电厂冷却水在湖泊和水库中热扩散过程的数学模拟.pdf

2 0 0 4年 1 2月 De c 2 0 0 4 应用数学与计算数学学报 COMM ON AP PL MA TH AND COMPUT 第 1 8卷 第 2期 VoI 1 8 NO 2 电厂冷却水在湖泊和水库中热扩散过程的数学模拟 张大克 王玉杰 天津科技大学理学院 天津 3 0 0 2 2 2 摘要 本文对电厂冷却水排入湖泊和水库后的热扩散过程进行了数学模拟 建立了 三维扩散方程 给出了一维 二维和三维计算湖泊和水库中任意点任意时刻水温上升量的 计算公式 并通过实例对一维情形的计算公式进行了验证 结果很好 关键词 电厂冷却水 湖泊和水库 热扩散过程 扩散方程 数学模拟 电厂将循环冷却用的大量超天然水温的热水排入湖泊和水库后 扩散形成一个大 面积的具有成层结构的热水区域 1 1 本文称其为热水团 这一热水团因循环扩散而改 变天然水的水温 从而造成了对湖泊 水库及周围小区域生态环境的污染 深刻研究 这一热水团的循环扩散规律 了解这一热水团任意时刻任意点的温度变化情况 对于 保护湖泊 水库及周围小区域生态环境具有极其重要的意义 本文通过扩散方程的解 析 对湖泊 水库排入循环冷却水的热扩散过程进行了数学模拟 给出了热水扩散过 程中任意时刻任意点水温上升量的计算公式 并与实测数据进行了比较 取得了良好 效果 扩散方程与数学模拟 为了建立扩散方程 我们首先建立坐标系 在电厂冷却水排入湖泊和水库的入水 点处 以顺岸线方向为y轴 以朝向水面方向 平行于水面 为 轴 以水深方向为 z轴 以入水点为坐标原点 按右手系定则建立空间直角坐标系 根据物质守恒定律可以导出电厂循环冷却水温度变化规律的数学模型 一般流动 流体扩散物质的浓度变化规律是一个连续方程 因此 我们可用F i c k 扩散方程表示循 环水温度变化的规律 引 即 c 南 c c 南 Q 1 其中T为水温上升量 C t 为时间 秒 D D D 依次为X Y Z方向的 扩散系数 m 2 秒 依次为X Y Z方向的流速 m 秒 D 丽O T D 可O T D O T依次为与X y Z方向垂直的单位面积水温上升量的通量 Q为 单位时间单位体积温度发生率 度m 秒 其数值等于水量乘以上升温度 本文 2 0 0 2 年 1 2月 2 9日 收到 吉林省科委资助项目 9 8 0 2 1 6 维普资讯 8 6 应用数学与计算数学学报 如果各方向扩散同性 即D D D D t 而又无扩散温度发生 即Q一0 则 1 式可写成矢量形式 d i v T u D t V T 2 现将U 看作时间t 的函数 扩散系数看作常数 温度发生率用D i r a c 函数表示 假定 天然水温为上升水温的零点 在只考虑沿 方向流动的情形下 U t U U 0 这样我们可以将热循环冷却水的扩散方程用扩散方程初值问题表示为 t 一 雾 等 3 L T x Y Z t l o 0 4 对 3 和 4 作 F o u r i e r 变换得 C a u c h y 问题 D D 甓 即 一 Q 0 5 F T l o 0 6 利用条件 6 便可求得 5 式的解 然后再作逆变换 于是我们得到 3 和 4 解 的表达式 8 厂 唧 X Tr 3 D z D y D z J o 4 D 一 s L z t s 4 D 4 D d sJ t s 一 s J 而 7 式满足 丽O T Ly o 0 丽O T Lz O 0 此性质说明在Y z 0 点沿y z方向是绝 热的 7 式中s 表示t 以前的时间 U T d T 表示时间s 排放热量Q d s 以流速u t 沿 轴方向流下的距离 令 U T d T 则点 0 0 就是热 水团Q d s 的 扩 散中 心 而 4 D t s 4 D y t s 4 D z t s 依次为这个椭球体形状热水团在 y z轴方向的椭 球体半径 在t 时间以前 热量 Q d s 一方面沿 方向流动 另一方面又以椭球体的形 状向外扩散 如果将此状态从s 0 到s t 之间 进行积分 就可以求出任意点 Y z 因总排放热量所引起的水温上升值 我们完全可以类似地由一维 二维扩散初值问题 得到 t 筹 L T x t l o 0 t O T 0 2 T 0 2 T L T x Y t l o 0 T x t 8 9 1 0 1 1 唧 ds 维普资讯 2 期 张大克 王玉杰 电厂冷却水在湖泊和水库中热扩散过程的数学模拟 8 7 T 1 e Xp ds 13 利用公式 1 2 可以计算出任意时刻 x轴上任意点处因总排放热量所引起的水温 上升量 此公式对计算排入湖泊 水库中电厂循环冷却水的扩散过程是很方便的 利 用公式 1 3 可以计算任意时刻湖泊 水库因电厂循环冷却水的排入而引起水面任意位 置水温上升的上升量 利用公式 7 可计算出电厂循环冷却水排入湖泊 水库后任意 时刻任意地点的水温上升量 上面给出一维 二维和三维扩散方程初值问题 及它们的解析解 1 2 1 3 和 7 这三个公式可以计算电厂循环冷却水排入湖泊 水库后引起某一条线 某一水面 某一 水层任意点任意时刻水温上升的上升量 由于这三个公式具有一般性 因此 应用较 广 并且这三个公式是计算瞬时热源产生的水温上升量公式 在比较复杂的情况下 特别是当边界条件变化较多时 往往只能求其近似解 至于扩散系数 在实际问题的 计算中正确采用其数值甚为重要 它和分子扩散式 1 类似 在三个不同坐标方向可 有不同的值 而且可随空间坐标变化 扩散系数一般是通过实验手段来确定 即在扩 散方程式中根据实测水温上升量 按照已有的理论关系式来反算扩散系数 2 应用实例 八道江热电厂将大量循环冷却热水排入岔路河水库 给该水库及周围小区域的生 态环境带来了严重的热污染 为了研究循环冷却热水在该水库中的热扩散规律 我们 在该水库对循环冷却热水的热扩散进行了实际观测 观测结果见表 1 表 1 中t i 表示 排水后时间 秒 表示沿X轴方向距电厂冷却热水排入点的距离 m 表示t i 时 刻 t 位置点的水面水温瞬时上升量 i 1 2 8 表 1热扩散过程的实测数据 在只考虑热水沿 轴方向流动的情况下 根据表 1 中的实测数据我们确定出公式 1 2 中的Q 4 2 0 t 2 9 0 0 0 1 1 t 因此 公式 1 2 化为 咐 丽 4 2 0 唧 4 D ds t s I 由公式 1 4 并根据实测上升水温反推算扩散系数的方法 我们编制了计算机程 序 在计算机上我们可以模拟出该热电厂将循环冷却热水排入水库后 任意时刻沿 轴方向任意位置点的水温瞬时上升量 维普资讯 应用数学与计算数学学报 为了校验模型 1 4 的精度 一方面我们在计算机上模拟出循环冷却热水排入水库 后 3 6 0 0 秒 1 小时 时沿 轴方向6 0 个位置点的水温瞬时上升量 结果见表 2 表 2 在计算机上的模拟结果 Z X i Z X i Z X i 五 1 0 1 1 6 0 0 0 2 1 1 0 0 0 7 4 0 9 7 4 1 2 0 0 0 5 8 4 6 9 2 5 0 1 1 3 7 4 8 2 2 1 0 5 0 7 2 9 9 9 4 2 2 0 5 0 5 7 9 2 5 3 1 0 0 1 0 9 8 9 8 2 3 1 1 0 0 7 1 9 4 8 4 3 2 1 0 0 5 7 3 9 6 4 1 5 0 1 0 6 4 1 6 2 4 1 1 5 0 7 0 9 4 3 4 4 2 1 5 0 5 6 8 8 1 5 2 0 0 1 0 3 2 3 7 2 5 1 2 0 0 6 9 9 7 7 4 5 2 2 0 0 5 6 3 8 0 6 2 5 0 1 0 0 3 3 0 2 6 1 2 5 0 6 9 0 5 0 4 6 2 2 5 0 5 5 8 9 2 7 3 0 0 9 7 6 5 4 2 7 1 3 0 0 6 8 1 5 9 4 7 2 3 0 0 5 5 4 1 6 8 3 5 0 9 5 1 8 4 2 8 1 3 5 0 6 7 3 0 2 4 8 2 3 5 0 5 4 9 5 2 9 4 0 0 9 2 8 8 8 2 9 1 4 0 0 6 6 4 7 7 4 9 2 4 0 0 5 4 5 0 0 1 0 4 5 0 9 0 7 5 0 3 0 1 4 5 0 6 5 6 8 0 5 0 2 4 5 0 5 4 0 5 9 1 1 5 0 0 8 8 7 5 6 3 1 1 5 0 0 6 4 9 1 2 5 1 2 5 0 0 5 3 6 2 8 1 2 5 5 0 8 6 8 8 8 3 2 1 5 5 0 6 4 1 7 0 5 2 2 5 5 0 5 3 2 0 7 1 3 6 0 0 8 5 1 3 3 3 3 1 6 0 0 6 3 4 5 3 5 3 2 6 0 0 5 2 7 9 7 1 4 6 5 0 8 3 4 7 7 3 4 1 6 5 0 6 2 7 6 0 5 4 2 6 5 0 5 2 3 9 5 1 5 7 0 0 8 1 9 1 7 3 5 1 7 0 0 6 2 0 8 8 5 5 2 7 0 0 5 2 0 0 3 1 6 7 5 0 8 0 4 4 1 3 6 1 7 5 0 6 1 4 3 8 5 6 2 7 5 0 5 1 6 1 9 1 7 8 0 0 7 9 0 4 2 3 7 1 8 0 0 6 0 8 0 8 5 7 2 8 0 0 5 1 2 4 3 1 8 8 5 0 7 7 7 1 3 3 8 1 8 5 0 6 0 1 9 7 5 8 2 8 5 0 5 0 8 7 6 1 9 9 0 0 7 6 4 4 9 3 9 1 9 0 0 5 9 6 0 4 5 9 2 9 0 0 5 0 5 1 6 2 0 9 5 0 7 5 2 4 5 4 0 1 9 5 0 5 9 0 2 8 6 0 2 9 5 0 5 0 1 6 5 表 2 中i 表示位置点排列序号 X 表示沿 轴方向第i 个位置点距电厂冷却热水 排入点的距离 m 表示第i 个位置点处水面水温的瞬时上升量 i 1 2 6 0 另一方面我们在循环冷却热水排入该水库后 3 6 0 0 秒时 沿 轴方向顺次每隔5 0 m设 置一个测量点 同时测量了 1 0 个位置点的水面水温瞬时上升量 结果见表 3 表 3 实测结果 表3 中i 表示位置点排列序号 X i 表示沿 轴方向第i 个位置点距电厂冷却热水 排入点的距离 m 表示第i 个位置点处水面水温的瞬时上升量 C i 1 2 1 0 由表2 和表 3 可见 实测结果与计算机模拟结果基本吻合 这说明我们所进行的 维普资讯 2 期 张大克 王玉杰 电厂冷却水在湖泊和水库中热扩散过程的数学模拟8 9 数学模拟是符合实际的 3 讨 论 i 根据本文的公式 1 2 1 3 和 7 运用计算机技术 可以在计算机上很方便 地模拟电厂循环冷却水排入湖泊 水库后的热扩散过程和规律 这对人们了解和监控 电厂循环冷却水对湖泊 水库及周围小区域生态环境的影响是非常有意义的 i i 根据我们利用公式 7 在假设状态下运用计算机对三维情形热水团的扩散过 程进行的模拟可知 三维情形的热水团是一个椭球 并且随着时间的推移它逐渐变得 偏平 而面积在逐渐扩大 参 考 文 献 1 多田东臣 热排放水扩散预测计算方法 J 电力土木 1 9 7 8 7 5 6 6 0 2 吴望一 流体力学 M 北京 北京大学出版社 1 9 8 3 上册 1 4 5 1 9 9 下册 2 1 2 3 8 6 3 易家训 流体力学 M 北京 高等教育出版社 1 9 8 3 2 8 4 1 2 4 8 2 8 6 4 华东水利学院 水力学 M 北京 科学出版社 1 9 8 4 第二版 下册 8 4 1 5 9 5 武汉水利电力学院 华东水利学院 水力学 M 北京 人民教育出版社 1 9 8 0 3 6 7 1 3 3 0 3 6 5 6 M 谢克特 著 叶其孝 译 齐民友 校 偏微分方程的现代方法 M 北京 科学出版社 1 9 8 3 3 3 5 9 8 0 1 0 8 7 郭敦仁 数学物理方法 M 北京 人民教育出版社 1 9 7 8 1 9 8 2 1 2 M a t h e ma t i c a l S i mul a t i o n f o r Th e r ma l Di f r u s i o n Pr o c e s s o f t h e Po we r Pl a n t Co o l i ng W a t e r i n t h e La k e a nd Re s e r v o i r Z h a n g D a k e Wa n g Y u j i e C o l l e g e o f S c i e n c e T i a n j i n U n i v e r s i t y o f S c i e n c e a n d T e c h n o l o g y T i a n j i n 3 0 0 2 2 2 C h i n a A bs t r ac t I n t h i s p a p e r t h e r ma l d i ff u s i o n p r o c e s s o f t h e p o we r p l a n t c o o l i n g wa t e r d i s c h a r g e d i n t o t h e l a k e a n d r e s e r v o i r i s s i mu l a t e d b y ma t h e ma t i c a l me t h o d t h r e e d i me n s i o n a l d i ff u s i o n e q u a t i o n i s b u i l t o n e t wo a n d t h r e e d i me n s i o n a l c o mp u t a t i o n al f o r mu l a s f o r