2019_2020学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.5直线与圆锥曲线学案新人教B版.docx

2.5直线与圆锥曲线学 习 目 标核 心 素 养1.通过类比直线与圆的位置关系，学会判断直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系(重点)2.会求直线与圆锥曲线相交所得弦的长，以及直线与圆锥曲线的综合问题(重点、难点)通过判断直线与圆锥曲线的位置关系，求相关弦长、定点、定值、最值、范围等，提升学生的逻辑推理、数学运算素养.1直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线联立，消元得方程ax2bxc0.方程特征交点个数位置关系直线与椭圆a0，02相交a0，01相切a0，00相离直线与双曲线a01直线与双曲线的渐近线平行且两者相交a0，02相交a0，01相切a0，00相离直线与抛物线a01直线与抛物线的对称轴重合或平行且两者相交a0，02相交a0，01相切a0，00相离思考：直线与抛物线、双曲线只有一个公共点时，是否一定相切？提示不一定，当直线与双曲线的渐近线平行或与抛物线的对称轴平行时，直线与双曲线、抛物线只有一个公共点，但此时直线与双曲线、抛物线相交2弦长公式当直线与圆锥曲线相交时，往往涉及弦的长度，可利用弦长公式表示弦长，从而研究相关的问题，弦长公式为：若直线l的斜率为k，与圆锥曲线C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则 |AB|x1x2|y1y2|.1抛物线y212x截直线y2x1所得弦长等于()A.B2C.D15A令直线与抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得4x28x10，x1x22，x1x2，|AB|.2若直线ykx1与椭圆1总有公共点，则m的取值范围是 ()Am1Bm1或0m1C0m5且m1 Dm1且m5D直线ykx1恒过定点(0,1)，当(0,1)在椭圆上或椭圆内时直线与椭圆总有公共点1，解得m1.当m5时1表示圆故选D.3若直线xa与双曲线y21有两个交点，则a的值可以是()A4B2 C1D2A因为在双曲线y21中，x2或x2，所以若xa与双曲线有两个交点，则a2或a2，故只有A符合题意直线与圆锥曲线的位置关系探究问题直线与圆锥曲线相交时，能用两点间距离公式求弦长吗？提示可以当直线与圆锥曲线相交，两交点坐标好求时，可先求出两交点坐标，用两点间距离公式求弦长；当两交点坐标不便求出时，最好不用此法【例1】直线ymx1与椭圆x24y21有且只有一个交点，求m2的值思路探究联立方程组，消元后利用判别式求解解由消去y整理得(4m21)x28mx30，由64m212(4m21)0，得m2.1(改变问法)典例中若直线与椭圆相交，弦的中点的轨迹方程是什么？解设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点坐标为M(x，y)，由消去y整理得(4m21)x28mx30，x1x22x，即x，y1y22y2，y1，由得4m，又点(x，y)在直线ymx1上，m，由得x24y24y0，弦中点的轨迹方程为x24y24y0.2(改变问法)典例中若直线与椭圆相交于A，B两点，求弦|AB|的长解设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y整理得(4m21)x28mx30，16m2120，解得m或m，由根与系数的关系得x1x2，x1x2，|AB|.直线与圆锥曲线位置关系的判断方法提醒：过椭圆内一点的直线均与椭圆相交弦长问题及中点弦问题【例2】椭圆ax2by21与直线xy10相交于A，B两点，C是AB的中点，若|AB|2，OC的斜率为，求椭圆的方程思路探究本题有两种解法一是利用设点、代入、作差，借助斜率解题的方法，可称为“点差法”二是利用圆锥曲线弦长的基本求法，先利用两点间距离公式求出含a，b的关系式，再借助弦所在直线的斜率求解解法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程并作差，得a(x1x2)(x1x2)b(y1y2)(y1y2)0.而1，kOC，代入上式可得ba.|AB|x2x1|2，即(x2x1)24，其中x1，x2是方程(ab)x22bxb10的两根，又(x1x2)24x1x2(x2x1)24，244.将ba代入，解得a，b，所求椭圆的方程是y21.法二：由得(ab)x22bxb10.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|.|AB|2，1.设C(x，y)，则x，y1x.OC的斜率为，代入，解得a，b，所求椭圆的方程是y21.直线和圆锥曲线相交问题的通法就是利用两个方程联立得到的一元二次方程，利用弦长公式和根与系数的关系解决(要考虑特殊情形)；对于中点弦问题可采用点差法，但要验证得到的直线适合题意. 1已知点A(1,0)，B(1,0)，直线AM，BM相交于点M，且kMAkMB2.(1)求点M的轨迹C的方程；(2)过定点(0,1)作直线PQ与曲线C交于P，Q两点，且|PQ|，求直线PQ的方程解(1)设M(x，y)，则kMA，kMB(x1)，2，x21(x1)(2)当直线PQ的斜率不存在，即PQ是椭圆的长轴时，其长为2，显然不合题意，即直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程是ykx1，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1y2k(x1x2)，联立消去y得(k22)x22kx10.4k24(k22)8(k21)0，kR，x1x2，x1x2，|PQ|2，|PQ|2，k22，k，直线PQ的方程是yx1.圆锥曲线中的最值及范围问题【例3】已知双曲线C：1(a0，b0)的焦距为3，其中一条渐近线的方程为xy0.以双曲线C的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E，过原点O的动直线与椭圆E交于A，B两点(1)求椭圆E的方程；(2)若点P为椭圆E的左顶点，2，求|2|2的取值范围解(1)由双曲线1的焦距为3，得c，a2b2.由题意知，由解得a23，b2，椭圆E的方程为y21.(2)由(1)知P(，0)设G(x0，y0)，由2，得(x0，y0)2(x0，y0)即解得G.设A(x1，y1)，则B(x1，y1)，|2|22y2y2x2y2x3xx.又x1，x0,3，x，|2|2的取值范围是.(1)求参数范围的方法据已知条件建立等式或不等式的函数关系，再求参数范围(2)求最值问题的方法几何法题目中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用图象来解决代数法,题目中给出的条件和结论几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值，求最值的常见方法是均值不等式法，单调性法等.2已知椭圆C：x22y24.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点，若点A在直线y2上，点B在椭圆C上，且OAOB，求线段AB长度的最小值解(1)由题意，椭圆C的标准方程为1.所以a24，b22，从而c2a2b22.因此a2，c.故椭圆C的离心率e.(2)设点A，B的坐标分别为(t,2)，(x0，y0)，其中x00.因为OAOB，所以0，即tx02y00，解得t.又x2y4，所以|AB|2(x0t)2(y02)22(y02)2xy4x44(0x4)因为4(0x4)，当且仅当x4时等号成立，所以|AB|28.故线段AB长度的最小值为2.1思考辨析(1)平面上到定点A(1,0)和到定直线l：x2y30的距离相等的点的轨迹为抛物线()(2)一条直线与双曲线的两支交点个数最多为2条()(3)抛物线与直线只有一个公共点是直线与抛物线相切的充要条件()提示(1)(2)(3)必要不充分条件2直线ykx2交抛物线y28x于A，B两点，若AB中点的横坐标为2，则k等于()A2或2B1C2 D3C由得k2x24(k2)x40，则4，解得k2(k1舍去)3已知双曲线C：x21，过点P(1,2)的直线l，使l与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有()A1条 B2条C3条 D4条B因为双曲线的渐近线方程为y2x，点P在一条渐近线上，又由于双曲线的顶点为(1,0)，所以过点P且与双曲线相切的切线只有一条过点P平行于渐近线的直线只有一