甘肃省张掖二中高三数学上学期9月月考试卷 理（含解析）.doc

2015-2016学年甘肃省张掖二中高三（上）9月月考数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知全集u=r，设集合a=x|y=lg（x1），集合b=y|y=2x，x1，则a（ub）=（）a1，2b1，2）c（1，2）d（1，22复数z满足（1+i）z=（1+i）2，其中i为虚数单位，则在复平面上复数z对应的点位（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限3已知等差数列an的前n项和为sn，若a4=18a5，则s8=（）a18b36c54d724下列有关命题的说法错误的是（）a命题“若x21=0，则x=1”的逆否命题为：“若x1则x210”b“x=1”是“x23x+2=0”的充分不必要条件c若pq为假命题，则p、q均为假命题d对于命题p：xr使得x2+x+10，则p：xr均有x2+x+105已知m，n，l是不同的直线，是不同的平面，以下命题正确的是（）若mn，m，n，则；若m，n，lm，则ln；若m，n，则mn；若，m，n，则mnabcd6某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）af（x）=cosxbf（x）=cf（x）=lgxdf（x）=7函数f（x）=的图象大致为（）abcd8同时具有性质：“最小正周期为；图象关于直线x=对称；在（，）上是增函数”的一个函数是（）ay=sin（）by=cos（）cy=cos（2x+）dy=sin（2x）9给出下列四个结论：若a、b0，1，则不等式a2+b21成立的概率为；由曲线y=x3与y=所围成的封闭图形的面积为0.5；已知随机变量服从正态分布n（3，2），若p（5）=m，则p（1）=1m；（+）8的展开式中常数项为其中正确结论的个数是（）a1b2c3d410已知函数f（x）=，若a、b、c均不相等且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围为（）a（1，10）b（5，6）c（10，15）d（20，24）11过抛物线：y2=2px（p0）的焦点f作倾斜角为60的直线l，若直线l与抛物线在第一象限的交点为a，并且点a也在双曲线：=1（a0，b0）的一条渐近线上，则双曲线的离心率为（）abcd12设f（x）是定义在r上的恒不为零的函数，对任意实数x，yr，都有f（x）f（y）=f（x+y），若a1=，an=f（n）（nn*），则数列an的前n项和sn的取值范围是（）a，2）b，2c，1）d，1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13已知|=4，|=3，与的夹角为60，则|+|=14若x，yr，且，则z=x+2y的最小值等于15四棱锥pabcd的三视图如图所示，四棱锥pabcd的五个顶点都在一个球面上，e、f分别是棱ab、cd的中点，直线ef被球面所截得的线段长为，则该球表面积为16设f（x）是定义在r上的偶函数，且对于xr恒有f（x+1）=f（x1），已知当x0，1时，f（x）=（）1x，则（1）f（x）的周期是2； （2）f（x）在（1，2）上递减，在（2，3）上递增；（3）f（x）的最大值是1，最小值是0； （4）当x（3，4）时，f（x）=（）x3其中正确的命题的序号是三、解答题（本题共5小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤）17在abc中，内角a，b，c的对边分别为a，b，c，且bsina=acosb（1）求角b的大小；（2）若b=3，sinc=2sina，分别求a和c的值18为选拔选手参加“中国汉字听写大会”，某中学举行了一次“汉字听写大赛”活动为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计按照50，60），60，70），70，80），80，90），90，100的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在50，60），90，100的数据）（1）求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；（2）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取4名学生参加“中国汉字听写大会”，设随机变量x表示所抽取的4名学生中得分在80，90）内的学生人数，求随机变量x的分布列及数学期望19如图，在四棱锥pabcd中，pc底面abcd，abcd是直角梯形，abad，abcd，ab=2ad=2cd=2e是pb的中点（）求证：平面eac平面pbc；（）若二面角pace的余弦值为，求直线pa与平面eac所成角的正弦值20已知椭圆c的中心在坐标原点，左、右焦点分别为f1，f2，p为椭圆c上的动点，pf1f2的面积最大值为，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线3x4y+5=0相切（1）求椭圆c的方程；（2）若直线l过定点（1，0）且与椭圆c交于a，b两点，点m是椭圆c的右顶点，直线am与直线bm分别与y轴交于p，q两点，试问以线段pq为直径的圆是否过x轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由21已知函数f（x）=xalnx，g（x）=（a0）（）若a=1，求函数f（x）的极值；（）设函数h（x）=f（x）g（x），求函数h（x）的单调区间；（）若存在x01，e，使得f（x0）g（x0）成立，求a的取值范围选修4-1：几何证明选讲22如图，已知圆o外有一点p，作圆o的切线pm，m为切点，过pm的中点n，作割线nab，交圆于a、b两点，连接pa并延长，交圆o于点c，连续pb交圆o于点d，若mc=bc（1）求证：apmabp；（2）求证：四边形pmcd是平行四边形选修4-4：坐标系与参数方程23已知曲线c的极坐标方程是=4cos以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直l的参数方程是（t是参数）（1）将曲线c的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l与曲线c相交于a、b两点，且|ab|=，求直线的倾斜角的值选修4-5：不等式选讲24设f（x）=|x1|+|x+1|（1）求f（x）x+2的解集；（2）若不等式f（x）对任意实数a0恒成立，求实数x的取值范围2015-2016学年甘肃省张掖二中高三（上）9月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知全集u=r，设集合a=x|y=lg（x1），集合b=y|y=2x，x1，则a（ub）=（）a1，2b1，2）c（1，2）d（1，2【考点】交、并、补集的混合运算【专题】集合【分析】先求出a、b，然后求解，从而求出ub，即可求解集合a（ub）【解答】解：全集u=r，设集合a=x|y=lg（x1）=x|x1，集合b=y|y=2x，x1=y|2，ub=y|y2则a（ub）=（1，+）（，2）=（1，2）故选：c【点评】本题考察了集合的运算，求出补集是解题的关键，本题是一道基础题2复数z满足（1+i）z=（1+i）2，其中i为虚数单位，则在复平面上复数z对应的点位（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数相等的充要条件【专题】计算题【分析】根据两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，化简复数z为=1i，故z对应点的坐标为（1，1），从而得出结论【解答】解：复数z满足（1+i）z=（1+i）2，其中i为虚数单位，z=1i，故复数z对应点的坐标为（1，1），故选d【点评】本题主要考查两个复数代数形式的除法，虚数单位i的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题3已知等差数列an的前n项和为sn，若a4=18a5，则s8=（）a18b36c54d72【考点】等差数列的前n项和【专题】等差数列与等比数列【分析】由等差数列的性质可得a1+a8=a4+a5=18，代入求和公式可得【解答】解：由题意可得a4+a5=18，由等差数列的性质可得a1+a8=a4+a5=18，s8=72故选：d【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题4下列有关命题的说法错误的是（）a命题“若x21=0，则x=1”的逆否命题为：“若x1则x210”b“x=1”是“x23x+2=0”的充分不必要条件c若pq为假命题，则p、q均为假命题d对于命题p：xr使得x2+x+10，则p：xr均有x2+x+10【考点】命题的真假判断与应用【专题】简易逻辑【分析】直接写出命题的逆否命题判断a；求解一元二次方程判断b；由复合命题的真假判断方法判断c；写出特称命题的否定判断d【解答】解：命题“若x21=0，则x=1”的逆否命题为：“若x1则x210”，a正确；由x23x+2=0，解得：x=1或x=2，“x=1”是“x23x+2=0”的充分不必要条件，b正确；当p、q一真一假时，命题pq为假命题，c错误；对于命题p：xr使得x2+x+10，则p：xr均有x2+x+10，正确故选：c【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了逆否命题、命题的否定的写法、考查充分必要条件的判定方法，是基础题5已知m，n，l是不同的直线，是不同的平面，以下命题正确的是（）若mn，m，n，则；若m，n，lm，则ln；若m，n，则mn；若，m，n，则mnabcd【考点】命题的真假判断与应用【专题】空间位置关系与距离；简易逻辑【分析】由已知利用面面平行的判定定理可得：或相交，即可判断出正误；利用面面平行的性质、线线垂直的性质可得：l与n不一定垂直，即可判断出正误；利用线面垂直的性质、面面平行的性质可得：mn，即可判断出正误；由已知可得mn、相交或异面直线，即可判断出正误【解答】解：若mn，m，n，不满足平面平行的判定定理，因此或相交，不正确；若m，n，lm，若lm，则可能ln，因此不正确；若m，则m，又n，mn，正确；若，m，n，则mn、相交或异面直线，因此不正确综上只有：正确故选：【点评】本题考查了空间线线、线面、面面位置关系及其判定、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于中档题6某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）af（x）=cosxbf（x）=cf（x）=lgxdf（x）=【考点】程序框图【专题】函数的性质及应用；算法和程序框图【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件f（x）+f（x）=0，即函数f（x）为奇函数f（x）存在零点，即函数图象与x轴有交点逐一分析四个答案中给出的函数的性质，不难得到正确答案【解答】解：a：f（x）=cosx、c：f（x）=lgx，不是奇函数，故不满足条件f（x）+f（x）=0，又b：f（x）=的函数图象与x轴没有交点，故不满足条件f（x）存在零点，而d：f（x）=既是奇函数，而且函数图象与x也有交点，故d：f（x）=符合输出的条件故选：d【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模7函数f（x）=的图象大致为（）abcd【考点】函数的图象【专题】函数的性质及应用【分析】先研究函数的性质，可以发现它是一个奇函数，再研究函数在原点附近的函数值的符号，从而即可得出正确选项【解答】解：此函数是一个奇函数，故可排除c，d两个选项；又当自变量从原点左侧趋近于原点时，函数值为负，图象在x轴下方，当自变量从原点右侧趋近于原点时，函数值为正，图象在x轴上方，故可排除b，a选项符合，故选a【点评】本题考查由函数的性质确定函数图象，其研究规律一般是先研究单调性与奇偶性，再研究某些特殊值8同时具有性质：“最小正周期为；图象关于直线x=对称；在（，）上是增函数”的一个函数是（）ay=sin（）by=cos（）cy=cos（2x+）dy=sin（2x）【考点】正弦函数的单调性；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的对称性【专题】计算题；三角函数的图像与性质【分析】根据三角函数的周期公式，得=2，排除a、b两项再根据在（，）上是增函数，得函数在x=时取得最小值，x=时取得最大值，由此排除c，得到d项符合题【解答】解：函数的最小正周期为，=，得=2，答案应该在c、d中选，排除a、b两项在（，）上是增函数当x=时，函数有最小值，当x=时，函数有最大值对于c，f（）=cos（+）=1为最大值，不符合题意；而对于d，恰好f（）=sin（）=1为最小值，f（）=sin=1为最大值而x=时，y=sin（2x）有最大值，故象关于直线x=对称，也成立故选d【点评】本题给出三角函数满足的条件，求符合题的函数，考查了三角函数的周期性、单调性和图象的对称性等知识，属于基础题9给出下列四个结论：若a、b0，1，则不等式a2+b21成立的概率为；由曲线y=x3与y=所围成的封闭图形的面积为0.5；已知随机变量服从正态分布n（3，2），若p（5）=m，则p（1）=1m；（+）8的展开式中常数项为其中正确结论的个数是（）a1b2c3d4【考点】命题的真假判断与应用【专题】综合题；简易逻辑；推理和证明【分析】利用几何概型进行判断；作出函数图象，求出交点坐标，利用积分的几何意义，求面积即可；已知随机变量服从正态分布n（3，2），则图象关于x=3对称，利用p（1）=p（5），可得结论；（+）8的展开式的通项为tr+1=，令4r=0，则r=4，可得常数项【解答】解：若a，b0，1，则a，b对应的平面区域为正方形，面积为1，不等式a2+b21成立，对应的区域为半径为1的圆在第一象限的部分，所以面积为，所以由几何概型可知不等式a2+b21成立的概率是所以正确作出两个函数的图象如图：a（1，1），b（1，1），由函数的对称性和积分的几何意义可知所围成的封闭图形的面积为：2（x3）dx=2（）=1，故不正确；已知随机变量服从正态分布n（3，2），则图象关于x=3对称，又p（5）=m，则p（1）=p（5）=1m，故正确；（+）8的展开式的通项为tr+1=，令4r=0，则r=4，可得常数项为，故正确故选：c【点评】本题主要考查了各种命题的真假判断，考查学生分析解决问题的能力，综合性较强10已知函数f（x）=，若a、b、c均不相等且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围为（）a（1，10）b（5，6）c（10，15）d（20，24）【考点】函数的零点与方程根的关系【专题】计算题；作图题；数形结合【分析】画出函数的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），不妨abc，求出abc的范围即可【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，不妨设abc，则 ab=1，则abc=c（10，15）故选c【点评】此题是中档题本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力11过抛物线：y2=2px（p0）的焦点f作倾斜角为60的直线l，若直线l与抛物线在第一象限的交点为a，并且点a也在双曲线：=1（a0，b0）的一条渐近线上，则双曲线的离心率为（）abcd【考点】抛物线的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由题意画出图形，把a的坐标用p表示，代入双曲线的渐近线方程得到a，b的关系，结合a2+b2=c2求得双曲线的离心率【解答】解：如图，设a（x0，y0），则|af|=2（），又|af|=，解得，a（）在双曲线：=1（a0，b0）的一条渐近线上，解得：，由a2+b2=c2，得，即，故选：a【点评】本题考查了抛物线与双曲线的几何性质，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题12设f（x）是定义在r上的恒不为零的函数，对任意实数x，yr，都有f（x）f（y）=f（x+y），若a1=，an=f（n）（nn*），则数列an的前n项和sn的取值范围是（）a，2）b，2c，1）d，1【考点】抽象函数及其应用【专题】函数的性质及应用；等差数列与等比数列【分析】根据f（x）f（y）=f（x+y），令x=n，y=1，可得数列an是以为首项，以为等比的等比数列，进而可以求得sn，进而sn的取值范围【解答】解：对任意x，yr，都有f（x）f（y）=f（x+y），令x=n，y=1，得f（n）f（1）=f（n+1），即=f（1）=，数列an是以为首项，以为等比的等比数列，an=f（n）=（）n，sn=1（）n，1）故选c【点评】本题主要考查了等比数列的求和问题，解题的关键是根据对任意x，yr，都有f（x）f（y）=f（x+y）得到数列an是等比数列，属中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13已知|=4，|=3，与的夹角为60，则|+|=【考点】向量的模；数量积表示两个向量的夹角【专题】平面向量及应用【分析】由题意利用两个向量的数量积的定义求得的值，再根据|+|=，计算求得结果【解答】解：由题意可得=|cos60=43=6，|+|=，故答案为：【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题14若x，yr，且，则z=x+2y的最小值等于3【考点】简单线性规划【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最小值【解答】解：约束条件，对应的平面区域如下图示：当直线z=x+2y过点（1，1）时，z=x+2y取最小值3，故答案为：3【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解15四棱锥pabcd的三视图如图所示，四棱锥pabcd的五个顶点都在一个球面上，e、f分别是棱ab、cd的中点，直线ef被球面所截得的线段长为，则该球表面积为12【考点】球内接多面体；由三视图还原实物图；球的体积和表面积【专题】计算题；压轴题【分析】将三视图还原为直观图，得四棱锥pabcd的五个顶点位于同一个正方体的顶点处，且与该正方体内接于同一个球由此结合题意，可得正文体的棱长为2，算出外接球半径r，再结合球的表面积公式，即可得到该球表面积【解答】解：将三视图还原为直观图如右图，可得四棱锥pabcd的五个顶点位于同一个正方体的顶点处，且与该正方体内接于同一个球且该正方体的棱长为a设外接球的球心为o，则o也是正方体的中心，设ef中点为g，连接og，oa，ag根据题意，直线ef被球面所截得的线段长为，即正方体面对角线长也是可得ag=a，所以正方体棱长a=2rtoga中，og=a=1，ao=即外接球半径r=，得外接球表面积为4r2=12故答案为：12【点评】本题将三视图还原为直观图，并且求外接球的表面积，着重考查了正方体的性质、三视图和球内接多面体等知识，属于基础题16设f（x）是定义在r上的偶函数，且对于xr恒有f（x+1）=f（x1），已知当x0，1时，f（x）=（）1x，则（1）f（x）的周期是2； （2）f（x）在（1，2）上递减，在（2，3）上递增；（3）f（x）的最大值是1，最小值是0； （4）当x（3，4）时，f（x）=（）x3其中正确的命题的序号是（1）（2）（4）【考点】命题的真假判断与应用【专题】综合题；函数的性质及应用【分析】（1）依题意，f（x+2）=f（x+1）1=f（x），可判断（1）；（2）利用x0，1时，f（x）=（）1x=2x1，可判断f（x）在区间0，1上为增函数，利用其周期性与偶函数的性质可判断（2）；（3）利用函数的周期性、奇偶性及单调性可判断（3）；（4）当x（3，4）时，x4（1，0），4x（0，1），从而可得f（4x）=（）1（4x）=，又f（x）是周期为2的偶函数，可判断（4）【解答】解：（1）对任意的xr恒有f（x+1）=f（x1），f（x+2）=f（x+1）1=f（x），即2是f（x）的周期，（1）正确；（2）x0，1时，f（x）=（）1x=2x1为增函数，又f（x）是定义在r上的偶函数，f（x）在区间1，0上单调递减，又其周期t=2，f（x）在（1，2）上递减，在（2，3）上递增，（2）正确；（3）由（2）x0，1时，f（x）=（）1x=2x1为增函数，f（x）在区间1，0上单调递减，且其周期为2可知，f（x）max=f（1）=211=20=1，f（x）min=f（0）=201=，故（3）错误；（4）当x（3，4）时，x4（1，0），4x（0，1），f（4x）=（）1（4x）=，又f（x）是周期为2的偶函数，f（4x）=f（x）=，（4）正确综上所述，正确的命题的序号是（1）（2）（4），故答案为：（1）（2）（4）【点评】本题考查命题的真假判断与应用，综合考查抽象函数的周期性、奇偶性、单调性即最值的综合应用，属于难题三、解答题（本题共5小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤）17在abc中，内角a，b，c的对边分别为a，b，c，且bsina=acosb（1）求角b的大小；（2）若b=3，sinc=2sina，分别求a和c的值【考点】正弦定理；余弦定理【专题】解三角形【分析】（1）由bsina=acosb，由正弦定理可得：sinbsina=sinacosb，化简整理即可得出（2）由sinc=2sina，可得c=2a，由余弦定理可得：b2=a2+c22accosb，代入计算即可得出【解答】解：（1）bsina=acosb，由正弦定理可得：sinbsina=sinacosb，sina0，sinb=cosb，b（0，），可知：cosb0，否则矛盾tanb=，b=（2）sinc=2sina，c=2a，由余弦定理可得：b2=a2+c22accosb，9=a2+c2ac，把c=2a代入上式化为：a2=3，解得a=，【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、三角形内角和定理与三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18为选拔选手参加“中国汉字听写大会”，某中学举行了一次“汉字听写大赛”活动为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计按照50，60），60，70），70，80），80，90），90，100的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在50，60），90，100的数据）（1）求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；（2）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取4名学生参加“中国汉字听写大会”，设随机变量x表示所抽取的4名学生中得分在80，90）内的学生人数，求随机变量x的分布列及数学期望【考点】离散型随机变量及其分布列；频率分布直方图；离散型随机变量的期望与方差【专题】概率与统计【分析】（1）根据概率的求解，样本容量，运用直方图得出y=0.004，（2）确定人数x的可能取值为2，3，4，利用概率公式，结合组合公式分别求解p（x=2）=，p（x=3）=，p（x=4）=列出分布列求解数学期望即可【解答】解：（1）由题意可知，样本容量n=50，y=0.004，x=0.1000.0040.0100.0160.040=0.030（2）由题意可知，分数在80，90）内的学生有5人，分数在90.100内的学生有2人，共7人抽取的4名学生中得分在80，90）的人数x的可能取值为2，3，4，则p（x=2）=，p（x=3）=，p（x=4）=所以x的分布列为234p所以ex=2=【点评】本题考查了离散型的概率分布问题，数学期望，仔细阅读题意，准确计算，考虑学生解决实际问题的能力，属于中档题19如图，在四棱锥pabcd中，pc底面abcd，abcd是直角梯形，abad，abcd，ab=2ad=2cd=2e是pb的中点（）求证：平面eac平面pbc；（）若二面角pace的余弦值为，求直线pa与平面eac所成角的正弦值【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定【专题】综合题【分析】（）证明平面eac平面pbc，只需证明ac平面pbc，即证acpc，acbc；（）根据题意，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出面pac的法向量=（1，1，0），面eac的法向量=（a，a，2），利用二面角pa ce的余弦值为，可求a的值，从而可求=（2，2，2），=（1，1，2），即可求得直线pa与平面eac所成角的正弦值【解答】（）证明：pc平面abcd，ac平面abcd，acpc，ab=2，ad=cd=1，ac=bc=，ac2+bc2=ab2，acbc，又bcpc=c，ac平面pbc，ac平面eac，平面eac平面pbc（）如图，以c为原点，取ab中点f，、分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则c（0，0，0），a（1，1，0），b（1，1，0）设p（0，0，a）（a0），则e（，），=（1，1，0），=（0，0，a），=（，），取=（1，1，0），则=0，为面pac的法向量设=（x，y，z）为面eac的法向量，则=0，即取x=a，y=a，z=2，则=（a，a，2），依题意，|cos，|=，则a=2于是=（2，2，2），=（1，1，2）设直线pa与平面eac所成角为，则sin=|cos，|=，即直线pa与平面eac所成角的正弦值为【点评】本题考查面面垂直，考查线面角，解题的关键是掌握面面垂直的判定，利用向量的方法研究线面角，属于中档题20已知椭圆c的中心在坐标原点，左、右焦点分别为f1，f2，p为椭圆c上的动点，pf1f2的面积最大值为，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线3x4y+5=0相切（1）求椭圆c的方程；（2）若直线l过定点（1，0）且与椭圆c交于a，b两点，点m是椭圆c的右顶点，直线am与直线bm分别与y轴交于p，q两点，试问以线段pq为直径的圆是否过x轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）利用直线与圆相切以及三角形的面积列出方程组求出b，c，a即可解得椭圆c的方程（2）以线段pq为直径的圆过x轴上的定点当直线l斜率不存在时，直接求出定点坐标当直线l斜率存在时，设y=k（x1），（k0）联立直线与椭圆方程，设a（x1，y1），b（x2，y2），利用韦达定理，通过直线am的方程，直线bm的方程，转化已知条件为恒成立然后利用数量积求解定点坐标【解答】解：（1）由题意椭圆c的中心在坐标原点，左、右焦点分别为f1，f2，p为椭圆c上的动点，pf1f2的面积最大值为，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线3x4y+5=0相切可得，解得b=1，c=，a=2所以椭圆c的方程是 （2）以线段pq为直径的圆过x轴上的定点当直线l斜率不存在时以线段pq为直径的圆的方程为：x2+y2=3，恒过定点当直线l斜率存在时 设y=k（x1），（k0）由得（1+4k2）x28k2x+4k24=0设a（x1，y1），b（x2，y2），则有x1+x2=，x1x2=又因为点m是椭圆c的右顶点，所以点m（2，0）由题意可知直线am的方程为：y=（x2），故点p）直线bm的方程为：，故点q（） 若以线段pq为直径的圆过x轴上的定点n（x0，0），则等价于恒成立 又因为，所以恒成立又因为（x12）（x22）=x1x22（x1+x2）+4=，y1y2=，所以=解得x0=故以线段pq为直径的圆过x轴上的定点（） （或设x=my+1请酌情给分）【点评】本题考查椭圆的方程的求法，直线与圆的位置关系，恒过定点问题的求解方法，考查转化思想以及计算能力向量在解析几何中的应用，注意直线的斜率是否存在，防止漏解21已知函数f（x）=xalnx，g（x）=（a0）（）若a=1，求函数f（x）的极值；（）设函数h（x）=f（x）g（x），求函数h（x）的单调区间；（）若存在x01，e，使得f（x0）g（x0）成立，求a的取值范围【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性【专题】分类讨论；函数的性质及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用【分析】（）求出导数，求得单调区间，进而得到极小值；（）求出h（x）的导数，注意分解因式，结合a0，即可求得单调区间；（iii）若在1，e上存在一点x0，使得f（x0）g（x0）成立，即在1，e上存在一点x0，使得h（x0）0即h（x）在1，e上的最小值小于零对a讨论，当1+ae，当11+ae，求得单调区间和最小值即可【解答】解：（）f（x）=xalnx的定义域为（0，+） 当a=1时，f（x）= 由f（x）=0，解得x=1当0x1时，f（x）0，f（x）单调递减；当x1时，f（x）0，f（x）单调递增，所以当x=1时，函数f（x）取得极小值，极小值为f（1）=1ln1=1； （）h（x）=f（x）g（x）=xalnx+，其定义域为（0，+）又h（x）= 由a0可得1+a0，在0x1+a上，h（x）0，在x1+a上，h（x）0，所以h（x）的递减区间为（0，1+a）；递增区间为（1+a，+） （iii）若在1，e上存在一点x0，使得f（x0）g（x0）成立，即在1，e上存在一点x0，使得h（x0）0即h（x）在1，e上的最小值小于零 当1+ae，即ae1时，由（ii）可知h（x）在1，e上单调递减故h（x）在1，e上的最小值为h（e），由h（e）=e+a0，可得a 因为e1所以a 当11+ae，即0ae1时，由（ii）可知h（x）在（1，1+a）上单调递减，在（1+a，e）上单调递增h（x）在1，e上最小值为h（1+a）=2+aaln（1+a） 因为0ln（1+a）1，所以0aln（1+a）a则2+aaln（1+a）2，即h（1+a）2不满足题意，舍去 综上所述：a（，+）【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，同时考查不等式成立的问题转化为求函数的最值，运用分类讨论的思想方法是解题的关键选修4-1：几何证明选讲22如图，已知圆o外有一点p，作圆o的切线pm，m为切点，过pm的中点n，作割线nab，交圆于a、b两点，连接pa并延长，交圆o于点c，连续pb交圆o于点d，若mc=bc（1）求证：apmabp；（2）求证：四边形pmcd是平行四边形【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的判定【专题】证明题【分析】（i）由切割线定理，及n是pm的中点，可得pn2=nanb，进而=，结合pna=bnp，可得pnabnp，则apn=pbn，即apm=pba；再由mc=bc，可得mac=bac，再由等角的补角相等可得map=pa