重庆市九龙坡区渝西中学高中数学 2.2.2向量减法及其几何意义教学设计 新人教A版必修1.doc

222向量减法运算及其几何意义教学目标1通过探究活动，使学生掌握向量减法概念，理解两个向量的减法就是转化为加法来进行，掌握相反向量2启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题能熟练地掌握用三角形法则和平行四边形法则作出两向量的差向量教学重点向量的减法运算及其几何意义教学难点对向量减法定义的理解教学过程一、新课导入思路1(问题导入)上节课，我们定义了向量的加法概念，并给出了求作和向量的两种方法由向量的加法运算自然联想到向量的减法运算：减去一个数等于加上这个数的相反数向量的减法是否也有类似的法则呢?引导学生进一步探究，由此展开新课思路2(直接导入)数的减法运算是加法运算的逆运算本节课，我们继续学习向量加法的逆运算减法引导学生去探究、发现数的减法运算是数的加法运算的逆运算，数的减法定义即减去一个数等于加上这个数的相反数，因此定义数的减法运算，必须先引进一个相反数的概念类似地，向量的减法运算也可定义为向量加法运算的逆运算可类比数的减法运算，我们定义向量的减法运算，也应引进一个新的概念，这个概念又该如何定义?二、新课导学【探究1】相反向量一个质点，先由a点作直线移动到b点，于是得到一个向量，再由b点按相反方向移动到a点又得到一个向量，如此移动的实际效果，等于没有移动，因此，0，这个等式就建议我们把向量定义为向量的负向量，并记作，于是我们有新知1：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作a，并且规定，零向量的相反向量仍是零向量，于是，(a)a.性质：(a)a；任一向量与它相反向量的和是零向量，即 a(a)(a)a0如果a、b是互为相反的向量，则有 ab，ba，ab0.练习1：判断下列各命题的真假(1)与是一对相反向量；(2)与是一对相反向量；(3)aa的充要条件是a0；(4)的相反向量仍是它本身.解：(1)真命题.，而与长度相等，方向相反，所以命题(1)是真命题.(2)真命题.，而，由于与是一对相反向量，所以命题(2)是真命题.(3)真命题.当a0时，aa；而当a0时，aa，故命题(3)是真命题.(4)真命题.0，的相反向量仍是它本身.【探究2】向量减法如图，设向量b，=a，则=-b，由向量减法的定义，知=a+(-b)=a-b又ba，所以ab由此，我们得到a-b的作图方法如图2，已知a、b，在平面内任取一点o，作=a，=b，则=ab，即ab可以表示为从b的终点指向a的终点的向量，这是向量减法的几何意义新知2：（1）向量减法的定义：a-b=a+(-b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即aba(b),求两个向量差的运算，叫向量的减法（2）向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则，这也正是向量的运算的几何意义所在，是数形结合思想的重要体现说明：还可以这样定义：两个向量a与b的差，是这样一个向量x，它适合于等式xba，并记作xab,并称a为被减向量，b为减向量，而x称为差向量向量减法可以转化为向量加法，如图b与ab首尾相接，根据向量加法的三角形法则有b(ab)a,即ab向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的意义，就可以把减法转化为加法，在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接两向量终点，箭头指向被减数”即可以向量a，b，为邻边作平行四边形abcd，则两条对角线的向量为ab，ba, ab，这一结论在以后应用是非常广泛的【探究3】关于向量差的模的不等式如果我们回忆向量加法的平行四边形法则，那么就可以知道，对于两向量a及b为边作成的平行四边形中，其两条对角线分别为a与b的和及差，如图所示，有ab，ab，利用图中的三角形oab，并注意三角形中两边之差小于第三边，于是当a与b不共线时，有|ab|a|b|，与向量和的模的不等式类似对于两任意两向量a与b差的长度不大小两向量长度之和，且又不小于两向量长度差的绝对值，即|a|b|ab|a|b|证明：由|a|b|ab|a|b|知，|a|b|a(b)|a|b|，亦即 |a|b|ab|a|b|.说明：在不等式|a|b|ab|a|b|中，当且仅当a、b同向或a、b中至少一个为0时，左边等号成立；当且仅当a、b反向或a、b中至少一个为0时，右边等号成立；当且仅当a、b中至少一个为0时，左右两边的等号同时成立.上述、及三个结论在有关问题的求解中是十分有用的.新知3：|a|b|ab|a|b|例1如图，已知向量a、b、c、d，求作向量a-b，c-d分析：根据向量减法的三角形法则，需要选点平移作出两个同起点的向量作法：如图3(2)，在平面内任取一点o，作=a，=b，=c，=d则=a-b，=c-d变式训练：在abcd中，下列结论中错误的是()a=bad+=c-ad=bddad+=0答案：c例2如图4，abcd中，=a，=b，你能用a、b表示向量、吗?解：由向量加法的平行四边形法则，我们知道=a+b，同样，由向量的减法，知=-=a-b变式训练1已知一点o到abcd的3个顶点a、b、c的向量分别是a、b、c，则向量等于()aa+b+cba-b+cca+b-cda-b-c解析：如图5，点o到平行四边形的三个顶点a、b、c的向量分别是a、b、c，结合图形有=+=+=+-=a-b+c故选b2若=a+b，=a-b当a、b满足什么条件时，a+b与a-b垂直？当a、b满足什么条件时，|a+b|=|a-b|？当a、b满足什么条件时，a+b平分a与b所夹的角？a+b与a-b可能是相等向量吗？解析：如图6，用向量构建平行四边形，其中向量、恰为平行四边形的对角线由平行四边形法则，得=a+b，=-=a-b由此问题就可转换为：当边ab、ad满足什么条件时，对角线互相垂直？(|a|=|b|)当边ab、ad满足什么条件时，对角线相等？(a、b互相垂直)当边ab、ad满足什么条件时，对角线平分内角？(a、b相等)a+b与a-b可能是相等向量吗？(不可能，因为对角线方向不同)例3化简解：原式0变式训练：8如图所示，_答案：例4若|8，|5，则|的取值范围是（）a3，8b（3，8）c3，13d（3，13）解析： ，当、同向时，|853；当、反向时，|8513；当、不平行时，3|13，总上3|13，故选c变式训练：向量ab满足|a|8，|b|12， 则|ab|的最大值为_答案：20三、总结提升1.通过本节学习，要求大家在理解向量减法定义的基础上，掌握向量减法的三角形法则，并能加以适当的应用.2.向量减法的三角形法则的式子内容是：两个向量相减，则表示两个向量起点的字母必须相同（否则无法相减），这样两个向量的差向量是以减向量的终点的字母为起点，以被减向量的终点的字母为终点.四、课后作业课本第91页习题2.2a组第4、6、7、8题1已知6，9，求的取值范围答案：3