（全国通用）高考数学 专项强化训练(四).doc

专项强化训练(四)立体几何的综合问题1.如图,在边长为1的等边abc中,d,e分别是ab,ac边上的点,ad=ae,f是bc的中点,af与de交于点g,将abf沿af折起,得到如图所示的三棱锥a-bcf,其中bc=22.(1)证明:de平面bcf.(2)证明:cf平面abf.(3)当ad=23时,求三棱锥f-deg的体积vf-deg.【解析】(1)在等边abc中,ad=ae,所以addb=aeec,在折叠后的三棱锥a-bcf中也成立,所以debc.因为de平面bcf,bc平面bcf,所以de平面bcf.(2)在等边abc中,f是bc的中点,所以affc,bf=cf=12.因为在三棱锥a-bcf中,bc=22,所以bc2=bf2+cf2,cfbf.因为bfaf=f,所以cf平面abf.(3)由(1)可知gecf,结合(2)可得ge平面dfg.vf-deg=ve-dfg=1312dgfgge=131213133213=3324.【加固训练】(2015佛山模拟)如图1,在直角梯形abcd中,adc=90,cdab,ad=cd=12ab=2,点e为ac中点,将adc沿ac折起,使平面adc平面abc,得到几何体d -abc,如图2所示.(1)求证:adbc.(2)在cd上找一点f,使ad平面efb.【解析】(1)在题图1中,可得ac=bc=22,从而ac2+bc2=ab2,所以acbc.因为平面adc平面abc,平面adc平面abc=ac,bc平面abc,所以bc平面adc.又ad平面adc,所以adbc.(2)取cd的中点f,连接ef,bf,在acd中,因为e,f分别为ac,dc的中点,所以adef,ef平面efb,ad平面efb,所以ad平面efb.2.(2015南阳模拟)如图所示,正方形abcd所在平面与等腰三角形ead所在平面相交于ad,ae平面cde.(1)求证:ab平面ade.(2)在线段be上存在点m,使得直线am与平面ead所成角的正弦值为63,试确定点m的位置.【解析】(1)因为ae平面cde,cd平面cde,所以aecd.在正方形abcd中,cdad,因为adae=a,所以cd平面ade.因为abcd,所以ab平面ade.(2)由(1)知平面ead平面abcd,取ad中点o,连接eo,因为ea=ed,所以eoad,所以eo平面abcd,建立如图所示的空间直角坐标系,设ab=2,则a(1,0,0),b(1,2,0),e(0,0,1),设m(x,y,z),所以bm=(x-1,y-2,z),be=(-1,-2,1),因为b,m,e三点共线,所以bm=be,所以m(1-,2-2,),所以am=(-,2-2,).设am与平面aed所成的角为,因为平面aed的法向量n=(0,1,0),所以sin=|cos|=|2-2|62-8+4=63,解得=12.即m为be的中点.【方法技巧】求直线与平面所成角的方法及注意点1.方法:有传统法和向量法两种.传统法关键是找斜线在平面内的射影,从而找出线面角;向量法则可建立坐标系,利用向量的运算求解.2.注意点:注意直线与平面所成角的范围为0,2.3.(2015济南模拟)如图,在四棱锥p-abcd中,pa底面abcd,dab为直角,abcd,ad=cd=2ab,e,f分别为pc,cd的中点.(1)求证:cd平面bef.(2)设pa=kab(k0),且二面角e-bd-c的大小为30,求此时k的值.【解题提示】以a为坐标原点建立空间直角坐标系,(1)求出be,bf,cd,证明becd=0,bfcd=0.(2)求出两个平面的法向量,利用向量的夹角公式构建方程求解.【解析】以ab所在直线为x轴,以ad所在直线为y轴,以ap所在直线为z轴建立空间直角坐标系,设ab=1,则a(0,0,0),p(0,0,k),b(1,0,0),d(0,2,0),c(2,2,0),e1,1,k2,f(1,2,0).(1)因为be=0,1,k2,bf=(0,2,0),cd=(-2,0,0),所以becd=0,bfcd=0,所以cdbe,cdbf,bebf=b,所以cd平面bef.(2)设平面bcd的一个法向量为n1,则n1=(0,0,1),设平面bde的一个法向量为n2=(x,y,z),因为bd=(-1,2,0),be=0,1,k2,所以-x+2y=0,y+k2z=0,所以n2=2,1,-2k.因为二面角e-bd-c等于30,所以|cos|=-2k5+4k2=32,所以4k2=35+4k2,即15k2=4,又因为k0,所以k=21515.4.(2015惠州模拟)如图,已知三棱锥o-abc的侧棱oa,ob,oc两两垂直,且oa=1,ob=oc=2,e是oc的中点.(1)求o点到平面abc的距离.(2)求二面角e-ab-c的正弦值.【解析】方法一:(1)取bc的中点d,连ad,od,因为ob=oc,则odbc,adbc,所以bc平面oad.过o点作ohad于h,则oh平面abc,oh的长就是所要求的距离.bc=22,od=oc2-cd2=2.因为oaob,oaoc,所以oa平面obc,则oaod.ad=oa2+od2=3,在直角三角形oad中,有oh=oaodad=23=63.另解:由v=13sabcoh=16oaoboc=23知,oh=63.(2)连接ch并延长交ab于f,连接of,ef.因为oc面oab,所以ocab.又因为oh平面abc,所以cfab,efab,则efc就是所求二面角的平面角.作egcf于g,则eg=12oh=66.在直角三角形oab中,of=oaobab=25,在直角三角形oef中,ef=oe2+of2=1+45=35,sinefg=egef=6635=3018,故所求的正弦值是3018.方法二:(1)以o为原点,ob,oc,oa分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.则有a(0,0,1),b(2,0,0),c(0,2,0),e(0,1,0).设平面abc的法向量为n1=(x,y,z),则由n1ab知:n1ab=2x-z=0;由n1ac知:n1ac=2y-z=0,取n1=(1,1,2),则点o到面abc的距离为d=21+1+4=63.(2)eb=(2,0,0)-(0,1,0)=(2,-1,0),ab=(2,0,0)-(0,0,1)=(2,0,-1),设平面eab的一个法向量为n=(x,y,z),则由nab知:nab=2x-z=0;由neb知:neb=2x-y=0.取n=(1,2,2).由(1)知平面abc的法向量为n1=(1,1,2),则cos=1+2+496=736=7618.结合图形可知,二面角e-ab-c的正弦值是3018.【加固训练】(2015长春模拟)如图,在斜三棱柱abc-a1b1c1中,侧面aa1b1b底面abc,侧棱aa1与底面abc成60的角,aa1=2.底面abc是边长为2的正三角形,其重心为g点,e是线段bc1上一点,且be=13bc1.(1)求证:ge侧面aa1b1b.(2)求平面b1ge与底面abc所成锐二面角的正切值.【解析】(1)因为侧面aa1b1b底面abc,侧棱aa1与底面abc成60的角,所以a1ab=60,又aa1=ab=2,取ab的中点o,则a1o底面abc.以o为原点建立空间直角坐标系,如图,则a(0,-1,0),b(0,1,0),c(3,0,0),a1(0,0,3),b1(0,2,3),c1(3,1,3).因为g为abc的重心,所以g33,0,0.因为be=13bc1,所以e33,1,33,连接ab1,所以ge=0,1,33=13ab1.又ge侧面aa1b1b,ab1侧面aa1b1b,所以ge侧面aa1b1b.(2)设平面b1ge的一个法向量为n=(a,b,c),则由得33a-b-233c=0,b+33c=0.可取n=(3,-1,3).又底面abc的一个法向量为m=(0,0,1).设平面b1ge与底面abc所成锐二面角的大小为,则cos=217.由于为锐角,所以sin=1-cos2=277,进而tan=233.故平面b1ge与底面abc所成锐二面角的正切值为233.5.(2015武汉模拟)如图所示,在边长为4的菱形abcd中,dab=60,点e,f分别在边cd,cb上,点e与点c,d不重合,efac,efac=o,将cef沿ef翻折到pef的位置,使平面pef平面abfed.(1)求证bd平面poa.(2)当pb取得最小值时,请解答以下问题:求四棱锥p-bfed的体积;若点q满足aq=qp(0),试探究:直线oq与平面pbd所成角的大小是否一定大于4?并说明理由.【解析】(1)因为四边形abcd是菱形,所以bdac,所以bdao.因为平面pef平面abfed,平面pef平面abfed=ef,poef,po平面pef,所以po平面abfed.因为bd平面abfed,所以pobd.因为aopo=o,所以bd平面poa.(2)如图所示,以o为原点,建立空间直角坐标系o-xyz.设aobd=h.因为dab=60,所以bdc为等边三角形,故bd=4,hb=2,hc=23.设po=x,则oh=23-x,oa=43-x,所以o(0,0,0),p(0,0,x),b(23-x,2,0),故pb=ob-op=(23-x,2,-x),所以|pb|=(23-x)2+22+(-x)2=2(x-3)2+10,当x=3时,|pb|取得最小值,即|pb|=10.此时po=3,oh=3.由(1)知po平面bfed,所以v四棱锥p-bfed=13s梯形bfedpo=133442-34223=3.设点q的坐标为(a,0,c),由知a(33,0,0),b(3,2,0),d(3,-2,0),p(0,0,3).所以aq=(a-33,0,c),qp=(-a,0,3-c).因为aq=qp,所以a-33=-a,c=3-c,解得a=33+1,c=3+1.所以q33+1,0,3+1,所以oq=33+1,0,3+1.设平面pbd的一个法向量为n=(x,