于。解 （1）. 将和转换成数字频率和 （2）取T=1，将数字频率和预畸变，得预畸变后的和（3）计算滤波器通带波纹参数,由允许的通带波纹确定。因为在上幅度响应衰减不大于故取N3。（5）.求切比雪夫滤波器的极点设极点为则计算可得 （k=1,2,3,2N）令 , 取,由上式的s平面左半平面的极点（6）.用左半s平面的3个极点构成传输函数，便得到一个稳定的模拟切比雪夫低通滤波器，即 （N为奇数）其中，是s平面左半平面的极点，是的共轭极点,是s平面左半平面实轴上的极点。系数K由s0时滤波器幅度响应的值确定，当N为奇数时， =1。 因此 （7）.用双线性法求数字滤波器的系统函数在的表达式中，令 ，其中取T=1，得7.9 用矩形窗设计一个线性相位高通滤波器（1）求出h(n)的表达式，确定与N的关系。（2）问有几种类型，分别是属于哪一种线性相位滤波器。（3）若改用汉宁窗设计，求出h(n)的表达式。解：（1）为保证线性：（2）有两类适合实现高通滤波器：N为奇数，为整数， 对偶对称，即有 为第一种类型线性相位滤波器。N为偶数，不为整数， 对奇对称，为第四种类型线性相位滤波器（3） 7.10 用海明窗设计一个线性相位正交变换网络，已知（1）求出h(n)的表达式，确定与N的关系。（2）N为奇数或是偶数对于h(n)的影响的主要差别是什么？那么应该选择N是偶数还是奇数？（3）若用凯塞窗设计，写出h(n)的表达式。解：（1）先不考虑延时，即对于进行傅立叶反变换：现在考虑延时， ，N为h(n)之长度，得到以a为对称中心的无限长序列 ：对 加海明窗就得到所要求的：（2）如果N为奇数，则a=(N-1)/2为整数，于是 也是整数。从上面h(n)的表达式可知，此时h(n)是实数序列；如果N为偶数，则h(n)是复数序列。h(n)为复数的滤波器实现时当然不如实数方便，因此选择N为奇数。（3）7. 11 已知一个线性相位FIR系统有零点（1）还会有其他零点吗？如果有，请写出。（2）这个系统的极点在z平面的什么地方？它是稳定系统吗？（3）这个系统的抽样响应h(n)的长度最少是多少？解：（1）还有零点：（2）因为是FIR系统，故其极点都集中在z=0，当然在单位圆内，是稳定系统。（3）如果h(n)的长度为N，那么该系统共有N-1个零点，反之亦然，现在已经知道的该系统的零点连同导出的共有9个，因此h(n)的长度最少是10。7.12 用矩形窗设计一个线性相位因果带通滤波器，已知（1）求h(n)的表达式。（2）若用海明窗设计，写出h(n)的表达式。解：（1）先求以0为对称中心的无限长序列：设h(n)的长度为N，将对称中心移到（N-1）/2得到加矩形窗得到所设计的滤波器的冲激响应，因此有：（2）7.13 用频率采样法设计一个线性相位因果低通滤波器，N=15，幅频响应的抽样值为：（1）求相频响应的抽样值。（2）求h(n)及 的表达式。解：（1）令h(n)的DFT：又有：比较上面两个表达式，可以得到：现在来考察这个滤波器的频率响应属于四种情况中的哪一种。首先，N为奇数；另外，如果h(n)奇对称，应该有 将 代入，显然，当k=0时， ，但是根据已知条件，当k=0时， ，这就说明h(n)应该是偶对称的，于是应该属于情况1。已经知道，对于情况1，应该满足：显然，题中所给的 是满足这样的对称关系的。另外，对于相频响应有：于是：（2）由于当k=2，3，,13时， ，故也有H(k)=0，因此： 所以：7.14 用频率采样法设计一个线性相位低通滤波器N=33, ,边沿上设一点过渡带|H（k）|=0.39，试求各点采样值的幅值及相位，即求采样值。解：N为奇数，只能是第一种类型滤波器。频率间隔： ，为保证通带指标取k=9,24为过渡点（因为必需满足 ）。 7.15 用频率取样法设计一个线性相位FIR带通滤波器。其通带频率为10001400Hz，采样频率为6600Hz，N=33。解：N为奇数，按第一种情况的FIR DF的要求设计。DF的幅度特性：频率间隔 ，带通DF的通带在 之间，是第57点，由对称关系 ，可知第2628点与第57点对应。相位特性：所以：求出单位冲激响应为：过渡带宽：7.16 一个线性相位FIR低通滤波器的幅频响应为已知 ，设抽样率为2KHz，单位冲激响应长度为30ms，用矩形窗设计该数字滤波器。（1）求出h(n)之长度，以及延时。（2）求出h(n)(0nN-1)。（3）设其频率响应可以表示为 ，请写出 和 的表示式。解：（1）已知每秒有2000个抽样点，故单位冲激响应h(n)之长度：而延时：截止频率：（2）而：因此（3）显然， 关于0偶对称，所以h(n)关于对称中心 偶对称，并且h(n)之长度N=60为偶数，因此属于线性相位FIR滤波器频率响应的情况2，故有：而：7.17 用矩形窗设计一个线性相位数字微分器：