（基础数学专业论文）两类非线性波动方程的势井族及应用.pdf

西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 摘要 本文讨论如下非线性梁方程的初边值问题 iu a 2 u u i u i p 一1 uz q t 0 乱 z t 0 z 0 f l 0 1 l u z 0 咖 z u t x 0 u l x z q i 毗t a u a l u l p 1 牡一b l u l 口 1 u 0z q t 0 u x t 0z a q t 0 i 让 z 0 u o z u t x 0 缸1 z z q 0 2 本文运用一种新方法 引入一族势井 其中以经典势井为其特例 不仅得 到了问题 o 1 和问题 0 2 的整体解的存在唯一性的一系列门槛结果 还研 究了问题 0 1 的解的真空孤立现象和解的爆破性质 改进了已有的结果 本 文安排如下 绪论中介绍两类方程的研究背景 研究现状以及本文所采用的研究方法 和得到的主要结论 第二章建立势井族的一些性质 并结合g a l e r k i n 方法证明问题 0 1 整 体解的存在性定理 利用微分中值定理和g r o n w a l l 不等式进一步证明所得的 整体解是唯一的 第三章利用势井族性质来讨论问题 0 1 整体解的真空孤立现象 第四章通过构造不稳定集 利用凸性分析研究问题 0 1 解的爆破 在第五章中 利用类似于第二章的理论方法研究了问题 o 2 整体解的存 在性和唯一性 关键词 非线性波动方程 势井 整体解 真空孤立 爆破 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 i 页 ab s t r a c t i nt h i sp a p e r w es t u d yt h ei n i t i a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo fn o n l i n e a r b e a me q u a t i o n sa n dt h ew a v ee q u a t i o n sw i t ht w on o n l i n e a rs o u r c et e r m so f d i f f e r e n ts i g n s a n d t 0 iu t t a u o l 让i p 一1 t 正一b l u l q 一1 u 0z q t 0 u x t 0 z a q t 0 i u z 0 u o x 地 z 0 u l x z q 0 1 0 2 b yu s i n gan e wm e t h o d w ei n t r o d u c eaf a m i l yo fp o t e n t i a lw e l l sw h i c h i n c l u d et h ew e l l k n o w np o t e n t i a lw e l la sas p e c i a lc a s e n o to n l yg i v eat h r e s h o l d r e s u l to fg l o b a lu n i q u ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n so fp r o b l e m o 1 a n d o 2 b u ta l s o o b t a i nt h eb e h a v i o ro fv 8 c u u i ni s o l a t i n ga n db l o w u po fs o l u t i o n so fp r o b l e m 0 1 t h e nt h ek n o w nr e s u l t sa r ei m p r o v e dv e r ym u c h o u rm a i nw o r ki s s t a t e da sf o l l o w s i nc h a p t e rl f i r s t l y t h eb a c k g r o u n d c u r r e n ta d v a n c e m e n ta n dr e s e a r c h m e t h o d sf o rt w oc l a s s e so fw a v ee q u a t i o n sa r ei n t r o d u c e dr e s p e c t i v e l y t h e n s o m ei m p o r t a n tr e s u l t sc o n c e r n e da r ep r e s e n t e d i nc h a p t e r2 f i r s t l y t h ep r o p e r t i e so ft h ef a m i l yo fp o t e n t i a lw e l l sa r e e s t a b l i s h e d t h e n u s i n gt h e s ep r o p e r t i e sa n dt h eg a l e r k i nm e t h o dw ep r o v e t h et h e o r e mo fg l o b ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n so fp r o b l e m 0 1 f u r t h e r m o r e t h e u n i q u e n e s so ft h eg l o b es o l u t i o n si sp r o v e db ya d o p t i n gt h el a g r a n g em e a n v a l u et h e o r e ma n dt h eg r o n w a l li n e q u a l i t y 姒等惭川 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 i i 页 c h a p t e r3i sc o n c e r n e dw i t ht h eb e h a v i o ro fv a c u u mi s o l a t i n go fs o l u t i o n s o fp r o b l e m 0 1 b yu s eo ft h ep r o p e r t i e so ft h ef a m i l yo fp o t e n t i a lw e l l s i nc h a p t e r4 b yc o n s t r u c t i n gu n s t a b l es e ta n du s et h ec o n v e x i wm e t h o d t h ep r o p e r t i e so fb l o w u po ft h e 酉o b es o l u t i o n so fp r o b l e m o 1 a r ei n v e s t i g a t e d i nc h a p t e r5 t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fg l o b es o l u t i o n so fp r o b l e m 0 2 a r ep r o p o s e db ya d o p t i n gt h es a m em e t h o da st h a ti nc h a p t e r2 k e yw o r d s n o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n s p o t e n t i a lw e l l s g l o b a ls o l u t i o n s v a c u u mi s o l a t i n g b l o wu p 西南交通大学曲南父逋大字 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留 使用学位论文的规定 同意学 校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版 允许论文被查 阅和借阅 本人授权西南交通大学可以将本论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索 可以采用影印 缩印或扫描等复印手段保存和汇编本学位 论文 本学位论文属于 1 保密口 在 年解密后适用本授权书 2 不保密一 使用本授权书 请在以上方框内打 学位论文作者签名 y 弧吩 日期 加 譬 弓 指导老师签名 才骱 日期 吲 砂 西南交通大学学位论文创新性声明 本人郑重声明 所呈交的学位论文 是在导师指导下独立进行研究工作 所得的成果 除文中已经注明引用的内容外 本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果 对本文的研究做出贡献的个人和集体 均已在文中作了明确的说明 本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担 本学位论文的主要创新点如下 1 借助一个参数6 引入一族势井 从而得到梁方程的一系列门槛结 果 推广和延伸了已有的结论 并且还得到了该方程解的真空孤立现象 2 将势井新方法运用到具有两个异号非线性源项的波动方程 补充了当 p 0 u x t 0 z a q t 0 i u z 0 z 地 z 0 u l x z q 1 2 其中qcr n 是边界光滑的有界域 记通常的l a p l a c e 算子 2 是双调和 算子 问题 1 1 中p 满足条件 凰 当1 n 4 时 1 p 0 0 当几 5 时 1 0 b 0 为常数 p q 满足条件 日 当n 1 2 时 1 p q o o 当n 3 时 1 p 口 三 方程 1 1 从物理和工程的观点来看 它是描述梁或板振动的很好的 模型 见 1 1 1 2 关于这个方程的c a u c h y 问题的一般理论 如在日2 r n x l 2 r n 中解的局部存在性定理以及非线性项是互斥项 一l u i p 1 t 时解的整 u 件o 矾卜归 幻 扩扛p n 吼 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 页 体存在性定理已由l e v a n d o s k y 在文 7 和 8 中建立 关于问题 1 1 的低 能量散射或更高阶的波动方程的结论也相应有l e v a n d o s k y 和苗在 7 和 9 中 得到 最近 l e v a n d o s k y 和s t r a u s s 6 苗 1 0 利用m o r a w e t z 在上世纪6 0 年代提出的乘子方法研究了非线性梁方程的解关于时间t 的衰减性 l i n 在 2 4 中利用m o r a w e t z 等式的球对称情形证明了局部能量关于时间t 的可积性 和解的l 2 范数的局部时间衰减 b u r i a l 和m e n z a l af 1 2 考虑了如下的非线性 发展方程 毗t 2 缸一m i v u l 2 d x a u 0 1 3 r n 其中项m f a l v u l 2 d x a u 是众所周知的t i m o s h e k o 项 他们在空间维数 n 6 时证明了在h 1 p 中的强解当t o o 时 解趋于0 在本文我们将考查初始条件和非线性项满足何条件时 方程组 1 1 的解 整体存在 通过引入一族势井 其中以经典的势井作为其特例 我们建立 了一系列门槛的结果 还证明了对于任意给定的e 0 d d 是经典势井的深 度 当初始条件满足0 e 0 e 时 问题 1 1 在空间瑶 q 中的解要么 存在于某一小球内 要么在某一大球外 即非线性梁方程的初边值问题的解 存在真空孤立现象 最后 我们利用构造的不稳定集讨论问题 1 1 的解的爆 破 方程 1 2 用以描述具有两个性质相异的源作用下的物理系统 半线性波 动方程是一类基本而重要的数学物理模型方程 关于半线性波动方程的研究 已经有不少结果 但在这些工作中所研究的主要是下面两个模型方程 u t t a u l u l l u 1 4 与 饥t a u i u l p l u 1 5 比如 在文 2 6 2 9 中所研究的方程为 1 4 而在 3 0 3 4 中所研究的波 动方程的非线性项与方程 1 5 相同或是其推广 注意到在方程 1 4 中 非 线性源项为一l u l 一1 u 它的符号与u 相反 而在方程 1 5 中 非线性源项为 i u l p 一1 缸 其符号与u 相同 但在由两种异号电荷形成的电场中 任何电荷都 要受到两个异号电场源的力 所以 在这种情况下 就要考虑具有两个异号 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 页 源项的波动方程 在文献 3 5 中 刘研究了1 口 p o o n 1 2 1 q p n 3 时问题 1 2 的整体强解的存在性和唯一性 最近 徐和刘又在 文 3 6 中在满足与文 3 5 中相同的条件下得到了该问题整体弱解的存在性 一方面揭示了这类系统的可解性 另一方面为数值求解本系统提供可能 本 文利用势井理论 引入一族势井 结合紧致性方法证明了p 与q 满足条件 日 初值属于稳定集 初始能量为正且具有适当上界时 问题 1 2 存在 q 0 o o 上的整体解 并且这个解是唯一的 推广和补充了已有的结果 在本论文的证明过程中 势井理论起着至关重要的作用 它是由s a t t i n g e r 2 5 1 在证明若能量不是正定时 阶非线性双曲型方程整体解的存在性 时引入的 随后在非线性抛物型方程和非线性波动方程中得到广泛的应用 许多作者利用此理论研究不同的非线性发展方程的初边值问题整体解的适定 性和破裂 他们使用的势井与s a t t i n g e r 引入的势井是一样的 同时得到的结 论也是类似的 见f 1 3 2 3 2 5 1 本文运用一种新方法 借助一个参数6 引入 一族势井 及其深度d 5 的定义 并具体算出了经典势井 的深度d 这 样就很好地解决了势井方法应用中的一个难点 从而进一步得到所讨论问题 的一系列门槛结果 本文的方法也可以应用到其他的一些非线性发展方程 本文在证明整体解的存在性时利用了g a l e r k i n 方法 它是证明非线性发 展方程整体解存在的常用方法 它的实质在于用有限维空间上的常微分方程 组代替无限维空间上的变分方程 通常是构造一个适当的基本空间和其中一 组标准正交基来得到近似解序列 对近似解作各种估计 在相应空间上取弱 收敛极限 最后证明在适当意义下满足方程和初边值条件 本文的结构和主要结论如下 在第二章建立势井族的一些性质 并结 合g a l e r k i n 方法证明问题 1 1 整体解的存在性定理 利用微分中值定理和 g r o n w a l l 不等式进一步证明所得的整体解是唯一的 主要定理如下 定理2 2 1 整体解存在性 设p 满足 h o 咖 z 瑶 q u 1 z l 2 q 0 e o d 6 1 0 或i i 乱o l l 2 2 0 则f l 题 1 1 存在整体解u l o c o h g q 珏t 三 o o o l 2 q 且牡 亡 6 6 l 以 0 t o 西南交通大学硕士研究生学位论文第4 页 定理2 3 1 唯一性 设1 p n 5 p 0 0 l n 4 u o 吼 u l l 2 q 0 e o d 则问题 1 1 的整体解是唯一的 在第三章 利用前面的势井族性质来讨论问题 1 1 整体解的真空孤立现 象 主要定理如下 定理3 2 3 真空孤立 设p 满足 h o u o x 瑶 q u l x l 2 q 0 e d 6 l 如是方程d 6 e o 的两根 6 5 1 如 1 若u o x b 6 0 则问题 1 1 的具0 e o e 的解u 亡 石 2 若u o x 魄 则问题 1 1 的具0 e o e 的解u t 砺 第四章通过构造的不稳定集 利用凸性分析研究问题 1 1 解的爆破 主 要定理如下 定理4 2 1 爆破 设i u 0 u l l 2 q e o d 让为问题 1 1 的 局部解 则存在有限常数t 使得当t t 一时 l 牡1 2 一0 0 即解在有限时刻 发生爆破 第五章利用类似于第二章的理论方法研究了问题 1 2 整体解的存在性和 唯一性 主要定理如下 定理5 2 1 整体解存在性 设p q 满足 h u o x 硪 q u 1 z l 2 q 0 e o d 6 l 0 或i v u o i 0 则问题 1 2 存在整体解u 亡 l o o o 础 q 饥 亡 厶 o o o l 2 q 且t 正 亡 w s 6 6 1 如 0 t 0 u 0 更进一步 对6 o 1 1 定义 以 u 三i l u l l 2 而1 i u i p p l d 6 生 轰茹6 南 其中c 为瑶嵌入到矿1 的最佳嵌入系数 现在 我们定义势井族和相应的集合如下 名 t 正 月吾 q l 以 t 0 g u d 6 t 2 o b 6 u 瑶 q ii l u l l 2 2 崭6 击 下面给出势井族的深度d 6 的性质 相关证明参见文献f 2 2 1 引理2 1 1 设6 0 1 1 则d 6 有如下性质 1 d o d 1 0 2 当如 歹各时 d 6 取最大值d 西南交通大学硕士研究生学位论文第6 页 3 在 0 酬 d 5 单调递增 在 1 j d j 单调递减 4 v e 0 d 方程d 5 e 匣y g i t r 5 1 0 品 如 如 1 注 显然有眠 w 即经典势井为势井族的特例 引理2 1 2 设u 瑶 q i l u l l s 2 0 则当以 u 0 时 有d 5 篙n j u m u l l 2 0 证明 若i l u l l z 2 o 如 u o 则j 牡 i l 让旧 2 如 u 下1 5 2 学制i 2 i u p p l 1 i i 札i i g 三1 i i 眶2 可得 l i u l 笨1 轰等6 这表明 j u d 引理2 1 3 若对某个0 j u d 5 l 0 知0 u1 1 2 2 0 若j 6 变号 由连续性知 存在5 5 1 如 使得以 u 0 由引理 2 1 1 及引理2 1 2 有j u d 5 d 5 1 d 5 2 与题设矛盾 2 2 整体解的存在性定理及证明 下面给出本章的主要结果一问题 1 1 整体解的存在性定理 定理2 2 1 设p 满足 凰 u o x 瑶 q u l z l 2 q 0 e o d 6 1 0 或l i 仳0 1 1 2 0 则问 题 1 1 存在整体解u t l o o o h o q 饥 t l o o o l 2 q 且 让 亡 6 6 1 如 0 t 0 知i i 0 1 1 2 2 0 于是有以 呦 0 故让o z 耽 6 6 1 如 由连续性知 w 万1 如 当m 充分大时有 以 o 0 且 0 d a 若l l u o l l 2 2 0 显然咖 可设 o o 1 1 2 2 0 综上知 当m 充分大时t m 0 下面证明 孟 w 6 t 0 若不然 存在t o 0 使得 幻 0 w 6 即 以 u 仇 0 且i i u m t o 1 1 2 2 0 2 4 或 j u m t o d 6 2 5 西南交通大学硕士研究生学位论文第8 页 由 j u m t 0 d z 2 6 知 2 5 不成立 故以 亡o 0 且i i u m t o 1 1 2 2 0 由引理2 1 2 得j u m t 0 d 5 这与 2 6 矛盾 所以u m t w 6 t 0 由此 可得 龇 2 蒜6 者 u m t 芒 1 2 0 辛j s o 铷 0 于是有如下 定理2 2 2 设p 满足 1 t o 咖 z 瑶 q u l x l 2 q 0 e o d 西 0 或i i 咖1 1 2 2 0 则问 题 1 1 存在整体解u 亡 l o o o 瑶 q 毗 芒 l o o o l 2 q 且 u t w s 6 5 1 如 o t o o 下面我们再讨论方程整体解存在的其他几种情形 定理2 2 3设p u z t 0 1 及e o 如定理2 2 1 所述 6 1 如 是方程d 6 e 0 的两根 u o x 则问题 1 1 存在整体解 u 亡 l o o o 皤 q u t 亡 l o o o l 2 q 及仳 t 百i 且i u t t i 2 d 6 1 0 t o o 证明由定理2 2 1 的证明过程有j u o e o d 6 2 而 玩 让 瑶 q 1 2 2 0 或i i 咖1 1 2 2 0 西南交通大学硕士研究生学位论文第9 页 这说明满足了定理2 2 1 的条件 整体解存在 故由后面的定理3 2 2 知缸 亡 一w 6 由引理3 1 1 有u t 面 又由定理2 2 1 证明过程中的i u 仇t t 1 2 2 d 6 可得 m t i 俪 该定理说明若初值咖 z 属于如 则解u 舌 属于面 即解存在于初值 所在空间的子空间中 定理2 2 4设p 啦 z i 0 1 如定理2 2 1 所述 e 0 0 i i o l l 2 2 0 则问题 1 1 存在唯一整体解让 三0 证明 由l l u o l l 2 0 有j 咖 0 又 e o 弘11 2 三卅 j 咖 o 故有 u 1 0 这说明乱 亡 三0 满足方程组 1 1 是其解 唯一性由本文的定理3 2 4 可得 该定理说明当初始能量为o 初值的瑶 q 范数为 时 方程只有零解 即 没有非平凡解 2 3 整体解的唯一性 前面我们证明了问题 1 1 当初值和p 满足一定的条件时 整体解存在 在本节中 我们将利用微分中值定理和g r o n w a l l 不等式进一步证明当p 所满 足的条件适当加强时 上节所得的整体解是唯一的 定理2 3 1 设1 p 格 佗 5 p o 1 几 4 u o w i u 1 l 2 q 0 e 0 d 则问题 1 1 的整体解是唯一的 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 0 页 证明设u v 是方程的两个解 令w u v 则w 满足 w a 2 w t 叫 i 让i p 1 u l u i p 一1 1 3 w o 0 w t o 0 对 2 7 两边同时乘以w t 再在q 上关于z 积分得 f nw t t w t 出 z 2 叫姚出 上伽伽t 出 f i u r l u 一 又由微分中值定理有 f i u p 1 u i u l p l 移 w td x 2 7 2 8 i u i p 1 v w td z 2 9 p 上s u p i up 1 旷1 l 训训出 2 1 0 由h s l d e r 不等式可得 p s u p 1 u l p 一1 i u p 1 1 w l l w t id x c 1 l z l p 1 i 导 i i u i p 一1 l 罟 1 w c t l 口l 叫t 1 2 q oo 其中 一2 一1 i x 1 1 n g z 由定理假设及s o b o l e v 嵌入定理得 2 1 1 c i a u t l 1 i i x v t l 1 l a w t 1 2 1 w t 1 2 c i x w t 1 21 w t t 1 2 再由y o u n g 不等式 i z x w 洲加俐 三 1 叫1 2 川 结合 2 1 0 有 i 伽t i i 叫睦 i 叫i 1 cf i 叫t i l 叫睦 i 叫 d 亡 从而由g r o n w a l l 不等式知w 三0 这就证明了整体解的唯一性 血 毗 口 l p 秒 一 让 l p u 厂厶 l 2 2 叫 2 2 加 2 2 加 j d 一出1 2 p 甘b 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 1 页 第3 章 梁方程整体解的真空孤立现象 由前面的讨论 我们知道问题 1 1 存在整体解 事实上 这个整体解 不会存在于全空间瑶 q 而是存在于瑶 q 中某4 n 4 球内或某个较大球 外 中间部分是解的真空区域 它把解空间孤立开了 下面我们就利用势井 族性质来讨论这种现象 3 1 准备工作 对应于势井族 我们定义以下集合 k 让 月台 q i 以 让 0 j u 丽p l j p 习 蒜6 寿 证 若以 u o 则有 i i z o 由j u 幢2 山 u d 5 可得 一 字 2 郴 t 1 6 丽p l 妒j 另一方面 若0 1 1 u 1 1 2 2 2 p 1 1 则有 呲p l 俨 i i u 嘣 伊 i i 让i i 2 i i1 1 2 2 0 引理3 1 2 设荆 删 则以 u 丽p l 尸 证明若以 u 0 则有 掣j 2 l 泵p 两 l j p i 1 由于 m 孚 2 以 u 郴 下1 5 i 丽p 1 妒j 2 从而有 1 25 2 p 伊 1 v 1 尸2 帅 字 嘉6 南6 0 1 1 故以 u 0 由引理3 1 1 引理3 1 2 可得 引理3 1 3 设 玩 磷为如上定义 则有 c 玩 kc 磅 3 2 主要结果及证明 下面我们利用上节的引理来讨论问题 1 1 的真空孤立解这种重要现象 定理3 2 1设p 满足 h o 咖 z h g q u l x l 2 q 0 e d 5 1 0 或l l u o l l 2 2 0 时 问题 1 1 的具0 e o e 的解 u 亡 w 6 2 当i u o 0 时 问题 1 1 的具0 e o e 的解钍 证明 1 设t 为解u t 存在的最大时刻 由定理3 1 1 知咖 z w 6 下证乱 亡 w 6 0 t t 若不然 必存在t l 0 t 使得u h a 吼 即 j d u t 0 且j l u t 1 1 2 2 0 或 口 芒1 d 6 由能量等式 即 扣2 互1 2 扣l 2 币1 i u p l 扣 2 互1 川2 m 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 3 页 e o d 5 0 t t 知j u t 1 d 5 所以如 u t 0 亡 1 1 2 2 0 j u t 1 d 5 这与能量等式 3 1 矛盾 2 j 咖 0 即如 咖 0 由引理2 1 3 有j 6 牡o 0 又j u o e o d 5 所以u o x k 3 1 由引理2 1 2 有 6 6 l 5 5 下证u 亡 k 0 t t 若不然 必存在 2 0 t 使得u t 2 a 即 如 u 2 0 或j u t 2 d 5 由 3 1 知j u t 2 d 6 另一方面 可设亡 亡2 是以 u 亡 0 的最小时 刻 则当0 t 亡2 时 以 u 亡 揣 南 故i i 钍 亡2 恢2 麦去b 南 由引理2 1 2 有j u t 2 d 6 这与 3 1 矛 这个定理说明了当p u t z i 0 1 e 民 t 1 2 满足定理3 2 1 的条件 时 对任意给定的6 6 1 5 2 0 0 或i i 咖 2 0 时 问题 1 1 的具0 e 0 e 的解 u 亡 l 2 当j 咖 0 时 问题 1 1 的具0 0 中取6 6 1 得到以 u 0 同理可证 2 由定理3 2 2 及引理3 1 1 引理3 1 2 可得 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 4 页 定理3 2 3 设p z t 0 1 e 况 z 1 2 如定理3 2 1 所述 1 若咖 z 则问题 1 1 的具0 e o e 的解u 亡 面 2 若咖 z 魄 则问题 1 1 的具0 e o e 的解u t 砺 这个定理说明了当p 牡t z i 0 1 e 倪 t 1 2 满足定理3 2 1 的条件 时 对任意给定的6 6 l 如 0 e 0 e b 6 和蟛在问题 1 1 的流动下 是稳定的 定理3 2 3 的结果表明 任给e 0 d 0 e 0 e 问题 1 1 在 玩 u 瑶 q i 嘉巩 击 i l u i 2 2 中没有解 即所有的解被真空区域巩隔开了 这就是真空孤立解现象 并且 巩随着e 的减小而增大 当e 0 时得到最大真空域 u o 缸 瑶 q 10 2 2 蒜 南 若i i 仳o l l 2 2 0 则i l u l l 2 三0 否则 存在t 0 t 使得 o 1 1 u 1 1 2 2 蒜 击 这与 3 3 矛盾 同理 若1 1 u o l l 2 2 轰茹 南 有 3 3 成立 则问题 1 1 的 3 2 3 3 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 5 页 对于e 0 0 的情形 有如下的 定理3 2 5 设p 讹 z 0 0 1 如定理3 2 1 所述 则问题 1 1 的 e 0 一刊1 瞪 2 e 以乒丽 2 z 又l u l l c n 1i i u 幢2l i u i l 2 2 可得 3 5 成立 3 4 3 5 者 亟 饕 一一 矿一 州 吐 茚 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 6 页 第4 章梁方程解的爆破性质 本章将依据势井理论研究非线性发展方程解的爆破现象时所采用的方法 通过构造的不稳定集 利用凸性分析证明当初值咖 z 属于不稳定集k 时 问 题的解在有限时刻在l 2 q 范数意义下将发生爆破 结合第二章的结果 我们 就得到了问题 1 1 的整体解存在与否的关于初值的一个充分必要条件 即当 初值属于稳定集时 整体解存在 当初值属于不稳定集时 解在有限时刻发生 爆破 4 1 准备工作 在让明启竿的爆饭足理乙日 我1 门元采看一个弓i 埋 引理4 1 1 若 u o 则有d 三p 歹 万1 o u 幢2 证明 d i 蜮 s u pj a u 4 1 u h 0 n a o 7 州糊 狮臣2 一筹m p l 有 最t j r a u 入 2 i u i 升p l l 所以解方程击j 入u o 得 廿嘞2 他 i p 1 厂 j 2 又当a 1 o 时 委j 地 o 这里均假设u o 凯 始厂咐刹4 2 1 刊 旧 2 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 7 页 唧m 小数糌卜2 幢2 一南 糌 筹 糌一扣臣2 一寿糌i 啡 丢i l u 啦一两1 2 丢币p 1 z 所以结合 4 1 有 d 三p 而 1 2 4 2 爆破定理及证明 定理4 2 1 设i u 0 u 1 l 2 q e 0 3 l u t l 2 2 1 d e o 4 5 由d e o 得到庇 t 0 说明m t 是下凸函数 4 5 式在 0 司上积分 得 m t m 0 2 p 1 d e o 亡 4 6 4 6 式意味着存在t o 0 对耽 t o o o 有庇 亡 0 即对t t o m t 严 格单调递增 这说明对o l 0 而言 m 亡 一a 严格单调递减 再由 4 5 式及 h o l d e r 不等式有 舫 亡 肋 t 一学尬 矿 3 h 1 2 m 一p 3 z u u t t 出 2 0 义由于 m 一口 一a m a 1 庇 亡 m 一口 一亩 i j f 亡 m t 一 1 庇 亡 2 从而对0 f 竺 一1 巴 o 有 m 口 0 使得当t 一2 时 硐 m a 0 即m t o o 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 9 页 第5 章 具有异号非线性源项的波动方程整体解的 存在唯一性 在本章中 我们将类似于前面研究问题的方法 来证明问题 1 2 的整体 解的存在性 5 1 相关的势井族及其性质 对问题 1 2 的解引入相关的泛函 其定义如下 e o 别1 2 三i v 缸1 2 两a 懈p l 一而b 怫q l j u 三i v u l 2 一币b 怫q l j 让 i v u l 2 6 i u 瞵 更进一步 对6 0 1 定义 j 6 u 兰i v u 2 一而b i u 口 l q l d 6 三 差昔6 南 其中a 为明嵌入到三口 的最佳嵌入系数 至于经典势井的定义这里也和本文第二章第一节相同 现在 我们对问 题 1 2 定义势井族如下 慨 u 础 q i 以 u 0 j u d 班 引理5 1 3 设u 础 q 若对某个0 j u d 6 l 0 知i v u i 0 若j d u 变号 由连续性知 存在扩 6 l 如 使得以 u 0 由引理 5 1 1 及引理5 1 2 有j u d 6 d 6 1 d 如 与题设矛盾 5 2 整体解的存在定理及证明 在本节中我们将利用上节得到的势井族的性质再结合紧致性方法类似于 第2 2 节证明如下的整体解存在性定理 定理5 2 1设p q 满足 h 咖 z 明 q u 1 z l 2 q 0 e o d 6 l 0 或i v u o l 0 则 问题 1 2 存在整体解u 亡 l o o o o 硪 q 地 亡 l o o o l 2 q 且 u t w s 6 6 1 如 0 t 0 知i v u o i 0 于是有j d u o 0 故u o z 6 6 1 如 由连续性知 w j l 如 当m 充分大时有 以 u m o 0 且 o d 5 若i v u o i 0 显然u o x 可设 0 i 饥m 0 i 0 综上知 当m 充分大时 0 下面证明u m t t 0 若不然 存在t o 0 使得u 仇 t o a 即 如 u m 0 且i v o l 0 5 4 或 j u m 亡o d 6 5 5 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 2 页 由 j u m t o d 5 5 6 知 5 5 不成立 故j 6 0 且i v u m t o i 0 由引理5 1 2 得j u m t o d 5 这与 5 6 矛盾 所以u m 亡 w 6 t 0 由j d 5 以 0 可得 i v u t l 券6 击 1 2 0 乍令j a 咖 0 于是有如下 定理5 2 2 设p 满足 h u o x 础 q u l x el 2 q 0 e o d 6 1 0 或l v u o i 0 则问题 1 2 存在整体解u t l 0 c o h 1 q 毗 t l 0 o o l 2 q 且u t 6 6 1 如 0 t o o 5 3 整体解的唯一性 上一节我们证明了问题 1 2 当初值和p q 满足一定的条件时 整体解 存在 在本章中 我们将利用微分中值定理和g r o n w a l l 不等式进一步证明当 p q 满足适当的条件时 上节所得的整体解是唯一的 定理5 3 1设p q 满足条件 日 并且当 1 2 时 8 r 4 当 n 3 时8 n r 惫 则问题 1 2 的整体解是唯一的 证明设u v 是问题的两个解 令w u v 则w 满足 叫 一a w a 1 u l p 一1 t 一i 秽l p 一1 t 一b 1 u l 口一1 t 一i t i 口一1 t 0 w z 0 0 伽t z 0 0 w x t 0 z a qt 0 5 7 5 8 5 9 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 3 页 5 7 乘以妣 再在q 上关于z 积分得 去d i 训2 l v 奸 上口 1 u i u 旷1 旷6 i u i q i u 旷1 咖m 5 1 0 又由微分中值定理及h s l d e r 不等式有 三d i 训2 i v 伽1 2 2 上 一印h q u 一钞 1 p 1 6 9 i t q 牡一训p 1 伽毗出 ci i u q u v l p 一1 i u q u u i 一1 l i 叫i i 叫t i 其中0 q q 1 1 由m i n k o w s k i 不等式及s o b o l e v 嵌入定理得 壶 1 w 1 2 i v 加1 2 c w w l l w t i c 1 w 1 2 l 毗1 2 对t 在 0 明积分 由 5 8 可得 i 伽t 1 2 1 w 1 2 c 1 w t l 2 1 w 1 2 d x 从而由g r o n w a u 不等式可得 毗1 2 1 w 1 2 兰0 0 t t 故有w t v w 三0 w 三0 唯一性得证 关于问题 1 2 的解的真空孤立现象和爆破性质可以用完全类似于第三章 和第四章的方法理论去研究 这里就不重复这个工作了 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 4 页 结论 具有非线性阻尼源项和高阶的非线性波动方程是近年来非线性发展方程 研究领域内的热点问题 本文利用势井理论研究了一类非线性梁方程和一类 具有两个异号非线性源项的波动方程的初边值问题 势井理论是由s a t t i n g e r 在证明若能量不是正定时二阶非线性双曲型方程整体解的存在性时引入的 随后在非线性抛物型方程和非线性波动方程中得到广泛的应用 许多作者利 用此理论研究不同的非线性发展方程的初边值问题整体解的适定性和破裂 他们使用的势井与s a t t i n g e r 引入的势井是一样的 同时得到的结论也是类似 的 本文运用一种新方法 借助一个参数6 引入一族势井 及其深度d 6 的定义 并利用这个定义具体算出了经典势井w 的深度d 这样就很好地解 决了势井方法应用中的一个难点 即确定势井深度d 的值 从而进一步得到所 讨论问题的一系列门槛结果 整体解的存在唯一性 整体解的真空孤立现象 以及解的爆破性质 推广和延伸了已有的结果 本文的方法也可以应用到其他 的一些非线性发展方程 众所周知 由于偏微分方程自身的特点 如果对方程中的指数或者运算符 号作微小的改变 那么前面采用的研究方法就有可能失效 这时就需要在方 法运用中进行适时的调整甚至必须寻求其它解决问题的方法和技巧 问题的 提出与创新是一个永无止境的过程 需要我们不断地学习和思考 下面的问 题是作者在以后的工作中所要学习和研究的主要方向 1 本文已经利用势井理论研究了方程解的爆破问题 知道了当初值属于不 稳定集时 解在有限时刻发生爆破 但是爆破的具体时间即生命跨度能否用这 套理论进行研究 2 学习衰减估计方法 对问题的解作衰减估计 3 势井理论在其它一些非线性方程的灵活运用 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 5 页 致谢 首先 衷心感谢导师杨晗教授 本篇论文是在杨晗教授的悉心指导和鼓 励下完成的 从论文的选题到最后的完稿 导师都给予我无私的帮助 师从杨 老师这三年 是我人生中的宝贵财富 他带领我走进了学术的殿堂 引导我 的人生踏上一个新的征程 杨老师不仅在治学方面而且在做人方面 给了我 许多教诲 他渊博的知识 精益求精的科学态度 孜孜不倦的进取精神 谦 逊热情的为人处世态度以及高尚的导师风格都深深地感染了我 将使我终生 学之不尽 受益无穷 在此 还要感谢黄天民教授帮助我拓宽科研视野 衷心感谢陈滋利教 授 在他的引导下 我在泛函分析方面打下了学习偏微分方程所必需的基 础 提高了专业英语水平 感谢数学系各位老师真诚的关心和帮助 同时 对同学们三年来给与我的关心和鼓励表示诚挚的谢意 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 6 页 参考文献 1 y a n gz h i j i a n g l o b a le x i s t e n c e a s y m p t o t i cb e h a v i o ra n db l o wu po fs o l u t i o n sf o rac l a s so fn o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n sw i t hd i s s i p a t i v et e r m j d i f f e q u a t i o n 1 8 7 2 0 0 3 5 2 0 5 4 0 2 v g e o r g i e va n dg t o d o r o v s e x i s t e n c eo fas o l u t i o no ft h ew a v ee q u a t i o n w i t hn o n l i n e a rd a m p i n ga n ds o u r c et e r m s j d i f f e q u a t i o n s 1 0 9 1 9 9 4 2 9 5 3 0 8 3 t o k i om a t s u y a m a o ng l o b a ls o l u t i o n sa n de n e r g yd e c a yf o rt h ew a v e e q u a t i o n so fk i r c h h o f ft y p ew i t hn o n l i n e a rd a m p i n gt e r m j m a t ha n a l a p p l 2 0 4 1 9 9 6 7 2 9 7 5 3 4 b a n k sh t g i l l i a md s s h u b o vv i g l o b a ls o l v a b i l i t yf o rd a m p e da b s t r a c tn o n l i n e a rh y p e r b o l i cs y s t e m s d i f f i n t e g e q u a 1 0 1 9 9 7 3 0 9 3 3 2 5 张宏伟 非线性高阶发展方程中的几个问题 郑州大学 2 0 0 2 6 s p l e v a n d o s k ya n dw a s t r a u s s t i m ed e c a yf o rt h en o n l i n e a rb e a m e q u a t i o n m e t h a p p l i c a t i o no fa n a l y s i s 7 2 0 0 0 4 7 9 4 8 8 7 s p l e v a n d o s k y d e c a ye s t i m a t e sf o rf o u r t ho r d e rw a v ee q u a t i o n s j d i f f e q u a t i o n s 1 4 3 1 9 9 8 3 6 4 1 3 8 s p l e v a n d o s k y s t a b i l i t ya n di n s t a b i l i t yo ff o u r t hs o l i t a r yw a v e s j d y n a m d i f f e q u a t i o n s 1 0 1 9 9 8 1 5 1 1 8 8 9 c m i a o t h et i m e s p a c ee s t i m a t e sa n dl o w e n e r g ys c a t t e r i n gf o rn o n l i n e a r h i g h e r o r d e re q u a t i o n s a c t am a t h s i n i c a 3 8 1 9 9 5 7 0 8 7 1 7 i nc h i n e s e 1 0 c m i a o an o t eo nt i m ed e c a yf o rt h en o n l i n e a rb e a me q u a t i o n j m a t h a n a l a p p l 3 1 4 2 0 0 6 7 6 4 7 7 3 1 1 p j m e k e n n aa n dw w a t e r t r a v e l i n gw a v e si nas u s 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