甘肃省天水市秦安二中高考数学二模试卷 理（含解析）.docVIP

甘肃省天水市秦安二中2015届 高考数学二模试卷（理科）一、选择题（512=60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2b铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号）1已知集合m=1，0，1，n=x|x=2a，am，则集合mn=( )a0b0，2c2，0，2d0，22复数z为纯虚数，若（3i）z=a+i （i为虚数单位），则实数a的值为( )ab3c3d3设双曲线=1（a0，b0）的渐近线方程为y=x，则该双曲线的离心率为( )ab2cd4如图所示的程序框图，若输入的x值为0，则输出的y值为( )ab0c1d或05已知条件p：|x+1|2，条件q：xa，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是( )aa1ba1ca1da36已知实数x，y满足，则z=2x+y的最大值为( )a2b1c0d47双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线被圆m：（x8）2+y2=25截得的弦长为6，则双曲线的离心率为( )a2bc4d8已知函数f（x）=ex+x，g（x）=lnx+x，h（x）=x的零点依次为a，b，c，则( )acbababcccabdbac9已知实数x，y满足约束条件，若ykx3恒成立，则实数k的数值范围是( )abc（，0上的值域为，则实数a的取值范围是( )a（0，1bcd二、填空题（45=20分，把答案填在答题纸的相应位置上）13已知，则向量与向量的夹角是_14若函数，在区间上是单调减函数，且函数值从1减少到1，则=_15抛物线y2=4x的焦点为f，点p为抛物线上的动点，若a（1，0），则的最小值为_16已知数列an=n2sin，则a1+a2+a3+a100=_三、解答题（本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上）17已知an的各项均为正数的数列，其前n项和为sn，若2sn=an2+an（n1），且a1、a3、a7成等比数列（1）求an的通项公式；（2）令bn=2，数列bn的前n项和为tn，证明：tn+4=2b18现有一个寻宝游戏，规则如下：在起点p处有a、b、c三条封闭的单向线路，走完这三条线路所花费的时间分别为10分钟、20分钟、30分钟，游戏主办方将宝物放置在b线路上（参赛方并不知晓），开始寻宝时参赛方在起点处随机选择路线顺序，若没有寻到宝物，重新回到起点后，再从没有走过的线路中随机选择路线继续寻宝，直到寻到宝物并将其带回至p处，期间所花费的时间记为x（1）求x30分钟的概率；（2）求x的分布列及ex的值19如图所示，在菱形abcd中，对角线ac，bd交于e点，f，g分别为ad，bc的中点，ab=2，dab=60，沿对角线bd将abd折起，使得ac=（1）求证：平面abd平面bcd；（2）求二面角fdgc的余弦值20在平面直角坐标系xoy中，f1、f2分别为椭圆c：=1（ab0）的左、右焦点，b为短轴的一个端点，e是椭圆c上的一点，满足oe=of1+，且ef1f2的周长为2（+1）（1）求椭圆c的方程；（2）设点m是线段of2上的一点，过点f2且与x轴不垂直的直线l交椭圆c于p、q两点，若mpq是以m为顶点的等腰三角形，求点m到直线l距离的取值范围21设函数f（x）=aex（x+1）（其中e=2.71828），g（x）=x2+bx+2，已知它们在x=0处有相同的切线（）求函数f（x），g（x）的解析式；（）求函数f（x）在（t3）上的最小值；（）若对x2，kf（x）g（x）恒成立，求实数k的取值范围请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分作答时用2b铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑选修4-1：几何证明选讲22如图，cf是abc边ab上的高，fpbc，fqac（1）证明：a、b、p、q四点共圆；（2）若cq=4，aq=1，pf=，求cb的长选修4-4：坐标系与参数方程23已知直线l的参数方程为，（t为参数），以坐标原点o为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆c的极坐标方程为=4cos（）（1）求直线l的参数方程化为普通方程，将圆c的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求圆c上的点到直线l距离的取值范围选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|x+2|2x2|（1）解不等式f（x）2；（2）设g（x）=xa，对任意x2复数z为纯虚数，若（3i）z=a+i （i为虚数单位），则实数a的值为( )ab3c3d考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部等于0且虚部不等于0求解a的值解答：解：（3i）z=a+i，又z为纯虚数，解得：a=故选：d点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题3设双曲线=1（a0，b0）的渐近线方程为y=x，则该双曲线的离心率为( )ab2cd考点：双曲线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：根据双曲线的渐近线方程即可得到，所以两边平方得到，再根据c2=a2+b2即可求出，也就求出该双曲线的离心率为解答：解：由已知条件知：；故选c点评：考查双曲线的标准方程，双曲线的渐近线方程的表示，以及c2=a2+b2及离心率的概念与求法4如图所示的程序框图，若输入的x值为0，则输出的y值为( )ab0c1d或0考点：程序框图 专题：算法和程序框图分析：模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序输出的是什么解答：解：根据题意，模拟程序框图的运行过程，如下；输入x=0，x1？，否；x1？，是；y=x=0，输出y=0，结束故选：b点评：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论5已知条件p：|x+1|2，条件q：xa，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是( )aa1ba1ca1da3考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：根据充分条件和必要条件的定义，转化为对应的不等式关系进行求解即可解答：解：由|x+1|2得3x1，即p：3x1，若p是q的充分不必要条件，则a1，故选：a点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础6已知实数x，y满足，则z=2x+y的最大值为( )a2b1c0d4考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：先画出满足条件的平面区域，将z=2x+y转化为：y=2x+z，由图象得：y=2x+z过（1，2）时，z最大，代入求出即可解答：解：画出满足条件的平面区域，如图示：，将z=2x+y转化为：y=2x+z，由图象得：y=2x+z过（1，2）时，z最大，z最大值=4，故选：d点评：本题考查了简单的线性规划问题，考查了数形结合思想，是一道基础题7双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线被圆m：（x8）2+y2=25截得的弦长为6，则双曲线的离心率为( )a2bc4d考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：求出双曲线的一条渐近线方程，利用渐近线被圆m：（x8）2+y2=25截得的弦长为6，可得=4，即可求出双曲线的离心率解答：解：双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线方程为bx+ay=0，渐近线被圆m：（x8）2+y2=25截得的弦长为6，=4，a2=3b2，c2=4b2，e=故选：d点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时要注意公式的合理运用8已知函数f（x）=ex+x，g（x）=lnx+x，h（x）=x的零点依次为a，b，c，则( )acbababcccabdbac考点：函数零点的判定定理 专题：函数的性质及应用分析：分别由f（x）=0，g（x）=0，h（x）=0，利用图象得到零点a，b，c的取值范围，然后判断大小即可解答：解：由f（x）=0得ex=x，由g（x）=0得lnx=x由h（x）=0得x=1，即c=1在坐标系中，分别作出函数y=ex ，y=x，y=lnx的图象，由图象可知a0，0b1，所以abc故选：b点评：本题主要考查函数零点的应用，利用数形结合是解决本题的关键9已知实数x，y满足约束条件，若ykx3恒成立，则实数k的数值范围是( )abc（，0上的值域为，则实数a的取值范围是( )a（0，1bcd考点：程序框图 专题：函数的性质及应用；算法和程序框图分析：算法的功能是求f（x）=的值，分类求解f（x）在上的值域为时，实数a满足的条件，从而可得a的取值范围解答：解：由程序框图知：算法的功能是求f（x）=的值，当a0时，y=log2（1x）+1在上为减函数， f（1）=2，f（a）=01a=，a=，不符合题意；当a0时，f（x）=3x23x1或x1，函数在上单调递减，又f（1）=0，a1；又函数在上单调递增，f（a）=a33a+22a故实数a的取值范围是故选：b点评：本题考查了选择结构的程序框图，考查了导数的应用及分段函数值域的求法，综合性强，体现了分类讨论思想，解题的关键是利用导数法求函数在不定区间上的最值二、填空题（45=20分，把答案填在答题纸的相应位置上）13已知，则向量与向量的夹角是考点：数量积表示两个向量的夹角 专题：计算题；压轴题分析：据题意可得，=进一步利用向量夹角的范围求出夹角解答：解：设的夹角为则即，=故答案为：点评：解决向量的夹角问题，一般利用向量的数量积公式进行解决但要注意向量夹角的范围14若函数，在区间上是单调减函数，且函数值从1减少到1，则=考点：正弦函数的单调性 专题：计算题分析：由题意可得，函数的周期为 2（）=，求出=2再由sin（2+）=1， 可得 =，从而得到函数的解析式，从而求得的值解答：解：由题意可得，函数的周期为 2（）=，即=，=2，f（x）=sin（2x+）再由sin（2+）=1， 可得 =，f（x）=sin（2x+），=sin（+）=cos=，故答案为 点评：本题主要考查由y=asin（x+ ）的部分图象求函数的解析式，属于中档题15抛物线y2=4x的焦点为f，点p为抛物线上的动点，若a（1，0），则的最小值为考点：抛物线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：过点p作pm垂直于准线，m为垂足，则由抛物线的定义可得|pf|=|pm|，则=sinpam，故当pa和抛物线相切时，最小再利用直线的斜率公式、导数的几何意义求得切点的坐标，从而求得的最小值解答：解：由题意可得，焦点f（1，0），准线方程为x=1过点p作pm垂直于准线，m为垂足，则由抛物线的定义可得|pf|=|pm|，则=sinpam，pam 为锐角故当pam 最小时，最小，故当pa和抛物线相切时，最小设切点p（a，2），则pa的斜率为=（2）=，求得a=1，可得p（1，2），|pm|=2|pa|=2 sinpam=，故答案为：点评：本题主要考查抛物线的定义、性质的简单应用，直线的斜率公式、导数的几何意义，属于中档题16已知数列an=n2sin，则a1+a2+a3+a100=5000考点：数列的求和 专题：等差数列与等比数列分析：由已知得an=，kn，由此能求出a1+a2+a3+a100解答：解：an=n2sin，kn，an=，kn，a1+a2+a3+a100=132+5272+92112+972992=2（1+3+5+7+9+11+97+99）=2=5000故答案为：5000点评：本题考查数列的前100项和的求法，是中档题，解题时要注意三角函数的周期性的合理运用三、解答题（本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上）17已知an的各项均为正数的数列，其前n项和为sn，若2sn=an2+an（n1），且a1、a3、a7成等比数列（1）求an的通项公式；（2）令bn=2，数列bn的前n项和为tn，证明：tn+4=2b考点：数列的求和；等比数列的性质 专题：等差数列与等比数列分析：（1）利用公式an=snsn1（n2）两式作差求得结论；（2）由（1）数列bn是等比数列，由等比数列的前n项和公式求得tn，即可得证解答：解：（）2sn=an2+an（n1），n2时，2sn1=an12+an1，两式相减，得2an=+anan1，整理，得（an+an1）（anan11）=0，an+an10，anan1=1，又2s1=+a1，即a1=0，解得：a1=1，an是以1为首项，1为公差的等差数列 又a1、a3、a7成等比数列=a1a7，即=a1（a1+6），解得a1=2，an=2+（n1）1=n+1（2）证明：由（1）得bn=2n+1，tn=22+23+2n+1=2n+24，tn+4=2n+2=2bn点评：本题主要考查利用公式法求通项公式的方法及等比数列的前n项和公式，考查方程思想的运用能力及运算求解能力，属中档题18现有一个寻宝游戏，规则如下：在起点p处有a、b、c三条封闭的单向线路，走完这三条线路所花费的时间分别为10分钟、20分钟、30分钟，游戏主办方将宝物放置在b线路上（参赛方并不知晓），开始寻宝时参赛方在起点处随机选择路线顺序，若没有寻到宝物，重新回到起点后，再从没有走过的线路中随机选择路线继续寻宝，直到寻到宝物并将其带回至p处，期间所花费的时间记为x（1）求x30分钟的概率；（2）求x的分布列及ex的值考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式 专题：概率与统计分析：（1）利用互斥事件概率加法公式能求出x30分钟的概率（2）由题意知x的所有可能取值为20，30，50，60，分别求出相应的概率，由此能求出x的分布列及ex的值解答：解：（1）x30分钟的概率：p（x30）=p（b）+p（ab）=（2）由题意知x的所有可能取值为20，30，50，60，p（x=20）=p（b）=，p（x=30）=p（ab）=，p（x=50）=p（cb）=，p（x=60）=p（abc）+p（cab）=，x的分布列为： x 20 30 50 60 pex=20+30+50+60=40（分）点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，是中档题19如图所示，在菱形abcd中，对角线ac，bd交于e点，f，g分别为ad，bc的中点，ab=2，dab=60，沿对角线bd将abd折起，使得ac=（1）求证：平面abd平面bcd；（2）求二面角fdgc的余弦值考点：与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定 专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角分析：（1）证明ae平面bcd，即可证明平面abd平面bcd；（2）建立以e为原点，ec为x轴，ed为y轴，ea为z轴的空间直角坐标系exyz，求出平面cdg的法向量、平面fdg的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角fdgc的余弦值解答：（1）证明；在菱形abcd中，ab=2，dab=60，abd，cbd为等边三角形，e是bd的中点，aebd，ae=ce=，ac=，ae2+ce2=ac2，aeec，ae平面bcd，又ae平面abd，平面abd平面bcd；（2）解：由（1）可知建立以e为原点，ec为x轴，ed为y轴，ea为z轴的空间直角坐标系exyz，则d（0，1，0），c（，0，0），f（0，）g（，1，），平面cdg的一个法向量=（0，0，1），设平面fdg的法向量=（x，y，z），=（0，），=（，1，），即，令z=1，得x=3，y=，故平面fdg的一个法向量=（3，1），cos=，二面角fdgc的余弦值为点评：本题考查平面垂直，考查平面与平面所成的角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题20在平面直角坐标系xoy中，f1、f2分别为椭圆c：=1（ab0）的左、右焦点，b为短轴的一个端点，e是椭圆c上的一点，满足oe=of1+，且ef1f2的周长为2（+1）（1）求椭圆c的方程；（2）设点m是线段of2上的一点，过点f2且与x轴不垂直的直线l交椭圆c于p、q两点，若mpq是以m为顶点的等腰三角形，求点m到直线l距离的取值范围考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（1）由已知f1（xc，0），设b（0，b），则e（c，），2a+2c=2+2，由此能求出椭圆c的方程（2）设点m（m，0），（0m1），直线l的方程为y=k（x1），k0，由，得：（1+2k2）x24k2x+2k22=0，由此利用韦达定理、中点坐标公式、点到直线的距离公式，结合已知条件能求出点m到直线距离的取值范围解答：（本小题满分12分）解：（1）由已知f1（xc，0），设b（0，b），即=（c，0），=（0，b），=（c，），即e（c，），得，又pf1f2的周长为2（），2a+2c=2+2，又得：c=1，a=，b=1，所求椭圆c的方程为：=1（2）设点m（m，0），（0m1），直线l的方程为y=k（x1），k0，由，消去y，得：（1+2k2）x24k2x+2k22=0，设p（x1，y1），q（x2，y2），pq中点为n（x0，y0），则，y1+y2=k（x1+x22）=，=，即n（），mpq是以m为顶点的等腰三角形，mnpq，即=1，m=（0，），设点m到直线l：kxyk=0距离为d，则d2=，d（0，），即点m到直线距离的取值范围是（0，）点评：本题考查椭圆方程的求法，考查点到直线的距离的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意韦达定理、中点坐标公式、点到直线的距离公式的合理运用21设函数f（x）=aex（x+1）（其中e=2.71828），g（x）=x2+bx+2，已知它们在x=0处有相同的切线（）求函数f（x），g（x）的解析式；（）求函数f（x）在（t3）上的最小值；（）若对x2，kf（x）g（x）恒成立，求实数k的取值范围考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性 专题：综合题分析：（）求导函数，利用两函数在x=0处有相同的切线，可得2a=b，f（0）=a=g（0）=2，即可求函数f（x），g（x）的解析式；（）求导函数，确定函数的单调性，再分类讨论，即可求出函数f（x）在（t3）上的最小值；（）令f（x）=kf（x）g（x）=2kex（x+1）x24x2，对x2，kf（x）g（x）恒成立，可得当x2，f（x）min0，即可求实数k的取值范围解答：解：（） f（x）=aex（x+2），g（x）=2x+b由题意，两函数在x=0处有相同的切线f（0）=2a，g（0）=b，2a=b，f（0）=a=g（0）=2，a=2，b=4，f（x）=2ex（x+1），g（x）=x2+4x+2（） f（x）=2ex（x+2），由f（x）0得x2，由f（x）0得x2，f（x）在（2，+）单调递增，在（，2）单调递减t3，t+12当3t2时，f（x）在单调递减，单调递增，当t2时，f（x）在单调递增，；（）令f（x）=kf（x）g（x）=2kex（x+1）x24x2，由题意当x2，f（x）min0x2，kf（x）g（x）恒成立，f（0）=2k20，k1f（x）=2kex（x+1）+2kex2x4=2（x+2）（kex1），x2，由f（x）0得，；由f（x）0得f（x）在单调递减，在单调递增当，即ke2时，f（x）在点评：本题考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分作答时用2b铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑选修4-1：几何证明选讲22如图，cf是abc边ab上的高，fpbc，fqac（1）证明：a、b、p、q四点共圆；（2）若cq=4，aq=1，pf=，求cb的长考点：与圆有关的比例线段 专题：立体几何分析：（1）证明qcf=qpf，利用同角的余角相等，可得a=cpq，从而可得：四点a、b、p、q共圆；（2）根据根据射影定理可得：在rtcfa中，cf2=cqca，进而可求出cf长，利用勾股定理，解rtcfp，可求出cp，再在rtcfb中使用射影定理，可得答案解答：证明：（1）连接qp，由已知c、p、f、q四点共圆，qcf=qpf，a+qcf=cpq+qpf=90，a=cpq，四点a、b、p、q共圆解：（2）cq=4，aq=1，pf=，根据射影定理可得：在rtcfa中，cf2=cqca=4（4+1）=20，在rtcfp中，cp=，在rtcfb中，cf2=cpcb，cb=6点评：本题考查的知识点是圆