（教师用书）高考数学一轮总复习 第五章 数列课堂过关 理.doc

第五章数列第1课时数列的概念及其简单表示法(对应学生用书(文)、(理)7071页)理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型，探索并掌握数列的几种简单表示法(列表、图象、通项公式)；了解数列是一种特殊的函数；发现数列规律，写出其通项公式 了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式). 了解数列是自变量为正整数的一类函数1. (必修5p34习题3改编)已知数列an满足an4an13，且a10，则a 5_答案：255解析：a24a133，a34a2343315，a44a33415363，a54a434633255.2. (必修5p34习题2改编)数列1，的一个通项公式是_答案：an(1)n解析：1，数列1，4，9，16，对应通项n2，数列1，3，5，7，对应通项2n1，数列1，1，1，1，对应通项(1)n.故an(1)n .3. (必修5p48习题9改编)若数列an的前n项和snn23n，则_答案：2解析： 数列an的前n项和snn23n， a1a2a3s3323318，a4a5a6s6s336， 2.4. (必修5p34习题9改编)已知数列an的通项公式是ann28n5，则这个数列的最小项是_答案：11解析：由an(n4)211，知n4时，an取最小值为11.5. 已知数列an满足a13，ananan11，an表示an前n项之积，则a2 014_答案：3解析：a13，a2，a3，a43，t3，a2 0143.1. 数列的概念按照一定顺序排列的一列数2. 数列的分类项数有限的数列叫做有穷数列项数无限的数列叫做无穷数列3. 数列与函数的关系从函数观点看，数列可以看成是以正整数为定义域的函数anf(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值反过来，对于函数yf(x)，如果f(i)(i1，2，3，)有意义，那么可以得到一个数列f(n)4. 数列的通项公式如果数列an的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式anf(n)(n1，2，3，)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式通项公式可以看成数列的函数解析式5. 数列an的前n项和sn与通项an的关系是an备课札记题型1 由数列的前几项写通项公式例1 写出下列数列的一个通项公式：(1) 1，3，5，7，9，(2) 1，0，0，0，(3) 3，5，3，5，(4) 0.9，0.99，0.999，0.9999，解：(1) an(1)n1(2n1)(2) an.(3) an或an4(1)n.(4) an1.写出下列数列的一个通项公式：(1) ，2，8，(2) 5，55，555，5555，(3) 1，3，6，10，15，解：(1) an(1)n.(2) an(10n1)(3) an.题型2 由an与sn关系求an例2 已知数列an的前n项和sn，求通项an.(1) sn3n1；(2) snn23n1.解：(1) n1时，a1s12.n2时，ansnsn123n1.当n1时，an1符合上式 an23n1.(2) n1时，a1s15.n2时，ansnsn12n2.当n1时a15不符合上式 an已知下列数列an的前n项和sn，分别求出它们的通项公式(1) sn2n23n; (2) log2(sn1)n1.解：(1) 当n1时，a1s1212315；当n2时，ansnsn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n1.当n1时，4115a1， an4n1.(2) 由已知条件可得sn12n1， sn2n11.当n2时，an snsn12n112n12n，当n1时，a1s13，不符合an， an 题型3 数列的性质例3 如下表定义函数f(x)：x12345f(x)54312对于数列an，a14，anf(an1)，n2，3，4，求a2 014.解：a14，a21，a35，a42，a54，可得an4an，所以a2014a21.已知数列an满足a11，a22，an2，求数列an的前26项的和解：由于a11，a22，an2，所以a31，a4，a51，a62，所以an是周期为4的数列，故s2661210.1. 设an3n215n18，则数列an中的最大项的值是_答案：0解析：因为an3，且nn*，所以当n2或n3时，an取最大值，即最大值为a2a30.2. 已知a11，ann(an1an)(nn*)，则数列an的通项公式是_答案：ann解析：由已知整理得(n1)annan1， . 数列是常数列，且1. ann.3. 设a0，若an且数列an是递增数列，则实数a的取值范围是_答案：2a3解析：由an是递增数列，得解得 2a3.4. 已知数列an的前n项和sn满足snsmsnm，且a11，则a10_答案：1解析：由a11，得s1a11，令m1，得sn1sn1，an1sn1sn1，得a101.5. 无穷数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，的首项是1，随后两项都是2，接下来3项都是3，再接下来4项都是4，以此类推记该数列为an，若an120，an21，则n_答案：211解析：将1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，分组成1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，. 第1组有1个数，第2组有2个数，以此类推显然an120在第20组，an21在第21组. 前20组共20210个数. 所以n211.1. 若ann2n3(其中为实常数)，nn*，且数列an为单调递增数列，则实数的取值范围为_答案：(3，)解析：(解法1：函数观点)因为an为单调递增数列，所以an1an，即(n1)2(n1)3n2n3，化简为2n1对一切nn*都成立，所以3.故实数的取值范围为(3，)(解法2：数形结合法)因为an为单调递增数列，所以a1a2，要保证a1a2成立，二次函数f(x)x2x3的对称轴x应位于1和2中点的左侧，即，亦即3，故实数的取值范围为(3，)2. 数列an满足an1若a1，则a20_答案：解析：a1a221，则a321a42a3. 数列an是周期为3的数列， a20a182a2.3. 已知数列an的前n项和为sn，a11，且3an12sn3(n为正整数)(1) 求出数列an的通项公式；(2) 若对任意正整数n，ksn恒成立，求实数k的最大值解：(1) 3an12sn3， 当n2时，3an2sn13，由，得3an13an2an0. (n2)又a11，3a22a13，解得a2. 数列an是首项为1，公比q的等比数列 ana1qn1(n为正整数)(2) 由(1)知，sn，由题意可知，对于任意的正整数n，恒有k. 数列单调递增，当n1时，数列取最小值为， 必有k1，即实数k的最大值为1.4. 已知数列的前n项和为sn，并且满足a12，nan1snn(n1)(1) 求an的通项公式；(2) 令tnsn，是否存在正整数m，对一切正整数n，总有tntm？若存在，求m的值；若不存在，说明理由解：(1) 令n1，由a12及nan1snn(n1)，得a24，故a2a12，当n2时，有(n1)ansn1n(n1)，得nan1(n1)anan2n.整理得an1an2(n2)当n1时，a2a12，所以数列an是以2为首项，以2为公差的等差数列，故an2(n1)22n.(2) 由(1)得snn(n1)，所以tn(n2n)故tn1(n1)2(n1)，令即即解得8n9.故t1t2t10t11故存在正整数m对一切正整数n，总有tntm，此时m8或m9.1. 数列中的数的有序性是数列定义的灵魂，要注意辨析数列的项和数集中元素的异同，数列可以看作是一个定义域为正整数集或其子集的函数，因此在研究数列问题时，既要注意函数方法的普遍性，又要注意数列方法的特殊性2. 根据所给数列的前几项求其通项，需要仔细观察分析，抓住特征：分式中分子、分母的独立特征，相邻项变化的特征，拆项后的特征，各项的符号特征和绝对值特征，并由此进行化归、归纳、联想3. 通项an与其前n项和sn的关系是一个十分重要的考点运用时不要忘记讨论an请使用课时训练(a)第1课时(见活页)第2课时等 差 数 列(对应学生用书(文)、(理)7273页)理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，能在具体的问题情境中用等差数列的有关知识解决相应的问题 理解等差数列的概念. 掌握等差数列的通项公式与前n项和公式. 了解等差数列与一次函数的关系1. (必修5p47习题5改编)已知等差数列an的前n项和为sn，若a12，s312，则a6_答案：12解析：设等差数列an的公差为d，由题意知：3232d12，得d2，则a62(61)212.2. (必修5p48习题7改编)在等差数列an中，(1) 已知a4a142，则s17_；(2) 已知a1110，则s21_；(3) 已知s1155，则a6_；(4) 已知s8100，s16392，则s24_(1) 答案：17解析：s1717.(2) 答案：210解析：s21210.(3) 答案：5解析：s1155， a65.(4) 答案：876解析：s8，s16s8，s24s16成等差数列， 100s243922(392100)， s24876.3. (必修5p44练习6改编)设sn为等差数列an的前n项和，已知s55，s927，则s7_答案：14解析：由s5(a1a5)2a35a35，得a31；由s9(a1a9)2a59a527，得a53.从而s7(a1a7)(a3a5)414.4. (必修5p48习题10改编)已知数列an为等差数列，若a13，11a55a8，则使其前n项和sn取最小值的n_答案：2解析： a13，11a55a8， d2， snn24n(n2)24， 当n2时，sn最小5. (必修5p43例2改编)在等差数列an中，已知d，an，sn，则a1_答案：3解析：由题意，得由得a1n2，代入得n27n300， n10，n3(舍去)， a13.1. 等差数列的定义(1) 文字语言：如果一个数列从第二项起，每一项减去前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列(2) 符号语言：an1and(nn)2. 等差数列的通项公式若等差数列an的首项为a1，公差为d，则其通项公式为ana1(n1)d推广：anam(nm)d.3. 等差中项如果三个数a，a，b成等差数列，则a叫a和b的等差中项，且有a4. 等差数列的前n项和公式(1) snna1d(2) sn5. 等差数列的性质(1) 等差数列an中，对任意的m、n、p、qn*，若mnpq，则amanapaq特殊的，若mn2p，则aman2ap(2) 等差数列an中依次每m项的和仍成等差数列，即sm、s2msm、s3ms2m、仍成等差数列.题型1 数列中的基本量的计算例1 设等差数列an的前n项和为sn，已知a35，s39.(1) 求首项a1和公差d的值；(2) 若sn100，求n的值解：(1) 由已知得解得a11，d2.(2) 由snna1d100，得n2100，解得n10或10(舍)，所以n10.在等差数列an中，a1a38，且a4为a2和a9的等比中项，求数列an的通项公式及其前n项和解：设该数列公差为d，前n项和为sn.由已知可得：2a12d8，(a13d)2(a1d)(a18d)所以a1d4，d(d3a1)0，解得a14，d0，或a11，d3，所以数列an为an4或an3n2，前n项和sn4n或sn.题型2 判断或证明一个数列是否是等差数列例2 已知数列an的各项均为正数，前n项和为sn，且满足2snan4.(1) 求证：an为等差数列；(2) 求an的通项公式(1) 证明：当n1时，有2a1a14，即a2a130，解得a13(a11舍去)当n2时，有2sn1an5，又2snan4，两式相减得2anaa1，即a2an1a，也即(an1)2a，因此an1an1或an1an1.若an1an1，则anan11，而a13，所以a22，这与数列an的各项均为正数相矛盾，所以an1an1，即anan11，因此an为等差数列(2) 解：由(1)知a13，d1，所以数列an的通项公式an3(n1)n2，即ann2.已知数列an，bn满足a13，anbn2，bn1an，nn*.(1) 求证：数列是等差数列；(2) 求数列bn的通项公式(1) 证明：因为anbn2，所以an，则bn1anbn22，所以.又a13，所以b1，故是首项为，公差为的等差数列(2) 解：(n1)，所以bn.=题型3 等差数列的性质例3 (1) 已知等差数列an的公差d0，若a1a2a2 0152 015am(mn*)，则m_(2) 设等差数列an的前n项和为sn，若s39，s636，则a7a8a9_(1) 答案：1 008解析：由a1a2a2 0152 015am(mn*)，得2 015am，所以a1a2 0152am，所以m1 008.(2) 答案：45解析：由等差数列的性质，知s3，s6s3，s9s6成等差数列， 2(s6s3)s3(s9s6)， a7a8a9s9s62(s6s3)s345.(1) 等差数列an中，sn是an前n项和，已知s62，s95，则s15_；(2) 给定81个数排成如图所示的数表，若每行9个数与每列的9个数按表中顺序构成等差数列，且表中正中间一个数a555，则表中所有数之和为_a11a12a19a21a22a29a91a92a99答案：(1) 15(2) 405解析：(1) (解法1)由等差数列的求和公式及知 s1515a1d15.(解法2)由等差数列性质，知成等差数列，设其公差为d，则3d， d， 6d61， s1515.(2) s(a11a19)(a91a99)9(a15a25a95)99a55405.题型4 等差数列中的最值问题例4 (1) (2014北京)若等差数列an满足a7a8a90，a7a100，当n取何值时，an的前n项和最大？(2) 已知数列an为等差数列，若0时n的最大值(3) 在等差数列an中，a10，公差d0.又a7a100， a8a90， a9s7，s8s9，故数列an的前8项的和最大(2) 0，a70且a6a70，s126(a6a7)0的n的最大值为11.(3) 在等差数列an中，a10，公差d0. a53a7， a14d3(a16d)， a17d， snn(7d)d(n215n)， n7或8时，sn取得最大值已知在等差数列an中，a131，sn是它的前n项和，s10s22.(1) 求sn；(2) 这个数列的前多少项的和最大，并求出这个最大值解：(1) s10a1a2a10，s22a1a2a22，s10s22， a11a12a220，0，即a11a222a131d0.又a131， d2， snna1d31nn(n1)32nn2.(2) (解法1)由(1)知sn32nn2， 当n16时，sn有最大值，sn的最大值是256.(解法2)由sn32nn2n(32n)，欲使sn有最大值，应有1n0，其前n项和bn0.因为cnt2bn2tbn1bn(16t24t1)bn，所以其前n项和cn(16t24t1)bn，所以cnbn2(8t22t1)bn，当t时，cnbn；当t或t时，cnbn；当t时，cn0，a2a42a3a5a4a636，则a3a5_答案：6解析：a2a42a3a5a4a6(a3a5)236，又a10， a3，a50， a3a56.4. (必修5p61习题3改编)在等比数列an中，a37，前3项的和s321，则公比q_答案：1或解析：由已知得 化简得3.整理得2q2q10，解得q1或q.5. (必修5p56例2改编)设等比数列an的前n项和为sn.若s23，s415，则s6_答案：63解析：设等比数列an的首项为a，公比为q，易知q1，根据题意可得解得q24，1，所以s6(1)(143)63. 本题也可以利用结论“等比数列前n项和为sn(0)，则sn，s2nsn，s3ns2n，构成等比数列”解题1. 等比数列的概念(1) 文字语言：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列(2) 符号语言：_q(nn，q是等比数列的公比)2. 等比数列的通项公式设an是首项为a1，公比为q的等比数列，则第n项ana1qn1推广：anamq(nm)3. 等比中项若a，g，b成等比数列，则g为a和b的等比中项且g4. 等比数列的前n项和公式(1) 当q1时，snna1(2) 当q1时，sn5. 等比数列的性质(1) 等比数列an中，对任意的m、n、p、qn*，若mnpq，则amanapaq特殊的，若mn2p，则amana(2) 等比数列an中依次每m项的和(非零)仍成等比数列，即sm、s2msm、s3ms2m、仍成等比数列，其公比为qm(q1)(其中sm0)备课札记题型1 等比数列的基本运算例1 等比数列an的前n项和为sn，已知s1，s3，s2成等差数列(1) 求an的公比q；(2) 若a1a33，求sn.解：(1) s1，s3，s2成等差数列， 2s3s1s2，即2(a1a2a3)a1a1a2， 2a3a2， q.(2) a3a1q2a1， a1a13， a14， sn.(2014重庆)已知an是首项为1，公差为2的等差数列，sn是an的前n项和设bn是首项为2的等比数列，公比q满足q2(a41)qs40，求bn的通项公式及其前n项和tn.解： ana1(n1)d2n1，sn13(2n1)n2， a47，s416.由q2(a41)qs40，即q28q160， (q4)20，从而q4. b12，bn是公比q4的等比数列， bnb1qn124n122n1.从而bn的前n项和tn(4n1)题型2 等比数列的判定与证明例2 已知数列an的前n项和为sn，3snan1(nn)(1) 求a1，a2；(2) 求证：数列an是等比数列；(3) 求an和sn.(1) 解：由3s1a11，得3a1a11，所以a1.又3s2a21，即3a13a2a21，得a2.(2) 证明：当n2时，ansnsn1(an1)(an11)，得，所以an是首项为，公比为的等比数列(3) 解：由(2)可得ann，sn.已知数列an和bn满足：a1，an1ann4，bn(1)n(an3n21)，其中为实数，nn*.判断数列bn是否为等比数列，并证明你的结论解：因为bn(1)n(an3n21)，bn1(1)n1an13(n1)21(1)n1(1)n1(an2n14)(1)n1(an3n21)bn.又b1(18)，所以当18，b10，易得bn0(nn*)，此时数列bn不是等比数列；当18，b10，由上可知bn0， (nn*)，此时数列bn是等比数列题型3 等比数列的性质例3 已知等比数列an中，a232，a8，an1an.(1) 求数列an的通项公式；(2) 设tnlog2a1log2a2log2an，求tn的最大值及相应的n值解：(1) q6， an1an，所以q.以a164为首项，所以通项公式为an64n127n(nn)(2) 设bnlog2an，则bnlog227n7n.所以bn是首项为6，公差为1的等差数列tn6n(1)n2n(n)2.因为n是自然数，所以n6或n7时，tn最大，其最大值是t6t721.在等比数列an中，a1最小，且a1an66，a2an1128，前n项和sn126，求n和公比q.解： an为等比数列， a1ana2an1，即a1an128.又a1an66，且a1最小，解得a12，an64.依题意知q1 ， sn126， 126q2. 2qn164， n6.题型4 等比数列的应用例4 定义在(，0)(0，)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列an，f(an)仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”现有定义在(，0)(0，)上的如下函数：f(x)x2；f(x)2x；f(x)；f(x)ln(x)其中是“保等比数列函数”的是_(填序号)答案：解析：验证： q2； .已知数列an的前n项和sn2n22n，数列bn的前n项和tn2bn.(1) 求数列an与bn的通项公式；(2) 设cnabn，证明：当且仅当n3时，cn1cn.(1) 解：a1s14，当n2时，ansnsn12n(n1)2(n1)n4n.又a14适合上式，an4n(nn*)将n1代入tn2bn，得b12b1，t1b11.当n2时，tn12bn1，tn2bn，bntntn1bn1bn，bnbn1，bn21n.(2) 证明：(证法1)由cnabnn225n，得.当且仅当n3时，1，即cn1cn.(证法2)由cnabnn225n，得cn1cn24n(n1)22n224n(n1)22当且仅当n3时，cn1cn0，即cn1cn.1. 已知数列an满足3an1an0，a2，则an的前10项和为_答案：3(1310)解析：q，a14，则s103(1310)2. (2014南京、盐城一模)已知等差数列an的公差d不为0，且a1，a3，a7成等比数列，则_答案：2解析：由题设知aa1a7，又a3a12d，a7a16d，从而(a12d)2a1(a16d)，整理得4a1d4d26a1d，即4d22a1d，d0，从而a12d，即2.3. 设各项均为正数的等比数列an的前n项和为sn，若s102，s3014，则s40_答案：30解析： s10，s20s10，s30s20，s40s30成等比数列，则2(14s20)(s202)2，得s206. s10，s20s10，s30s20，s40s30，即为2，4，8，16. s40s301630.4. (2014苏北三市期末)设等比数列an的前n项和为sn，若a4，a3，a5成等差数列，且sk33，sk163，其中kn*，则sk2_答案：129解析：由等比数列性质知2qq2 ， q1或2.当q1时，显然不成立 q2.又 ak1sk1sk96.sk2sk1ak2sk1ak1(2)63962129.1. (2014南京、盐城期末)已知等比数列an的首项为，公比为，其前n项和为sn.若asnb对nn*恒成立，则ba的最小值为_答案：解析： sn1， tnsn1.当n为奇数时，tn1递减，则0tnt1；当n为偶数时，tn1递增，则t2tn0时，求数列an的最小项(1) 证明： bnann2， bn1an1(n1)22an(n1)24(n1)2(n1)22an2n22bn(n2)由a12a1，得a24a，b2a244a4， a1， b20，即bn从第2项起是以2为公比的等比数列(2) 解：由(1)知bnsna3a4(2a2)2n，当n2时，2. sn是等比数列， (n2)是常数， 3a40，即a.(3) 解：由(1)知当n2时，bn(4a4)2n2(a1)2n， an 数列an为2a1，4a，8a1，16a，32a7，显然最小项是前三项中的一项当a时，最小项为8a1；当a时，最小项为4a或8a1；当a时，最小项为4a；当a时，最小项为4a或2a1；当a时，最小项为2a1.1. 重点是本着化多为少的原则，解题时，需抓住首项a1和公比q这两个基本量2. 运用等比数列求和公式时，要对q1和q1进行讨论3. 解决等比数列有关问题的常见思想方法：方程的思想：等比数列中有五个量a1，q，n，an，sn，一般可以“知三求二”，通过列方程组求关键量a1，q；分类的思想：当a10，q1或者a10，0q0，0q1或者a11时，等比数列an递减；当q0时，等比数列为摆动数列；当q1时，等比数列为常数列；函数的思想：用函数的观点来理解和掌握等比数列的概念、通项公式和前n项和公式4. 巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要请使用课时训练(a)第3课时(见活页)第4课时数列的求和(对应学生用书(文)、(理)7678页)理解数列的通项公式；会由数列的前n项和求数列通项公式，及化为等差数列、等比数列求数列的通项公式掌握等差数列、等比数列前n项和的公式；数列求和的常用方法：分组求和法、错位相减法、裂项相消法、倒序相加法等 掌握求数列通项公式的常用方法. 掌握数列求和的常用方法1. (必修5p33练习4改编)在数列1，1，2，3，5，8，x，21，34，55中，x等于_答案：13解析：由an2an1an，得x5813.2. (必修5p68复习题13(1)改编)求和：_答案：1解析：1.3. (必修5p54习题8改编)已知等比数列an的前n项和sn2n1，则aaa_答案：(4n1)解析：当n1时，a1s11；当n2时，ansnsn12n1(2n11)2n1.又a11适合上式， an2n1， a4n1. 数列a是以a1为首项，以4为公比的等比数列 aaa(4n1)4. (必修5p68复习题13(2)改编)已知数列an的通项公式an，则该数列的前_项之和等于9.答案：99解析：由an，sn19，则n99.5. (必修5p68复习题12改编)数列an中，an(2n1)3n1，则数列an的前n项和sn_答案：(n1)3n1解析：sn130331532(2n1)3n1，3sn131332(2n3)3n1(2n1)3n，将两式相减，得2sn12(31323n1)(2n1)3n2(2n2)3n，所以sn(n1)3n1.1. 已知数列an，满足an1anf(n)，且f(1)f(2)f(n)可求，则可用累加法求数列的通项an.2. 已知数列an，满足f(n)，且f(1)f(2)f(n)可求，则可用累乘法求数列的通项an.3. (1) an(2) 等差数列前n项和sn，推导方法：倒序相加法(3) 等比数列前n项和sn推导方法：错位相减法4. 常见数列的前n项和(1) 123n；(2) 2462nn(n1)；(3) 135(2n1)n2；(4) 122232n25. (1) 分组求和：把一个数列分成几个可以直