（全面突破）高考数学最新一轮复习 必考题型巩固提升 16.1坐标系学案.doc

16.1坐标系考情分析本节内容在高考中主要考查对极坐标概念的理解，点的极坐标和指教坐标的区别和相互转化，考查直线和圆极坐标方程的理解和应用，并且熟练进行转化。基础知识 1.平面直角坐标系下的伸缩变换设点p(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换的作用下，点p(x，y)对应到点p(x，y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换2极坐标系在平面内取一个定点o，由o点引一条射线ox，一个单位长度及计算角度的正方向 (通常取逆时针方)，合称为一个极坐标系o点称为极点，ox称为极轴平面上任一点m的位置可以由线段om的长度和从ox到om的角度来刻画(如图所示)这两个数组成的有序数对（称为点m的极坐标，称为极径，称为极角3极坐标与直角坐标的转化设m为平面上的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(，)由图可知下面的关系式成立：顺便指出，上式对0也成立这就是极坐标与直角坐标的互化公式4、空间直角坐标与柱坐标的变换公式是 空间直角坐标与球坐标的变换公式是 题型一极坐标和直角坐标的互化【例1】设点a的极坐标为，直线l过点a且与极轴所成的角为，则直线l的极坐标方程为_解析点a的极坐标为，点a的平面直角坐标为(，1)，又直线l过点a且与极轴所成的角为，直线l的方程为y1(x)tan ，即xy20，直线l的极坐标方程为cos sin 20，可整理为cos1或sin1或sin1.答案cos1或cos sin 20或sin1或sin1.【变式1】在平面直角坐标系xoy中，点p的直角坐标为(1，)若以原点o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点p的极坐标可以是_解析由极坐标与直角坐标的互化公式cos x，sin y可得，cos 1, sin ，解得2，2k(kz)，故点p的极坐标为(kz)答案(kz)题型二圆的极坐标方程的应用【例2】在极坐标系中，若过点(1,0)且与极轴垂直的直线交曲线4cos 于a、b两点，则|ab|_.解析注意到在极坐标系中，过点(1,0)且与极轴垂直的直线的直角坐标方程是x1，曲线4cos 的直角坐标方程是x2y24x，即(x2)2y24，圆心(2,0)到直线x1的距离等于1，因此|ab|22.答案2【变式2】在极坐标系中，p，q是曲线c：4sin 上任意两点，则线段pq长度的最大值为_解析由曲线c：4sin ，得24sin ，x2y24y0，x2(y2)24，即曲线c：4sin 在直角坐标系下表示的是以点(0,2)为圆心、以2为半径的圆，易知该圆上的任意两点间的距离的最大值即是圆的直径长，因此线段pq长度的最大值是4.答案4题型三极坐标方程的综合应用【例3】如图，在圆心的极坐标为a(4,0)，半径为4的圆中，求过极点o的弦的中点的轨迹解设m(，)是所求轨迹上任意一点连接om并延长交圆a于点p(0，0)，则有0，02.由圆心为(4,0)，半径为4的圆的极坐标方程为8cos ，得08cos 0.所以28cos ，即4cos .故所求轨迹方程是4cos .它表示以(2,0)为圆心，2为半径的圆【变式3】 从极点o作直线与另一直线cos 4相交于点m，在om上取一点p，使|om|op|12，求点p的轨迹方程解设动点p的坐标为(，)，则m(0，)|om|op|12.012.0.又m在直线cos 4上，cos 4，3cos .这就是点p的轨迹方程重难点突破【例4】在平面直角坐标系xoy中，曲线c1的参数方程为(为参数)，曲线c2的参数方程为(ab0，为参数)在以o为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：与c1，c2各有一个交点当0时，这两个交点间的距离为2，当时，这两个交点重合()分别说明c1，c2是什么曲线，并求出a与b的值；()设当时，l与c1，c2的交点分别为a1，b1，当时，l与c1，c2的交点分别为a2，b2，求四边形a1a2b2b1的面积解：()c1是圆，c2是椭圆当0时，射线l与c1，c2交点的直角坐标分别为(1,0)，(a,0)，因为这两点间的距离为2，所以a3.当时，射线l与c1，c2交点的直角坐标分别为(0,1)，(0，b)，因为这两点重合，所以b1.()c1，c2的普通方程分别为x2y21和y21.当时，射线l与c1交点a1的横坐标为x，与c2交点b1的横坐标为x.当时，射线l与c1，c2的两个交点a2，b2分别与a1，b1关于x轴对称，因此四边形a1a2b2b1为梯形，故四边形a1a2b2b1的面积为.巩固提高1在平面直角坐标系xoy中，已知曲线c的参数方程为(为参数)以直角坐标系原点o为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos()2.点p为曲线c上的动点，求点p到直线l距离的最大值解：cos2化简为cossin4，则直线l的直角坐标方程为xy4.设点p的坐标为(2cos， sin)，得p到直线l的距离d，即d，其中cos，sin.当sin()1时，dmax2.2在直角坐标平面内，以坐标原点o为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系已知曲线c的参数方程为(为参数)，曲线d为极坐标方程为sin().(1)将曲线c的参数方程化为普通方程；(2)判断曲线c与曲线d的交点个数，并说明理由解：(1)由已知得消去参数，得曲线c的普通方程为x2，x1,1(2)由sin()得曲线d的直角坐标方程为xy30，由消去y，得2x2x30，解得x(舍去)或x1.当x1时，y2.故曲线c与曲线d只有一个交点3在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为(t为参数)，椭圆c的方程为(为参数，r.)试在椭圆c上求一点p，使得p到直线l的距离最小解：直线l的普通方程为x2y40，设p(2cos，sin)，点p到直线l的距离为d，所以当sin()1时，d有最小值此时sinsinsincos cossin，coscoscoscos sinsin，所以点p的坐标为.从而椭圆c上到直线l的距离最小的点p的坐标为.4经过点m(，0)作直线l，交曲线c：(为参数)于a，b两点，若|ma|，|ab|，|mb|成等比数列，求直线l的方程解：根据题意，设直线l的参数方程为(t为参数)曲线c化成普通方程得x2y24.将(tcos)2t2sin24.化简整理得t22cost60，t1t22cos，t1t26.由题意得|ab|2|ma|mb|，而|ab|2(t1t2)2(t1t2)24t1t2，|ma|mb|t1t2|6，即40cos2246，解得cos，sin，ktan.所求直线l的方程为yx或yx.5在直角坐标系xoy中，直线l的方程为xy40，曲线c的参数方程为(为参数)(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点o为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点p的极坐标为，判断点p与直线l的位置关系；(2)设点q是曲线c上的一个动点，求它到直线