大学物理 2.4 刚体定轴转动的功和能.pdf

O S 2 42 4 刚体定轴转动的功和能刚体定轴转动的功和能刚体定轴转动的功和能刚体定轴转动的功和能 cosdddrFrFW rr r 2 1 dd MWW力矩的功力矩的功 M t M t W P d d d d 力矩的瞬时功率力矩的瞬时功率 2 4 1 力矩的功和功率力矩的功和功率 ddcosMrF x A F r r r d r r d 在力矩作用下 位置角由在力矩作用下 位置角由 1变化到变化到 2 刚体绕过刚体绕过O点且垂直于纸面的轴转动 刚体在 点且垂直于纸面的轴转动 刚体在F 的作用下转过角位移的作用下转过角位移d F 是作用在刚体上是作用在刚体上A点的外力 位于转动平面点的外力 位于转动平面 S内 内 2 4 2 定轴转动刚体的机械能定轴转动刚体的机械能 1 转动动能 转动动能 转动动能转动动能 222 2 1 2 1 iiiik rmvmE r i m i r ri v r 2 2 1 J 2 刚体的重力势能 刚体的重力势能 i i ip ghmE i i ih mg m hm mg i ii c mgh C hchi mi Ep 0 h m tMMWddd t JJM d d 转动定律转动定律 dd d d dJt t JW 2 1 2 2 2 1 2 1 d 2 1 JJJW 定轴转动动能定理定轴转动动能定理 12KK EEW 外外 2 4 32 4 3 定轴转动刚体的动能定理定轴转动刚体的动能定理定轴转动刚体的动能定理定轴转动刚体的动能定理 合外力矩对定轴转动刚体所作的功等于刚体转动动能的增加 在力矩作用下 角速度由 合外力矩对定轴转动刚体所作的功等于刚体转动动能的增加 在力矩作用下 角速度由 1 变化到变化到 2 力矩的功力矩的功 R 例 唱机的转盘绕通过盘心的固定竖直轴转动 唱片放例 唱机的转盘绕通过盘心的固定竖直轴转动 唱片放 上去后将受到转盘摩擦力作用而随转盘转动 唱片可看上去后将受到转盘摩擦力作用而随转盘转动 唱片可看 成是半径为成是半径为R 的均匀圆盘 质量为的均匀圆盘 质量为m 唱片与转盘之间的 唱片与转盘之间的 滑动摩擦系数为滑动摩擦系数为 k k 转盘原来以角速度 转盘原来以角速度 匀速转动 求 匀速转动 求 1 唱片刚放上去时它受到的摩擦力矩是多大 1 唱片刚放上去时它受到的摩擦力矩是多大 2 唱片达到角速度2 唱片达到角速度 需要多长时间 3 在这段时间内需要多长时间 3 在这段时间内 转盘保持角速度转盘保持角速度 不变 驱动力矩共做了多少功 4 唱不变 驱动力矩共做了多少功 4 唱 片获得了多大动能 片获得了多大动能 rrSd2d S R m mdd 2 S R m gr mgr frM kk dddd 2 解 解 1 r mgR k 3 2 rr R m g M R k d2 2 2 0 mgR M k 3 2 g R t k 4 3 MW 222 4 1 2 1 mRJEk 由于转盘保持角速度由于转盘保持角速度 不变 驱动力矩等于摩擦力矩不变 驱动力矩等于摩擦力矩 4 唱片获得动能4 唱片获得动能 t R g J M k 3 4 驱动力矩作功驱动力矩作功 转盘转过的圈数转盘转过的圈数 22 2 1 mRtM 2 2 1 RmJ 2 唱片达到角速度2 唱片达到角速度 需要多长时间 3 驱动力矩共做了多少功 需要多长时间 3 驱动力矩共做了多少功 1122pkpk EEEEWW 非保外非保外 即只有保守内力作功即只有保守内力作功0 非保外非保外 WW 系统机械能守恒系统机械能守恒 ConstEE pk 2 1 2 1 22 JmvEk 各种形式的势能应包括系统中所有物体 各种形式的势能应包括系统中所有物体 p E 对于包含刚体 质点 物体等复杂系统对于包含刚体 质点 物体等复杂系统 功能原理功能原理 当当 例 质量为例 质量为m 长度为长度为L的匀质细棒 一端固定一质量为 的匀质细棒 一端固定一质量为 m的小球 另一端绕过的小球 另一端绕过O点的水平光滑轴在竖直平面内 转动 初始时棒处于水平位置并静止 求当棒在竖直 面内转过 点的水平光滑轴在竖直平面内 转动 初始时棒处于水平位置并静止 求当棒在竖直 面内转过 角时 它的角速度角时 它的角速度 O 解 把细棒 小球和地球视为一个系统 系统机械能守恒 设 初始水平位置 解 把细棒 小球和地球视为一个系统 系统机械能守恒 设 初始水平位置 sinsin 2 p mgLmg L E 2 k 2 1 JE 0sinsin 2 1 2 1 2 mgLmgLJ L g sin 2 3 00 kp EE 当棒转过当棒转过 角时角时 222 3 4 3 1 mLmLmLJ mg mg O 用动能定理求解用动能定理求解 dcos 2 3 ddmgLMW cos 2 3 coscos 2 LmgLmg L mgM 2 12 2 1 JEEW KK 222 3 4 3 1 mLmLmLJ sin 2 3 dcos 2 3 d 00 mgLmgLMW 12KK EEW 把细棒 小球视为一个系统把细棒 小球视为一个系统 JM g JLmg cos 2 3 J Lgm 2 cos3 d d d d d d d d tt 转动定律 运动学转动定律 运动学 mg mg O cos 2 3 coscos 2 LmgLmg L mgM J Lgm 2 cos3 d d 00 d 2 cos3 d J mgL 解 解 例 如图 一匀质圆盘可在竖直平面内绕光滑的中心 垂直轴旋转 初始时 圆盘处于静止状态 一质量为 例 如图 一匀质圆盘可在竖直平面内绕光滑的中心 垂直轴旋转 初始时 圆盘处于静止状态 一质量为 m 的粘土块从的粘土块从 h 高度处自由落下 与圆盘碰撞后粘在 一起 之后一起转动 已知 高度处自由落下 与圆盘碰撞后粘在 一起 之后一起转动 已知 M 2m 600 求 1 碰撞后瞬间盘的求 1 碰撞后瞬间盘的 0 2 P 转到转到x 轴时盘的轴时盘的 1 m自由下落自由下落 2 2 1 mvmgh 碰前速度 碰前速度12ghvm 以以 m 盘为一系统 盘为一系统 碰撞 碰撞 t 极小 冲力远大于极小 冲力远大于m受重 力 故重力对 受重 力 故重力对O力矩可忽略 角动量守恒 力矩可忽略 角动量守恒 2 P x 重合时重合时E P 0 令令 2 2 1 cos 0 22 mRMRmvR 3 cos 2 2 21 0 R gh 得 由 得 由 4 2 1 2 1 sin 22 0 JJmgR 5 2 2 1 222 mRmRMRJ 以以m M 地球 为一系统 只有重力做功 机械能守恒 地球 为一系统 只有重力做功 机械能守恒 系统的转动惯量系统的转动惯量 由由 3 4 5 得 得 sin2cos 2 2 R g R gh 0 60 34 22 1 Rh g R 求求 P 转到转到 x 轴时盘的轴时盘的 R g mR mgR J M 2 2 2 JM g 以以 m 盘为一系统盘为一系统 刚体定轴转动质点运动刚体定轴转动质点运动 质点与刚体运动规律的对比质点与刚体运动规律的对比 t r v d d r r 速度 速度 t 方向角速度方向角速度 d d 2 2 d d d d t r t v a rr r 加速度 加速度 2 2 d d d d tt 角加速度 角加速度 质量 质量 m mrJd 2 转动惯量 转动惯量 amF r r 牛顿定律 牛顿定律 JM 转动定律转动定律 vmP r r 动量 动量 JL 角动量角动量 12 dPPtF rrr 动量定理动量定理12 dLLtM 角动量定理角动量定理 22 2 1 2 1 d AB B A mvmvrFW v v 22 2 1 2 1 d AB B A JJMW prL rr r 角动量 角动量 c M vMmvP rr r d刚体 刚体 例 一质量为例 一质量为M 半径为 半径为R的定滑轮上面绕有细绳 并沿 水平方向拉着一个质量为 的定滑轮上面绕有细绳 并沿 水平方向拉着一个质量为M的物体的物体A 现有一质量为 现有一质量为m的 子弹在距转轴 的 子弹在距转轴R 2的水平方向以速度的水平方向以速度v0射入并固定在定滑 轮的边缘 使滑轮拖动 射入并固定在定滑 轮的边缘 使滑轮拖动A在水平面上滑动 忽略轴的摩擦 力 求 1 子弹射入并固定在滑轮边缘后 滑轮开始转 动的角速度 在水平面上滑动 忽略轴的摩擦 力 求 1 子弹射入并固定在滑轮边缘后 滑轮开始转 动的角速度 2 若滑轮拖着2 若滑轮拖着A刚好转一圈而停止 求物体 刚好转一圈而停止 求物体A与水平面间的摩擦系数 与水平面间的摩擦系数 R 2 v0 m M M A 解 解 1 以 以m 滑轮 滑轮 A为一系统 碰撞前后 外力矩 主要是 为一系统 碰撞前后 外力矩 主要是A与地 面的摩擦力矩 远小于冲量矩 故 角动量守恒 与地 面的摩擦力矩 远小于冲量矩 故 角动量守恒 222 0 2 1 2 MRMRRm R mv 222 0 2 1 2 MRMRRm R mv 应用动能定理应用动能定理 RMmMg vm 2 3 16 2 0 2 RMgMRMRRm 2 2 1 2 1 0 2222 2 若滑轮拖着 若滑轮拖着A刚好转一圈而停止 求 物体 刚好转一圈而停止 求 物体A与水平面间的摩擦系数与水平面间的摩擦系数 以以m 滑轮 物体 滑轮 物体A为一系统 为一系统 R 2 v0 m M M A 解 杆地球系统 解 杆地球系统 均匀直杆质量为均匀直杆质量为m 长为 长为l 初始水平静止 轴光滑 求 杆下摆 角后 角速度 初始水平静止 轴光滑 求 杆下摆 角后 角速度 4 l AO 轴对杆作用力 轴对杆作用力 N 1 0sin 42 1 2 l mgJO 2 o2k 2 1 JE 末态 末态 sin 4 2p l mgE 例 例 E 守恒守恒 初始 初始 设 设00 p1k1 EE 2 48 7 22 mlmdJJ CO l g 7 sin6 2 应用质心运动定理 应用质心运动定理 法线 切线 法线 切线 4 4 c amgmN rr r 轴对杆作用力 轴对杆作用力 N ctt maNmg cos cll maNmg sin 3 3 4 l act 6 7 cos3 cos 4 4 g J l mg l o 5 sin 7 6 4 2 g l acl 0 4 J Ml cos 7 4 sin 7 13 mgN mgN t l N mg 7 15316 2 sin tg N N tgctg t l 11 4 13 cos 7 4 sin 7 13 mgNmgN tl s m M R k m1 h 例 匀质圆盘可绕中心竖直轴旋转 轻绳跨过圆盘一 端与轻弹簧相连 另一端与质量为 例 匀质圆盘可绕中心竖直轴旋转 轻绳跨过圆盘一 端与轻弹簧相连 另一端与质量为m的物体相连 弹 簧另一端固定在地面上 轻绳与盘无滑动 系统处于 静止状态 此时一质量为 的物体相连 弹 簧另一端固定在地面上 轻绳与盘无滑动 系统处于 静止状态 此时一质量为m1的小物块从的小物块从h高度处自由 落下 与 高度处自由 落下 与m碰撞后粘在一起 求碰撞后粘在一起 求m 下降的最大位移 下降的最大位移 s 0 kxmg m1的质量很小的质量很小 ghvvmghm2 2 1 1 2 11 R v JRvmmvRm 1 111 2 2 01 2 0 2 12 11 2 1 2 1 2 1 2 1 3 sxkgsmm kx R v Jvmm 例 已知圆盘半径为例 已知圆盘半径为R 质量为 质量为M 在竖直平面内可绕过 中心水平轴转动 将跨在圆盘上的轻绳分别联接弹性系数 为 在竖直平面内可绕过 中心水平轴转动 将跨在圆盘上的轻绳分别联接弹性系数 为k 的弹簧和质量为的弹簧和质量为m的物体 设轮轴光滑 绳不伸长 绳与轮间无相对滑动 今用手托住 的物体 设轮轴光滑 绳不伸长 绳与轮间无相对滑动 今用手托住m使弹簧保持原长 然 后静止释放 求 使弹簧保持原长 然 后静止释放 求 1 m 下落下落 h 距离时的速度 距离时的速度 2 弹簧的最大伸长量 弹簧的最大伸长量 解 取 解 取 m M 绳绳 弹簧弹簧 地球 为一系统地球 为一系统 h m M R k 外力 轴承支承力 力矩为零 内力 重力 弹性力为保守力 绳不伸长 张力功为零 绳与轮 间无相对滑动 摩擦力功为零 外力 轴承支承力 力矩为零 内力 重力 弹性力为保守力 绳不伸长 张力功为零 绳与轮 间无相对滑动 摩擦力功为零 系统机械能守恒系统机械能守恒 系统机械能守恒系统机械能守恒 处势能为零下落 处势能为零下落hkhJmvmgh 222 1 2 1 2 1 2 1 1 21 2 1 MRJ R v Mm khmgh v 2 24 2 1 为弹簧的最大伸长量为弹簧的最大伸长量Y k mg YkYmgY 2 2 1 2 2 h m M R k 0 v r mo O M A L L 4 3 例例 如图 均匀杆长如图 均匀杆长 L 0 40m 质量 质量M 1 0kg 由其上 端的光滑水平轴吊起而静止 今有一质量 由其上 端的光滑水平轴吊起而静止 今有一质量 m 8 0g 的子 弹以 的子 弹以 v 200m s 的速率水平射入杆中而不复出 射入点 在轴下 的速率水平射入杆中而不复出 射入点 在轴下 d 3L 4处 处 1 求子弹停在杆中时杆