（全国通用）高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）矩阵与变换第2课时 逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值(1).doc

最高考系列 高考总复习2014届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）选修42矩阵与变换第2课时逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值考情分析考点新知掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件，并能进行矩阵的运算.求二阶矩阵的特征值和特征向量， 利用特征值和特征向量进行矩阵运算理解逆矩阵的意义，掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件，并能进行矩阵的运算.会求二阶矩阵的特征值和特征向量，会利用矩阵求解方程组会利用特征值和特征向量进行矩阵运算.1. 设m，n，求mn.解：mn.2. 已知矩阵m，若矩阵m的逆矩阵m 1，求a、b的值解：由题意，知mm1e，即，即解得a5，b3.3. 求矩阵的特征多项式解：f()(1)(2)2234.4. (选修42p73习题第1题改编)求矩阵m的特征值解：矩阵m的特征多项式为f()(2)(3)0，令f()0，得m的特征值为12，23.5. (选修42p73习题第1题改编)求矩阵n的特征值及相应的特征向量解：矩阵n的特征多项式为f()(8)(3)0，令f()0，得n的特征值为13，28，当13时一个解为故特征值13的一个特征向量为；当28时一个解为故特征值28的一个特征向量为.1. 逆变换与逆矩阵(1) 对于二阶矩阵a、b，若有abbae，则称a是可逆的，b称为a的逆矩阵(2) 若二阶矩阵a、b均存在逆矩阵，则ab也存在逆矩阵，且(ab)1b1a1.(3) 利用行列式解二元一次方程组2. 特征值与特征向量(1) 设a是一个二阶矩阵，如果对于实数，存在一个非零向量，使a，那么称为a的一个特征值，而称为a的属于特征值的一个特征向量(2) 从几何上看，特征向量的方向经变换矩阵a的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(0)，或者方向相反(0)对应的变换作用下得到的曲线为x2y21.(1) 求实数a、b的值；(2) 求a2的逆矩阵解：(1) 设曲线2x22xyy21上任一点p(x，y)在矩阵a对应的变换下的象是p(x，y)，由，得因为p(x，y)在圆x2y21上，所以(ax)2(bxy)21，化简可得(a2b2)x22bxyy21，依题意可得a2b22，2b2a1，b1或a1，b1，而由a0可得ab1.(2) 由(1)a，a2|a2|1，(a2)1.1. 已知矩阵a，若点p(1，1)在矩阵a对应的变换作用下得到点p(0，8)(1) 求实数a的值；(2) 求矩阵a的特征值解：(1) 由，得a18，所以a9.(2) 由(1)知a，则矩阵a的特征多项式为f()(1)29228，令f()0，所以矩阵a的特征值为2或4.2. 已知m，n，求二阶方阵x，使mxn.解：(解法1)设x，据题意有，根据矩阵乘法法则有解得所以x.(解法2)因为mxn，所以xm1n，m1.所以xm1n.3. 已知矩阵m，其中ar，若点p(1，2)在矩阵m的变换下得到点p(4，0)，求实数a的值；并求矩阵m的特征值及其对应的特征向量解：由， 22a4a3. m，则矩阵m的特征多项式为f()(2)(1)6234 令f()0，得矩阵m的特征值为1与4. 当1时， xy0， 矩阵m的属于特征值1的一个特征向量为； 当4时， 2x3y0， 矩阵m的属于特征值4的一个特征向量为.4. 设矩阵m(其中a0，b0)(1) 若a2，b3，求矩阵m的逆矩阵m1；(2) 若曲线c：x2y21在矩阵m所对应的线性变换作用下得到曲线c：y21，求a、b的值解：(1) 设矩阵m的逆矩阵m1，则mn1.又m，所以，所以2x11，2y10，3x20，3y21，即x1，y10，x20，y2，故所求的逆矩阵m1.(2) 设曲线c上任意一点p(x，y)，它在矩阵m所对应的线性变换作用下得到p(x，y)，则，即又点p(x，y)在曲线c上，所以y21，则b2y21为曲线c的方程又已知曲线c的方程为x2y21，故又a0，b0，所以1. 矩阵的逆矩阵(1) 已知a、b、c为二阶矩阵，且abac，若矩阵a存在逆矩阵，则bc.(2) 对于二阶可逆矩阵a(adbc0)，它的逆矩阵为a1.2. 二阶行列式与方程组的解对于关于x、y的