（全国通用）高三物理一轮复习 第四章 曲线运动 万有引力与航天.doc

第四章 曲线运动万有引力与航天备考指南考 点内 容要求题型把 握 考 情一、曲线运动运动的合成与分解运动的合成与分解选择、计算找 规 律平抛运动的规律及其研究方法，圆周运动的角速度、线速度和向心加速度，万有引力定律及其应用是本章的命题热点，题型有选择题，也有计算题。二、抛体运动抛体运动选择、计算三、圆周运动匀速圆周运动、角速度、线速度、向心加速度选择、计算匀速圆周运动的向心力离心现象四、万有引力定律及其应用万有引力定律及其应用选择、计算明 热 点突出物理与现代科技、生产、生活的结合，特别是与现代航天技术的联系会更加密切，与牛顿运动定律、机械能守恒等内容结合命题的可能性也较大。五、天体运动人造卫星环绕速度选择、计算第二宇宙速度和第三宇宙速度经典时空观和相对论时空观第1节 曲线运动 运动的合成与分解(1)速度发生变化的运动，一定是曲线运动。()(2)做曲线运动的物体加速度一定是变化的。()(3)做曲线运动的物体速度大小一定发生变化。()(4)曲线运动可能是匀变速运动。()(5)两个分运动的时间一定与它们的合运动的时间相等。()(6)合运动的速度一定比分运动的速度大。()(7)只要两个分运动为直线运动，合运动一定是直线运动。()(8)分运动的位移、速度、加速度与合运动的位移、速度、加速度间满足平行四边形定则。()要点一物体做曲线运动的条件与轨迹分析曲线运动的特点曲线运动的条件内容物体在某一点的速度沿曲线上该点的切线方向物体所受合力的方向与它的速度方向不在同一直线上深入理解速度方向时刻在变化，所以曲线运动一定是变速运动速度大小可以不变，相应的动能就不变，如匀速圆周运动加速度可以是不变的，即物体做匀变速曲线运动，如平抛运动加速度可以是变化的，即物体做非匀变速曲线运动，如匀速圆周运动合力指向曲线的凹侧，所以合力与速度分居曲线两侧合力可以是不变的，如平抛运动中物体的合力为重力，大小、方向都不变合力可以是变化的，如匀速圆周运动中物体的合力为向心力，方向时刻在变化多角练通1(多选)(2016广州模拟)关于做曲线运动的物体，下列说法中正确的是()a它所受的合外力一定不为零b它所受的合外力一定是变力c其速度可以保持不变d其动能可以保持不变解析：选ad物体做曲线运动，其速度方向一定改变，故物体的加速度一定不为零，合外力也一定不为零，合外力若与速度始终垂直，动能可以保持不变，故a、d正确，b、c错误。2若已知物体运动的初速度v0的方向及它受到的恒定的合外力f的方向，图中m、n、p、q表示物体运动的轨迹，其中正确的是()解析：选b物体运动的速度方向与运动轨迹一定相切，而且合外力f的方向一定指向轨迹的凹侧，故只有b正确。3如图411所示为质点做匀变速曲线运动轨迹的示意图，且质点运动到d点时速度方向与加速度方向恰好互相垂直，则质点从a点运动到e点的过程中，下列说法中正确的是()图411a质点经过c点的速率比d点的大b质点经过a点时的加速度方向与速度方向的夹角小于90c质点经过d点时的加速度比b点的大d质点从b到e的过程中加速度方向与速度方向的夹角先增大后减小解析：选a质点做匀变速曲线运动，所以加速度不变；由于在d点速度方向与加速度方向垂直，则在c点时速度方向与加速度方向的夹角为钝角，所以质点由c到d速率减小，所以c点速率比d点大。要点二运动的合成与分解的应用1合运动与分运动的关系(1)等时性：各个分运动与合运动总是同时开始，同时结束，经历时间相等(不同时的运动不能合成)。(2)等效性：各分运动叠加起来与合运动有相同的效果。(3)独立性：一个物体同时参与几个运动，其中的任何一个都会保持其运动性质不变，并不会受其他分运动的干扰。虽然各分运动互相独立，但是它们共同决定合运动的性质和轨迹。2运动的合成与分解的运算法则运动的合成与分解是指描述运动的各物理量，即位移、速度、加速度的合成与分解，由于它们均是矢量，故合成与分解都遵守平行四边形定则。3合运动性质的判断典例(多选)在一光滑水平面内建立平面直角坐标系，一物体从t0时刻起，由坐标原点o(0,0)开始运动，其沿x轴和y轴方向运动的速度时间图像如图412甲、乙所示，下列说法中正确的是()图412a前2 s内物体沿x轴做匀加速直线运动b后2 s内物体继续做匀加速直线运动，但加速度沿y轴方向c4 s末物体坐标为(4 m,4 m)d4 s末物体坐标为(6 m,2 m)思路点拨(1)判断物体运动性质时要分析物体的加速度特点及加速度与速度方向间的关系。(2)确定物体在某时刻的坐标时，要沿x轴和y轴分别计算物体的位移。解析前2 s内物体在y轴方向速度为0，由题图甲知只沿x轴方向做匀加速直线运动，a正确；后2 s内物体在x轴方向做匀速运动，在y轴方向做初速度为0的匀加速运动，加速度沿y轴方向，合运动是曲线运动，b错误；4 s内物体在x轴方向上的位移是xm6 m，在y轴方向上的位移为y22 m2 m，所以4 s末物体坐标为(6 m,2 m)，d正确，c错误。答案ad针对训练1(多选)(2016扬州模拟)一个质点同时参与互成一定角度的匀速直线运动和匀变速直线运动，该质点的运动特征是()a速度不变b运动中的加速度不变c轨迹是直线d轨迹是曲线解析：选bd质点的合加速度与匀变速直线运动的加速度相同，与合速度方向一定不在一条直线上，故运动轨迹一定为曲线，质点做匀变速曲线运动，a、c错误，b、d正确。2(2016衡阳联考)如图413所示，当汽车静止时，车内乘客看到窗外雨滴沿竖直方向oe匀速运动。现从t0时汽车由静止开始做甲、乙两种匀加速启动，甲种状态启动后t1时刻，乘客看到雨滴从b处离开车窗，乙种状态启动后t2时刻，乘客看到雨滴从f处离开车窗，f为ab的中点。则t1t2为()图413a21b1c1 d1(1)解析：选a雨滴在竖直方向的分运动为匀速直线运动，其速度大小与水平方向的运动无关，故t1t221。a正确。3如图414所示，从广州飞往上海的波音737航班上午10点到达上海浦东机场，若飞机在降落过程中的水平分速度为60 m/s，竖直分速度为6 m/s，已知飞机在水平方向做加速度大小等于2 m/s2的匀减速直线运动，在竖直方向做加速度大小等于0.2 m/s2的匀减速直线运动，则飞机落地之前()图414a飞机的运动轨迹为曲线b经20 s飞机水平方向的分速度与竖直方向的分速度大小相等c在第20 s内，飞机在水平方向的分位移与竖直方向的分位移大小相等d飞机在第20 s内，水平方向的平均速度为21 m/s解析：选d由于初速度的方向与合加速度的方向相反，故飞机的运动轨迹为直线，a错误；由匀减速运动规律可知，飞机在第20 s末的水平分速度为20 m/s，竖直方向的分速度为2 m/s，b错误；飞机在第20 s内，水平位移x21 m，竖直位移y2.1 m，c错误。飞机在第20 s内，水平方向的平均速度为21 m/s，d正确。要点三小船渡河问题1小船渡河问题的分析思路2小船渡河的两类问题、三种情景渡河时间最短当船头方向垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin渡河位移最短如果v船v水，当船头方向与上游夹角满足v船cos v水时，合速度垂直河岸，渡河位移最短，等于河宽d如果v船t1，v2v1bt2t1，v2v1ct2t1，v2v1dt2t1，v2v1解析：选d两次船相对于静水的速度都是不变的，船相对于水的速度可以分解为垂直于河岸和平行于河岸两个方向。由于船速大小和方向不变，故垂直于河岸的速度不变，所以渡河的时间相等，即t2t1；渡河的位移x1v1t1，x2v2t2，解得：v2v1，所以d正确，a、b、c错误。要点四关联速度问题1模型特点沿绳(或杆)方向的速度分量大小相等。2思路与方法合速度物体的实际运动速度v分速度方法：v1与v2的合成遵循平行四边形定则。3常见模型把物体的实际速度分解为沿绳(杆)和垂直于绳(杆)的两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解。常见的模型如图418所示。图418典例(多选)(2016天津实验中学模拟)如图419所示，将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m的小环，小环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑定滑轮与直杆的距离为d。现将小环从与定滑轮等高的a处由静止释放，当小环沿直杆下滑距离也为d时(图中b处)，下列说法正确的是(重力加速度为g)()图419a小环刚释放时轻绳中的张力一定大于2mgb小环到达b处时，重物上升的高度为(1)dc小环在b处的速度与重物上升的速度大小之比等于d小环在b处的速度与重物上升的速度大小之比等于解析小环释放后，v增加，而v1vcos ，v1增大，由此可知小环刚释放时重物具有向上的加速度，故绳中张力一定大于2mg，a项正确；小环到达b处时，绳与直杆间的夹角为45，重物上升的高度h(1)d，b项正确；如图所示，将小环速度v进行正交分解，其分速度v1与重物上升的速度大小相等，v1vcos 45v，所以，小环在b处的速度与重物上升的速度大小之比等于，c项错误，d项正确。答案abd针对训练1(多选)(2016东北师大附中模拟)如图4110所示，人在岸上拉船，已知船的质量为m，水的阻力恒为ff，当轻绳与水平面的夹角为时，船的速度为v，此时人的拉力大小为f，则此时()图4110a人拉绳行走的速度为vcos b人拉绳行走的速度为c船的加速度为d船的加速度为解析：选ac人拉绳行走的速度等于船的速度v沿绳方向的分量vcos ，a正确，b错误；由牛顿第二定律得：fcos ffma，故船的加速度a，c正确，d错误。2(2016北京朝阳区二模)如图4111所示 ，长为l的直棒一端可绕固定轴转动，另一端搁在升降平台上，平台以速度v匀速上升，当棒与竖直方向的夹角为时，棒的角速度为()图4111abc d解析：选b棒与平台接触点的实际运动即合运动方向是垂直于棒指向左上方，如图所示，合速度v实l，沿竖直向上方向上的速度分量等于v，即 lsin v，所以。所以a、c、d均错，b正确。3(多选)如图4112所示，a、b两球分别套在两光滑的水平直杆上，两球通过一轻绳绕过一定滑轮相连，现在将a球以速度v向左匀速移动，某时刻连接两球的轻绳与水平方向的夹角分别为、，下列说法正确的是()图4112a此时b球的速度为vb此时b球的速度为vc在增大到90的过程中，b球做匀速运动d在增大到90的过程中，b球做加速运动解析：选ad由于绳连接体沿绳方向的速度大小一定，因此vcos vbcos ，解得vbv，a项正确，b项错误；在增大到90的过程中，在减小，因此b球的速度在增大，b球在做加速运动，c项错误，d项正确。生活中的运动合成问题(一)骑马射箭1(多选)民族运动会上有一骑射项目如图4113所示，运动员骑在奔跑的马上，弯弓放箭射击侧向的固定目标。假设运动员骑马奔驰的速度为v1，运动员静止时射出的弓箭速度为v2，跑道离固定目标的最近距离为d。要想命中目标且射出的箭在空中飞行时间最短，则()图4113a运动员放箭处离目标的距离为b运动员放箭处离目标的距离为c箭射到固定目标的最短时间为d箭射到固定目标的最短时间为解析：选bc要想以箭在空中飞行的时间最短的情况下击中目标，v2必须垂直于v1，并且v1、v2的合速度方向指向目标，如图所示，故箭射到目标的最短时间为，c对、d错；运动员放箭处离目标的距离为，又xv1tv1，故 ，a错误、b正确。(二)下雨打伞2雨滴在空中以4 m/s的速度竖直下落，人打伞以3 m/s的速度向西急行，如果希望雨滴垂直打向伞的截面而少淋雨，伞柄应指向什么方向？解析：雨滴相对于人的速度方向即为伞柄的指向。雨滴相对人有向东3 m/s的速度v1，有竖直向下的速度v24 m/s，如图所示，雨滴对人的合速度v5 m/s。tan 。即37。答案：向西倾斜，与竖直方向成37角(三)转台投篮3(2016奉贤区二模)趣味投篮比赛中，运动员站在一个旋转较快的大平台边缘上，相对平台静止，向平台圆心处的球筐内投篮球。则如图(各俯视图)篮球可能被投入球筐(图中箭头指向表示投篮方向)的是()解析：选c当沿圆周切线方向的速度和出手速度的合速度沿篮筐方向，球就会被投入篮筐。故c正确，a、b、d错误。(四)风中骑车4某人骑自行车以4 m/s的速度向正东方向行驶，天气预报报告当时是正北风，风速为4 m/s，那么，骑车人感觉到的风向和风速为()a西北风风速为4 m/sb西北风风速为4 m/sc东北风风速为4 m/sd东北风风速为4 m/s解析：选d以骑车中的人为参考系，人向正东方向骑行，感觉风向正西，风速大小为v14 m/s，当时有正北风，人感觉到的风向为正南，风速为v24 m/s，如图所示，可求得人感觉到的风向为东北风，风速v4 m/s，d正确。对点训练：合运动的轨迹与性质判断1(多选)(2016揭阳期末)某质点在光滑水平面上做匀速直线运动。现对它施加一个水平恒力，则下列说法正确的是()a施加水平恒力以后，质点可能做匀加速直线运动b施加水平恒力以后，质点可能做匀变速曲线运动c施加水平恒力以后，质点可能做匀速圆周运动d施加水平恒力以后，质点立即有加速度，速度也立即变化解析：选ab当水平恒力的方向与速度的方向在同一条直线上时，质点做匀变速直线运动，选项a正确；当水平恒力的方向与速度的方向不在同一条直线上时，质点做匀变速曲线运动，选项b正确；无论力的方向与速度的方向关系如何，质点都不可能做匀速圆周运动，选项c错误；速度不能发生突变，选项d错误。2(多选)如图1所示，在灭火抢险的过程中，消防队员有时要借助消防车上的梯子爬到高处进行救人或灭火作业。为了节省救援时间，在消防车向前前进的过程中，人同时相对梯子匀速向上运动。在地面上看消防队员的运动，下列说法中正确的是()图1a当消防车匀速前进时，消防队员一定做匀加速直线运动b当消防车匀速前进时，消防队员一定做匀速直线运动c当消防车匀加速前进时，消防队员一定做匀变速曲线运动d当消防车匀加速前进时，消防队员一定做匀变速直线运动解析：选bc当消防车匀速前进时，消防队员一定做匀速直线运动，选项a错误，b正确；当消防车匀加速前进时，消防队员一定做匀变速曲线运动，选项c正确，d错误。对点训练：运动的合成与分解3(多选)(2016盐城二模)如图2所示，在一端封闭的光滑细玻璃管中注满清水，水中放一红蜡块r(r视为质点)。将玻璃管的开口端用胶塞塞紧后竖直倒置且与y轴重合，在r从坐标原点以速度v03 cm/s匀速上浮的同时，玻璃管沿x轴正向做初速度为零的匀加速直线运动，合速度的方向与y轴夹角为。则红蜡块r的()图2a分位移y与x成正比b分位移y的平方与x成正比c合速度v的大小与时间t成正比dtan 与时间t成正比解析：选bd由题意可知，y轴方向，yv0t；而x轴方向，xat2，联立可得：xy2，故a错误，b正确；x轴方向，vxat，那么合速度的大小v，则v的大小与时间t不成正比，故c错误；设合速度的方向与y轴夹角为，则有：tan t，故d正确。4(2016保定一中检测)物体在直角坐标系xoy所在的平面内由o点开始运动，其沿坐标轴方向的两个分速度随时间变化的图像如图3所示，则对该物体运动过程的描述正确的是()图3a物体在03 s做直线运动b物体在34 s做直线运动c物体在34 s做曲线运动d物体在03 s做变加速运动解析：选b物体在03 s内，x方向做匀速直线运动，y方向做匀加速直线运动。两运动合成，一定做曲线运动，且加速度恒定，则a、d两项错误；物体在34 s内两个方向的分运动都是匀减速运动，在3 s末，合速度与合加速度方向相反，则做直线运动，故b项正确，c项错误。5如图4所示，在竖直平面的xoy坐标系中，oy竖直向上，ox水平。设平面内存在沿x轴正方向的恒定风力。一小球从坐标原点沿oy方向竖直向上抛出，初速度为v04 m/s，不计空气阻力，到达最高点的位置如图中m点所示(坐标格为正方形，g取10 m/s2)求：图4(1)小球在m点的速度v1；(2)在图中定性画出小球的运动轨迹并标出小球落回x轴时的位置n；(3)小球到达n点的速度v2的大小。解析：(1)设正方形的边长为s0。竖直方向做竖直上抛运动，v0gt1,2s0t1水平方向做匀加速直线运动，3s0t1解得v16 m/s。(2)由竖直方向的对称性可知，小球再经过t1到x轴，水平方向做初速度为零的匀加速直线运动，所以回到x轴时落到x12处，位置n的坐标为(12,0)。(3)到n点时竖直分速度大小为v04 m/s，水平分速度vxa水平tn2v112 m/s，故v24 m/s。答案：(1)6 m/s(2)见解析图(3)4 m/s对点训练：关联速度问题6如图5所示，人沿平直的河岸以速度v行走，且通过不可伸长的绳拖船，船沿绳的方向行进，此过程中绳始终与水面平行。当绳与河岸的夹角为时，船的速率为()图5avsin bcvcos d解析：选c人的速度为合速度，当人沿平直的河岸以速度v行走时，可将人的速度分解为沿绳方向的分速度和垂直于绳方向的分速度，沿绳方向的分速度即为船行驶的速度，故船的速度为vcos ，选项c正确。7如图6所示，套在竖直细杆上的环a由跨过定滑轮的不可伸长的轻绳与重物b相连。由于b的质量较大，故在释放b后，a将沿杆上升，当a环上升至与定滑轮的连线水平时，其上升速度v10，若这时b的速度为v2，则()图6av20bv2v1cv20 dv2v1解析：选a环a在虚线位置时，环a的速度沿虚线方向的分速度为零，故物体b的速度v20，a正确。8(2016烟台模拟)如图7所示，物体a、b经无摩擦的定滑轮用细线连在一起，a物体受水平向右的力f的作用，此时b匀速下降，a水平向左运动，可知()图7a物体a做匀速运动b物体a做加速运动c物体a所受摩擦力逐渐增大d物体a所受摩擦力不变解析：选b设系在a上的细线与水平方向夹角为，物体b的速度为vb，大小不变，细线的拉力为ft，则物体a的速度va，ffa(mgftsin ), 因物体下降，增大，故va增大，物体a做加速运动，a错误，b正确；物体b匀速下降，ft不变，故随增大，ffa减小，c、d均错误。9(2016石家庄实验中学检测)一轻杆两端分别固定质量为ma和mb的两个小球a和b(可视为质点)。将其放在一个光滑球形容器中从位置1开始下滑，如图8所示，当轻杆到达位置2时球a与球形容器球心等高，其速度大小为v1，已知此时轻杆与水平方向成30角，b球的速度大小为v2，则()图8av2v1 bv22v1cv2v1 dv2v1解析：选c球a与球形容器球心等高，速度v1方向竖直向下，速度分解如图所示，有v11v1sin 30v1，球b此时速度方向与杆成60角，因此v21v2cos 60v2，沿杆方向两球速度相等，即v21v11，解得v2v1，c项正确。对点训练：小船过河问题10(2016天津模拟)船在静水中的速度为3.0 m/s，它要渡过宽度为30 m的河，河水的流速为2.0 m/s，则下列说法中正确的是()a船不能渡过河b船渡河的速度一定为5.0 m/sc船不能垂直到达对岸d船到达对岸所需的最短时间为10 s解析：选d当船头垂直于河岸时，过河时间最短，tmin10 s，a错误，d正确；因v船v水，故船可以垂直到达对岸，c错误；船渡河的速度大小与船头指向有关，b错误。11(2014四川高考)有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v的大河。小明驾着小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直。去程与回程所用时间的比值为k，船在静水中的速度大小相同，则小船在静水中的速度大小为()abc d解析：选b根据运动的合成与分解解决问题。设大河宽度为d，小船在静水中的速度为v0，则去程渡河所用时间t1，回程渡河所用时间t2。由题知k，联立以上各式得v0。选项b正确。12如图9所示，甲、乙两同学从河中o点出发，分别沿直线游到a点和b点后，立即沿原路线返回到o点，oa、ob分别与水流方向平行和垂直，且oaob。若水流速度不变，两人在静水中游速相等，则他们所用时间 t甲、t乙的大小关系为 ()图9at甲t乙 d无法确定解析：选c设水流的速度为v水，学生在静水中的速度为v人，从题意可知v人v水，设oaobl，对甲同学t甲，对乙同学来说，要想垂直到达b点，其速度方向要指向上游，并且来回时间相等，即t乙，则即t甲t乙，c正确。13小船匀速横渡一条河流，当船头垂直对岸方向航行时，在出发后10 min到达对岸下游120 m处；若船头保持与河岸成角向上游航行，则在出发后12.5 min到达正对岸，求：(1)水流速度大小v1；(2)船在静水中的速度大小v2；(3)河的宽度；(4)船头与河岸的夹角。解析：如图甲所示，设水流速度大小为v1，甲则，v1 m/s0.2 m/s又有：v2如图乙所示，据题意有t2v2cos v1解得：d200 mv2 m/s乙53。答案：(1)0.2 m/s(2) m/s(3)200 m(4)53第2节 抛体运动(1)以一定的初速度水平抛出的物体的运动是平抛运动。()(2)做平抛运动的物体的速度方向时刻在变化，加速度方向也时刻在变化。()(3)做平抛运动的物体初速度越大，水平位移越大。()(4)做平抛运动的物体，初速度越大，在空中飞行时间越长。()(5)从同一高度平抛的物体，不计空气阻力时，在空中飞行的时间是相同的。( )(6)无论平抛运动还是斜抛运动，都是匀变速曲线运动。()(7)做平抛运动的物体，在任意相等的时间内速度的变化是相同的。()要点一平抛运动的基本规律1基本规律(1)速度关系(2)位移关系2有用结论(1)速度改变量：物体在任意相等时间内的速度改变量vgt相同，方向恒为竖直向下，如图421甲所示。(2)水平位移中点：因tan 2tan ，所以oc2bc，即速度的反向延长线通过此时水平位移的中点，如图421乙所示。甲乙图421多角练通1(2016湛江一模)如图422所示，某同学将一枚飞镖从高于靶心的位置水平投向竖直悬挂的靶盘，结果飞镖打在靶心的正下方。忽略飞镖运动过程中所受空气阻力，在其他条件不变的情况下，为使飞镖命中靶心，他在下次投掷时可以()图422a换用质量稍大些的飞镖b适当增大投飞镖的高度c到稍远些的地方投飞镖d适当减小投飞镖的初速度解析：选b飞镖做的是平抛运动，飞镖打在靶心的正下方说明飞镖竖直方向的位移太大，根据平抛运动的规律可得，水平方向上xv0t，竖直方向上hgt2，所以要想减小飞镖竖直方向的位移，在水平位移不变的情况下，可以适当增大投飞镖的初速度来减小飞镖的运动时间，故d错误；初速度不变时，时间不变，适当增大投飞镖的高度，可以使飞镖命中靶心，飞镖的质量不影响平抛运动的规律，故a错误，b正确；在稍远些地方投飞镖，则运动时间变长，下落的高度变大，不会击中靶心，故c错误。2(2015山东高考)距地面高5 m的水平直轨道上a、b两点相距2 m，在b点用细线悬挂一小球，离地高度为h，如图423。小车始终以4 m/s的速度沿轨道匀速运动，经过a点时将随车携带的小球由轨道高度自由卸下，小车运动至b点时细线被轧断，最后两球同时落地。不计空气阻力，取重力加速度的大小 g10 m/s2。可求得h等于()图423a1.25 mb2.25 mc3.75 m d4.75 m解析：选a根据两球同时落地可得 ，代入数据得h1.25 m，选项a正确。3(2016山东师大附中一模)以v0的速度水平抛出一物体，当其水平分位移与竖直分位移相等时，下列说法错误的是()a此时速度的大小是v0b运动时间是c竖直分速度大小等于水平分速度大小d运动的位移是解析：选c物体做平抛运动，根据平抛运动的规律可得水平方向上：xv0t竖直方向上：hgt2当其水平分位移与竖直分位移相等时，即xh，所以v0tgt2解得t，所以b正确；平抛运动竖直方向上的速度为vygtg2v0，所以c错误；此时合速度的大小为v0，所以a正确；由于此时的水平分位移与竖直分位移相等，所以xhv0tv0，所以此时运动的合位移的大小为x，所以d正确。要点二多体平抛问题1多体平抛运动问题是指多个物体在同一竖直平面内平抛时所涉及的问题。2三类常见的多体平抛运动(1)若两物体同时从同一高度(或同一点)抛出，则两物体始终在同一高度，二者间距只取决于两物体的水平分运动。(2)若两物体同时从不同高度抛出，则两物体高度差始终与抛出点高度差相同，二者间距由两物体的水平分运动和竖直高度差决定。(3)若两物体从同一点先后抛出，两物体竖直高度差随时间均匀增大，二者间距取决于两物体的水平分运动和竖直分运动。典例(多选)如图424，x轴在水平地面内，y轴沿竖直方向。图中画出了从y轴上沿x轴正向抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹，其中b和c是从同一点抛出的。不计空气阻力，则()图424aa的飞行时间比b的长bb和c的飞行时间相同ca的水平速度比b的小db的初速度比c的大解析根据平抛运动的规律hgt2，得t，因此平抛运动的时间只由高度决定，因为hbhcha，所以b与c的飞行时间相同，大于a的飞行时间，因此选项a错误，选项b正确；又因为xaxb，而tatb，所以a的初速度比b的大，选项c错误；做平抛运动的物体在水平方向上做匀速直线运动，b的水平位移大于c，而tbtc，所以vbvc，即b的初速度比c的大，选项d正确。答案bd方法规律(1)物体做平抛运动的时间由物体被抛出点的高度决定，而物体的水平位移由物体被抛出点的高度和物体的初速度共同决定。(2)两条平抛运动轨迹的相交处是两物体的可能相遇处，两物体要在此处相遇，必须同时到达此处。针对训练1(多选)(2016台州模拟)如图425所示，a、b两个小球从不同高度同时沿相反方向水平抛出，其平抛运动轨迹的交点为p，则以下说法正确的是()图425aa、b两球同时落地bb球先落地ca、b两球在p点相遇d无论两球初速度大小多大，两球总不能相遇解析：选bd由hgt2可得t ，因hahb，故b球先落地，b正确，a错误；两球的运动轨迹相交于p点，但两球不会同时到达p点，故无论两球初速度大小多大，两球总不能相遇，c错误，d正确。2(多选)(2016河南二模)如图426所示，a、b两点在同一条竖直线上，a点离地面的高度为2.5h，b点离地面高度为2h。将两个小球分别从a、b两点水平抛出，它们在p点相遇，p点离地面的高度为h。已知重力加速度为g，则()图426a两个小球一定同时抛出b两个小球抛出的时间间隔为() c小球a、b抛出的初速度之比 d小球a、b抛出的初速度之比 解析：选bd平抛运动在竖直方向上做自由落体运动，由hgt2，得t ，由于a到p的竖直高度较大，所以从a点抛出的小球运动时间较长，应先抛出，故a错误；由t，得两个小球抛出的时间间隔为ttatb () ，故b正确；由xv0t得v0x ，x相等，则小球a、b抛出的初速度之比 ，故c错误，d正确。要点三类平抛运动问题分析1受力特点物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直。2运动特点在初速度v0方向做匀速直线运动，在合外力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a。3解题步骤典例(2016河北正定中学月考)风洞实验室能产生大小和方向均可改变的风力。如图427所示，在风洞实验室中有足够大的光滑水平面，在水平面上建立xoy直角坐标系。质量m0.5 kg的小球以初速度v00.40 m/s从o点沿x轴正方向运动，在02.0 s内受到一个沿y轴正方向、大小f10.20 n的风力作用；小球运动2.0 s后风力方向变为y轴负方向、大小变为f20.10 n(图中未画出)。试求：图427(1)2.0 s末小球在y方向的速度大小和2.0 s内运动的位移大小；(2)风力f2作用多长时间，小球的速度变为与初速度相同。审题指导(1)小球在力f1作用下，在02.0 s内做类平抛运动。(2)换为f2作用后，当小球沿y轴方向的速度为零时，小球的速度与初速度相同。解析(1)设在02.0 s内小球运动的加速度为a1，则f1ma12.0 s末小球在y方向的速度v1a1t1代入数据解得v10.8 m/s沿x轴方向运动的位移x1v0t1沿y轴方向运动的位移y1a1t122.0 s内运动的位移s1 代入数据解得s10.8 m1.1 m。(2)设2.0 s后小球运动的加速度为a2，f2的作用时间为t2时小球的速度变为与初速度相同。则f2ma20v1a2t2代入数据解得t24.0 s。答案(1)0.8 m/s1.1 m(2)4.0 s针对训练1(2016广安模拟)据悉，我国已在陕西省西安市的阎良机场建立了一座航空母舰所使用的滑跳式甲板跑道，用来让飞行员练习在航空母舰上的滑跳式甲板起飞。如图428所示的aob为此跑道纵截面示意图，其中ao段水平，ob为抛物线，o点为抛物线的顶点，抛物线过o点的切线水平，ob的水平距离为x，竖直高度为y。某次训练中，观察战机(视为质点)通过ob段时，得知战机在水平方向做匀速直线运动，所用时间为t，则战机离开b点的速率为()图428abc d解析：选d战机的运动轨迹是抛物线，当水平方向做匀速直线运动时，竖直方向做匀加速直线运动，则战机到达b点时的水平分速度大小vx，竖直分速度大小vy，合速度大小为v，选项d正确。2如图429所示，两个足够大的倾角分别为30、45的光滑斜面放在同一水平面上，两斜面间距大于小球直径，斜面高度相等，有三个完全相同的小球a、b、c，开始均静止于斜面同一高度处，其中b小球在两斜面之间。若同时释放a、b、c小球到达该水平面的时间分别为t1、t2、t3。若同时沿水平方向抛出，初速度方向如图所示，到达水平面的时间分别为t1、t2、t3。下列关于时间的关系不正确的是()图429at1t3t2 bt1t1、t2t2、t3t3ct1 t3 t2 dt1t1、t2t2、t3t3t2。当平抛三个小球时，小球b做平抛运动，小球a、c在斜面内做类平抛运动。沿斜面方向的运动同第一种情况，所以t1t1，t2t2，t3t3，故选d。要点四四种常见平抛运动的时间计算方法(一)对着斜面的平抛运动如图4210所示方法：分解速度vxv0vygttan 图4210可求得t典例1(2016重庆市江北中学水平测试)如图4211所示，倾角为37的斜面长l1.9 m，在斜面底端正上方的o点将一小球以v03 m/s的速度水平抛出，与此同时静止释放顶端的滑块，经过一段时间后小球恰好能够以垂直斜面的方向击中滑块。(小球和滑块均可视为质点，重力加速度g取10 m/s2，sin 370.6，cos 370.8)，求：图4211(1)抛出点o离斜面底端的高度；(2)滑块与斜面间的动摩擦因数。审题指导解析(1)设小球击中滑块时的速度为v，竖直速度为vy，由几何关系得tan 37设小球下落的时间为t，竖直位移为y，水平位移为x，由运动学规律得vygt，ygt2，xv0t设抛出点到斜面最低点的距离为h，由几何关系得hyxtan 37由以上各式得h1.7 m。(2)在时间t内，滑块的位移为x，由几何关系得xl设滑块的加速度为a，由运动学公式得xat2对滑块由牛顿第二定律得mgsin 37mgcos 37ma由以上各式得0.125。答案(1)1.7 m(2)0.125(二)顺着斜面的平抛运动如图4212所示方法：分解位移xv0tygt2 tan 图4212可求得t典例2如图4213所示，从倾角为斜面足够长的顶点a，先后将同一小球以不同的初速度水平向右抛出，第一次初速度为v1，球落到斜面上前一瞬间的速度方向与斜面的夹角为1，第二次初速度为v2，球落在斜面上前一瞬间的速度方向与斜面间的夹角为2，若v2v1，试比较1和2的大小()图4213a12b12c12 d无法确定解析根据平抛运动的推论，做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻或任一位置时，设其速度方向与水平方向的夹角为，位移与水平方向的夹角为，则tan 2tan 。由上述关系式结合图中的几何关系可得：tan()2tan ，此式表明速度方向与斜面间的夹角仅与有关，而与初速度无关，因此12，即以不同初速度平抛的物体落在斜面上各点的速度方向是互相平行的。答案c(三)对着竖直墙壁的平抛运动如图4214所示，水平初速度v0不同时，虽然落点不同，但水平位移相同。运动时间为t。图4214典例3如图4215所示，某同学为了找出平抛运动的物体初速度之间的关系，用一个小球在o点对准前方的一块竖直放置的挡板水平抛出，o与a在同一高度，小球的水平初速度分别是v1、v2、v3，打在挡板上的位置分别是b、c、d，且abbccd135，则v1、v2、v3之间的正确关系是()图4215av1v2v3321bv1v2v3531cv1v2v3632 dv1v2v3941解析平抛运动的小球在竖直方向上做自由落体运动，由abbccd135可知， 以速度v1、v2、v3水平抛出的小球，从抛出到打在挡板上的时间分别为t、2t、3t。由v1，v2，v3可得：v1v2v3632，c正确。答案c(四)半圆内的平抛运动如图4216所示，由半径和几何图4216关系制约时间t：hgt2rv0t联立两方程可求t。典例4(2016江淮十校联考)如图4217所示，ab为半圆环acb的水平直径，c为环上的最低点，环半径为r。一个小球从a点以速度v0水平抛出，不计空气阻力，则下列判断正确的是()图4217av0越大，小球落在圆环时的时间越长b即使v0取值不同，小球掉到环上时的速度方向和水平方向之间的夹角也相同c若v0取值适当，可以使小球垂直撞击半圆环d无论v0取何值，小球都不可能垂直撞击半圆环解析小球落在环上的最低点c时时间最长，所以选项a错误。v0取值不同，小球掉到环上时的速度方向和水平方向之间的夹角不相同，选项b错误。要使小球垂直撞击半圆环，设小球落点与圆心的连线与水平方向夹角为，根据平抛运动规律，v0tr(1cos )，rsin gt2，tan ，联立解得，cos 1，即垂直撞击到b点，这是不可能的，所以选项d正确c错误。答案d体育运动中的平抛运动问题(一)乒乓球的平抛运动问题1(2015全国卷)一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图4218所示。水平台面的长和宽分别为l1和l2，中间球网高度为h。发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h。不计空气的作用，重力加速度大小为g。若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是()图4218a v l1 b v c v d v 解析：选d设以速率v1发射乒乓球，经过时间t1刚好落到球网正中间。则竖直方向上有3hhgt12，水平方向上有v1t1。由两式可得v1。设以速率v2发射乒乓球，经过时间t2刚好落到球网右侧台面的两角处，在竖直方向有3hgt22，在水平方向有 v2t2。由两式可得v2 。则v的最大取值范围为v1vv2。故选项d正确。(二)足球头球的平抛运动问题2(2015浙江高考)如图4219所示为足球球门，球门宽为l。一个球员在球门中心正前方距