（新课标）高考数学大一轮复习 第七章 立体几何精品讲义 理（含解析）.doc

第七章立体几何第一节 空间几何体的结构特征及三视图与直观图基础盘查一空间几何体的结构特征(一)循纲忆知认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构(二)小题查验1判断正误(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱()(2) 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥()(3)用一个平面去截一个球，截面是一个圆面()答案：(1)(2)(3)2(人教a版教材习题改编)如图，长方体abcdabcd被截去一部分，其中ehad，则剩下的几何体是_，截去的几何体是_答案：五棱柱三棱柱基础盘查二空间几何体的三视图(一)循纲忆知1能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型2会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图，了解空间图形的不同表示形式3会画出某些建筑物的三视图(在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求)(二)小题查验1判断正误(1)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同()(2)圆锥的俯视图是一个圆()(3)圆台的正视图和侧视图是两个全等的等腰梯形()答案：(1)(2)(3)2(北师大版教材例题改编)已知空间几何体的三视图如图，则该几何体是由_组合而成答案：圆柱和正四棱柱3一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为：长方形；正方形；圆；椭圆其中正确的是_答案：基础盘查三空间几何体的直观图(一)循纲忆知1会用斜二测画法画出几何体的直观图2会用平行投影与中心投影画出简单空间图形的直观图了解空间图形的不同表示形式3会画某些建筑物的直观图(在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求)(二)小题查验1判断正误(1)用斜二测画法画水平放置的a时，若a的两边分别平行于x轴和y轴，且a90，则在直观图中，a45()(2)斜二测画法中，平行于x轴y轴的线段平行性不变，且长度也不变()(3)斜二测画法中，原图形中的平行垂直关系在直观图中不变()答案：(1)(2)(3)2(2015东北三校第一次联考)利用斜二测画法可以得到：三角形的直观图是三角形；平行四边形的直观图是平行四边形；正方形的直观图是正方形；菱形的直观图是菱形以上结论正确的是_答案：|(基础送分型考点自主练透)必备知识1多面体的结构特征(1)棱柱(2)棱锥(3)棱台棱锥被平行于棱锥底面的平面所截，截面与底面之间的部分2旋转体的结构特征(1)圆柱可以由矩形绕其任一边旋转得到(2)圆锥可以由直角三角形绕其一条直角边旋转得到(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到(4)球可以由半圆面或圆面绕直径旋转得到提醒(1)认识棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台的结构特征时，易忽视定义，可借助于几何模型强化对空间几何体的结构特征的认识(2)台体可以看成是由锥体截得的，但一定强调截面与底面平行题组练透1用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是()a圆柱b圆锥c球体 d圆柱、圆锥、球体的组合体解析：选c截面是任意的且都是圆面，则该几何体为球体2下列结论正确的是()a各个面都是三角形的几何体是三棱锥b以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边绕旋转轴旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥c棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等，则该棱锥可能是六棱锥d圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析：选da错误，如图1是由两个相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，它的各个面都是三角形，但它不是三棱锥；b错误，如图2，若abc不是直角三角形，或abc是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥；c错误，若该棱锥是六棱锥，由题设知，它是正六棱锥易证正六棱锥的侧棱长必大于底面边长，这与题设矛盾图1图23设有以下四个命题：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；底面是矩形的平行六面体是长方体；四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形；棱台的相对侧棱延长后必交于一点；直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥其中真命题的序号是_解析：命题符合平行六面体的定义，故命题是正确的；底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题是错误的；正确，如图1，pd平面abcd，其中底面abcd为矩形，可证明pab，pcb为直角，这样四个侧面都是直角三角形；命题由棱台的定义知是正确的；错误，当以斜边为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥如图2所示，它是由两个同底圆锥形成的答案：类题通法解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧(1)要想真正把握几何体的结构特征，必须多角度、全面地去分析，多观察实物，提高空间想象能力；(2)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定；(3)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可|(重点保分型考点师生共研)必备知识(1)空间几何体的三视图包括正(主)视图、侧(左)视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线(2)三视图的画法基本要求：长对正，高平齐，宽相等画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；看不到的线画虚线提醒若相邻两物体的表面相交，则表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的区别典题例析1(2014江西高考)一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是()解析：选b由直观图可知，该几何体由一个长方体和一个截角三棱柱组成从上往下看，外层轮廓线是一个矩形，矩形内部有一条线段连接的两个三角形2.(2014新课标全国卷)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是()a三棱锥b三棱柱c四棱锥d四棱柱解析：选b将三视图还原为几何体即可如图，几何体为三棱柱类题通法1对于简单几何体的组合体，在画其三视图时首先应分清它是由哪些简单几何体组成的，然后再画其三视图2由三视图还原几何体时，要遵循以下三步：(1)看视图，明关系；(2)分部分，想整体；(3)综合起来，定整体演练冲关1(2015南阳三模)已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一条直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为()解析：选c当正视图为等腰三角形时，则高应为2，且应为虚线，排除a，d；当正视图是直角三角形，由条件得一个直观图如图所示，中间的线是看不见的线pa形成的投影，应为虚线，故答案为c.2.如图由若干个相同的小立方体组成的几何体的俯视图，其中小立方体中的数字表示相应位置的小立方体的个数，则该几何体的侧视图为()解析：选c由俯视图知侧视图从左到右能看到的小立方体个数分别为2,3,1.|(重点保分型考点师生共研)必备知识1在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半”2按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积有以下关系：s直观图s原图形，s原图形2s直观图典题例析(2015福州模拟)用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是()解析：选a由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为，所以原图形为平行四边形，位于y轴上的对角线长为2.类题通法用斜二测画法画直观图的技巧在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x轴或y轴平行，原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线，原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点后，用平滑的曲线连接而画出演练冲关用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边ab平行于y轴，bc，ad平行于x轴已知四边形abcd的面积为2 cm2，则原平面图形的面积为()a4 cm2b4 cm2c8 cm2 d8 cm2解析：选c依题意可知bad45，则原平面图形为直角梯形，上下底面的长与bc，ad相等，高为梯形abcd的高的2倍，所以原平面图形的面积为8 cm2.一、选择题1(2014福建高考)某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是()a圆柱b圆锥c四面体 d三棱柱解析：选a圆柱的正视图是矩形，则该几何体不可能是圆柱2(2014湖北高考)在如图所示的空间直角坐标系oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)给出编号的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为()a和 b和c和 d和解析：选d在空间直角坐标系oxyz中作出棱长为2的正方体，在该正方体中作出四面体，如图所示，由图可知，该四面体的正视图为，俯视图为.选d.3(2015烟台一模)若一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为()a1 b2c3 d4解析：选d观察三视图，可得直观图如图所示该三棱锥abcd的底面bcd是直角三角形，ab平面bcd，cdbc，侧面abc，abd是直角三角形；由cdbc，cdab，知cd平面abc，cdac，侧面acd也是直角三角形，故选d.4(2015淄博一模)把边长为1的正方形abcd沿对角线bd折起，形成的三棱锥abcd的正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为()a. b.c. d.解析：选d由正视图与俯视图可得三棱锥abcd的一个侧面与底面垂直，其侧视图是直角三角形，且直角边长均为，所以侧视图的面积为s，选d.5(2015武昌调研)已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图是()解析：选d易知该三棱锥的底面是直角边分别为1和2的直角三角形，注意到侧视图是从左往右看得到的图形，结合b、d选项知，d选项中侧视图方向错误，故选d.6.如图，在正方体abcda1b1c1d1中，点p是上底面a1b1c1d1内一动点，则三棱锥pabc的正(主)视图与侧(左)视图的面积的比值为()a.b1c2d不确定，与点p的位置有关解析：选b 如题图所示，设正方体的棱长为a，则三棱锥pabc的正(主)视图与侧(左)视图都是三角形，且面积都是a2，故选b.二、填空题7.(2015西城区期末)已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧(左)视图如图所示，那么此三棱柱正(主)视图的面积为_解析：由正三棱柱三视图还原直观图可得正(主)视图是一个矩形，其中一边的长是侧(左)视图中三角形的高，另一边是棱长因为侧(左)视图中三角形的边长为2，所以高为，所以正视图的面积为2.答案：28如图，矩形oabc是水平放置的一个平面图形的直观图，其中oa6，oc2，则原图形oabc的面积为_解析：由题意知原图形oabc是平行四边形，且oabc6，设平行四边形oabc的高为oe，则oeoc，oc2，oe4，soabc6424.答案：249(2015武邑一模)某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则ab的最大值为_解析：本题构造长方体，体对角线长为，其在侧视图中为侧面对角线a，在俯视图中为底面对角线b，设长方体底面宽为1，则b21a216，即a2b28，利用不等式24，则ab4.答案：410给出下列命题：在正方体上任意选择4个不共面的顶点，它们可能是正四面体的4个顶点；底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱其中正确命题的序号是_解析：正确，正四面体是每个面都是等边三角形的四面体，如正方体abcd a1b1c1d1中的四面体a cb1d1；错误，反例如图所示，底面abc为等边三角形，可令abvbvcbcac，则vbc为等边三角形，vab和vca均为等腰三角形，但不能判定其为正三棱锥；错误，必须是相邻的两个侧面答案：三、解答题11已知：图是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成解：图几何体的三视图为：图所示的几何体是上面为正六棱柱，下面为倒立的正六棱锥的组合体12如图，在四棱锥pabcd中，底面为正方形，pc与底面abcd垂直，下图为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6 cm的全等的等腰直角三角形(1)根据图所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；(2)求pa.解：(1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)边长为6 cm的正方形，如图，其面积为36 cm2.(2)由侧视图可求得pd6.由正视图可知ad6，且adpd，所以在rtapd中，pa6 cm.第二节空间几何体的表面积与体积基础盘查一柱体、锥体、台体的表面积(一)循纲忆知了解柱体、锥体、台体的表面积的计算公式(二)小题查验1判断正误(1)几何体的表面积就是其侧面积与底面积的和()(2)几何体的侧面积是指各个侧面积之和()答案：(1)(2)2(人教a版教材例题改编)已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体sabc，则它的表面积为_解析：过s作sdbc，bca，sdassbca2，表面积s4a2a2.答案：a23.(2015北京石景山一模)正三棱柱的侧(左)视图如图所示，则该正三棱柱的侧面积为_解析：由侧(左)视图知：正三棱柱的高(侧棱长)为2，底边上的高为，所以底边边长为2，侧面积为32212.答案：12基础盘查二柱体、锥体、台体的体积(一)循纲忆知了解柱体、锥体、台体的体积的计算公式(二)小题查验1判断正误(1)等底面面积且等高的两个同类几何体的体积相等()(2)在三棱锥pabc中，vpabcvapbcvbpacvcpab()答案：(1)(2)2(人教b版教材例题改编)如图，在长方体abcdabcd中，用截面截下一个棱锥cadd，则棱锥cadd的体积与剩余部分的体积之比为_答案：153(2015海淀高三练习)已知某四棱锥，底面是边长为2的正方形，且俯视图如图所示若该四棱锥的侧视图为直角三角形，则它的体积为_解析：由俯视图可知，四棱锥顶点在底面的射影为o(如图)，又侧视图为直角三角形，则直角三角形的斜边为bc2，斜边上的高为so1，此高即为四棱锥的高，故v221.答案：基础盘查三球的表面积与体积(一)循纲忆知了解球的表面积与体积的计算公式(二)小题查验1判断正误(1)球的表面是曲面，不能展开在一平面上，故没有展开图()(2)正方体的内切球中其直径与棱长相等()答案：(1)(2)2(人教a版教材例题改编)圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的体积与圆柱体积之比为_，球的表面积与圆柱的侧面积之比为_答案：23113.已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是_解析：依题意得，该几何体是球的一个内接正方体，且该正方体的棱长为2.设该球的直径为2r，则2r2，所以该几何体的表面积为4r24()212.答案：12|(基础送分型考点自主练透)必备知识当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时，得到圆锥，由此可得：s圆柱侧2rls圆台侧(rr)ls圆锥侧rl提醒组合体的表面积应注意重合部分的处理题组练透1(2014陕西高考)将边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是()a4b3c2 d 解析：选c由几何体的形成过程知所得几何体为圆柱，底面半径为1，高为1，其侧面积s2rh2112.2(2014安徽高考)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为()a21 b18c21 d18解析：选a由三视图可知该几何体的直观图如图所示，其是棱长为2的正方体从后面右上角和前面左下角分别截去一个小三棱锥后剩余的部分，其表面积为s6462()221.3已知某几何体的三视图的正视图和侧视图是全等的等腰梯形，俯视图是两个同心圆，如图所示，则该几何体的表面积为_解析：由三视图知该几何体为上底直径为2，下底直径为6，高为2的圆台，则几何体的表面积s19(13)26.答案：26类题通法求几何体的表面积的方法(1)求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差求得几何体的表面积|(重点保分型考点师生共研)必备知识1柱体v柱体sh；v圆柱r2h.2锥体v锥体sh；v圆锥r2h.3台体v台体(ss)h；v圆台h(r2rrr2)提醒(1)求一些不规则几何体的体积常用割补的方法将几何体转化成已知体积公式的几何体进行解决(2)与三视图有关的体积问题需注意几何体还原的准确性及数据的准确性典题例析1(2014辽宁高考)某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为()a82b8c8 d8解析：选b直观图为棱长为2的正方体割去两个底面半径为1的圆柱，所以该几何体的体积为2321228.2(2014山东高考)三棱锥pabc中，d，e分别为pb，pc的中点，记三棱锥dabe的体积为v1，pabc的体积为v2，则_.解析：如图，设点c到平面pab的距离为h，三角形pab的面积为s，则v2sh，v1veadbshsh，所以.答案：类题通法1计算柱、锥、台的体积关键是根据条件找出相应的底面积和高2注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法，应熟练掌握3求以三视图为背景的几何体的体积应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解演练冲关1(2015唐山统考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()a816 b816c88 d168解析：选b由三视图可知：几何体为一个半圆柱去掉一个直三棱柱半圆柱的高为4，底面半圆的半径为2，直三棱柱的底面为斜边是4的等腰直角三角形，高为4，故几何体的体积v224424816.2(2015苏州测试)如图，在直四棱柱abcda1b1c1d1中，点e，f分别在aa1，cc1上，且aeaa1，cfcc1，点a，c到bd的距离之比为32，则三棱锥ebcd和fabd的体积比_.解析：由题意可知点a，c到bd的距离之比为32，所以，又直四棱柱abcda1b1c1d1中，aeaa1，cfcc1，所以，于是.答案：|(常考常新型考点多角探明)必备知识1球的表面积公式：s4r2；球的体积公式vr32与球有关的切、接问题中常见的组合：(1)正四面体与球：如图，设正四面体的棱长为a，内切球的半径为r，外接球的半径为r，取ab的中点为d，连接cd，se为正四面体的高，在截面三角形sdc内作一个与边sd和dc相切，圆心在高se上的圆因为正四面体本身的对称性，内切球和外接球的球心同为o.此时，coosr，oer，se a，cea，则有rr a，r2r2|ce|2，解得ra，ra.(2)正方体与球：正方体的内切球：截面图为正方形efhg的内切圆，如图所示设正方体的棱长为a，则|oj|r(r为内切球半径)与正方体各棱相切的球：截面图为正方形efhg的外接圆，则|go|ra.正方体的外接球：截面图为正方形acc1a1的外接圆，则|a1o|ra.(3)三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球：如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，则可以补形为一个正方体，正方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心即三棱锥a1ab1d1的外接球的球心和正方体abcda1b1c1d1的外接球的球心重合如图，设aa1a，则ra.如果三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相等，则可以补形为一个长方体，长方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心r2(l为长方体的体对角线长)多角探明与球相关的切、接问题是高考命题的热点，也是考生的难点、易失分点命题角度多变归纳起来常见的命题角度有：(1)正四面体的内切球；(2)直三棱柱的外接球；(3)正(长)方体的外接球；(4)四棱锥的外接球.角度一：正四面体的内切球1(2015长春模拟)若一个正四面体的表面积为s1，其内切球的表面积为s2，则_.解析：设正四面体棱长为a，则正四面体表面积为s14a2a2，其内切球半径为正四面体高的，即raa，因此内切球表面积为s24r2，则.答案：角度二：直三棱柱的外接球2(2015唐山统考)如图，直三棱柱abca1b1c1的六个顶点都在半径为1的半球面上，abac，侧面bcc1b1是半球底面圆的内接正方形，则侧面abb1a1的面积为()a2b1c. d.解析：选c由题意知，球心在侧面bcc1b1的中心o上，bc为截面圆的直径，bac90，abc的外接圆圆心n是bc的中点，同理a1b1c1的外心m是b1c1的中心设正方形bcc1b1的边长为x，rtomc1中，om，mc1，oc1r1(r为球的半径)，221，即x，则abac1，s矩形abb1a11.角度三：正方体的外接球3一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示(图中三个四边形都是边长为2的正方形)，则该几何体外接球的体积为_解析：依题意可知，新的几何体的外接球也就是原正方体的外接球，要求的直径就是正方体的体对角线；2r2(r为球的半径)，r，球的体积vr34.答案：4角度四：四棱锥的外接球4(2014大纲卷)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为()a. b16c9 d.解析：选a如图所示，设球半径为r，底面中心为o且球心为o，正四棱锥pabcd中ab2，ao.po4，在rtaoo中，ao2ao2oo2，r2()2(4r)2，解得r，该球的表面积为4r242，故选a.类题通法“切”“接”问题的处理规律1“切”的处理解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作2“接”的处理把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径一、选择题1(2015云南一检)如果一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图都是半径等于5的圆，那么这个空间几何体的表面积等于()a100b.c25 d.解析：选a易知该几何体为球，其半径为5，则表面积为s4r2100.2(2014陕西高考)已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为()a. b4c2 d.解析：选d因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半，所以半径r1，所以v球13.故选d.3已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的底面边长为时，其高的值为()a3 b.c2 d2解析：选d设正六棱柱的高为h，则可得()232，解得h2.4(2015遵义模拟)一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是菱形，则该几何体的侧面积为()a. b.c. d.解析：选c由三视图还原为空间几何体，如图所示，则有oaob1，ab.又pb平面abcd，pbbd，pbab，pd，pa，从而有pa2da2pd2，pada，该几何体的侧面积s212.5(2015惠州二调)一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左(侧)视图均为半径是2的圆，则这个几何体的体积是()a16 b14c12 d8解析：选d由三视图可知，该几何体为一个球切去四分之一个球后剩余的部分，由于球的半径为2，所以这个几何体的体积v238.6(2014安徽高考)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为()a. b. c. 6 d7解析：选a如图，由三视图可知，该几何体是由棱长为2的正方体从右后和左下分别截去一个小三棱锥得到的，其体积为v82111.二、填空题7(2014天津高考)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为_m3.解析：该几何体是一个组合体，上半部分是一个圆锥，下半部分是一个圆柱因为v圆锥222，v圆柱1244，所以该几何体体积v4.答案：8(2015山西四校联考)将长、宽分别为4和3的长方形abcd沿对角线ac折起，得到四面体abcd，则四面体abcd的外接球的体积为_解析：设ac与bd相交于o，折起来后仍然有oaobocod，外接球的半径r，从而体积v3.答案：9(2014山东高考)一个六棱锥的体积为2 ，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为_解析：由题意可知，该六棱锥是正六棱锥，设该六棱锥的高为h，则622h2，解得h1，底面正六边形的中心到其边的距离为，故侧面等腰三角形底边上的高为2，故该六棱锥的侧面积为12212.答案：1210(2015云南一模)一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球o的球面上，则该圆锥的体积与球o的体积的比值为_解析：设等边三角形的边长为2a，则v圆锥a2aa3；又r2a2(ar)2，所以ra，故 v球3a3，则其体积比为.答案：三、解答题11.(2015安徽六校联考)如图所示，在多面体abcdef中，已知abcd是边长为1的正方形，且ade，bcf均为正三角形，efab，ef2，求该多面体的体积解：法一：如图所示，分别过a，b作ef的垂线，垂足分别为g，h，连接dg，ch，则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱，三棱锥高为，直三棱柱柱高为1，ag ，取ad中点m，则mg，sagd1，v12.法二：如图所示，取ef的中点p，则原几何体分割为两个三棱锥和一个四棱锥，易知三棱锥paed和三棱锥pbcf都是棱长为1的正四面体，四棱锥pabcd为棱长为1的正四棱锥v122.12(2015杭州一模)已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于两底面面积之和，求棱台的体积解：如图所示，在三棱台abcabc中，o，o分别为上、下底面的中心，d，d分别是bc，bc的中点，则dd是等腰梯形bccb的高，又ab20 cm，ab30 cm，所以s侧3(2030)dd75dd.s上s下(202302)325(cm2)由s侧s上s下，得75dd325，所以dd cm，又因为od20(cm)，od305(cm)，所以棱台的高hoo 4(cm)，由棱台的体积公式，可得棱台的体积为v(s上s下)1 900(cm3)故棱台的体积为1 900 cm3.第三节空间点、直线、平面之间的位置关系基础盘查一平面的基本性质(一)循纲忆知1了解可以作为推理依据的公理和定理2能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题(二)小题查验1判断正误(1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分()(2)两个平面，有一个公共点a，就说，相交于a点，记作a()(3)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面()(4)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合()答案：(1)(2)(3)(4)2(人教a版教材习题改编)设p表示一个点，a，b表示两条直线，表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是_pa，pa；abp，ba；ab，a，pb，pb；b，p，ppb答案：基础盘查二空间直线的位置关系(一)循纲忆知理解空间直线位置关系的定义(平行、相交、异面)(二)小题查验1判断正误(1)已知a，b，c，d是四条直线，若ab，bc，cd，则ad()(2)两条直线a，b没有公共点，那么a与b是异面直线()(3)若a，b是两条直线，是两个平面，且a，b，则a，b是异面直线()答案：(1)(2)(3)2(人教a版教材习题改编)给出命题若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线互相平行若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行其中不正确的命题的个数为_答案：23在正方体abcdabcd中直线ba与cc所成角大小为_答案：45基础盘查三直线与平面、平面与平面之间的位置关系(一)循纲忆知1理解直线与平面位置关系的定义(直线在平面内、相交、平行)；2理解平面与平面位置关系的定义(相交、平行)(二)小题查验1判断正误(1)若直线a不平行平面且a，则内存在唯一的直线与a平行()(2)三个平面两两相交，那么它们有三条交线()(3)已知两相交直线a，b，a平面，则b()(4)若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一平面的位置关系是平行或在此平面内()答案：(1)(2)(3)(4)2若直线ab，且直线a平面，则直线b与平面的位置关系是_答案：b与相交或b或b3已知l，m是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题：若l，m，l，m，则；若l，l，m，则lm；若，l，则l；若l，ml，则m.其中真命题_(写出所有真命题的序号)答案：|(基础送分型考点自主练透)必备知识四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内作用：可用来证明点、直线在平面内公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面作用：可用来确定一个平面；证明点线共面公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线作用：可用来确定两个平面的交线；判断或证明多点共线；判断或证明多线共点公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行作用：判断空间两条直线平行的依据提醒(1)三点不一定确定一个平面当三点共线时，可确定无数个平面(2)公理与推论中“有且只有”的含义是“存在且唯一”，“有且只有”有时也说成“确定”题组练透1在下列命题中，不是公理的是()a平行于同一个平面的两个平面相互平行b过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面c如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内d如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么他们有且只有一条过该点的公共直线解析：选a选项a是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的2如图所示，在正方体abcda1b1c1d1中，e，f分别是ab，aa1的中点求证：(1)e，c，d1，f四点共面；(2)ce，d1f，da三线共点证明：(1)如图，连接ef，cd1，a1b.e，f分别是ab，aa1的中点，efa1b.又a1bcd1，efcd1，e，c，d1，f四点共面(2)efcd1，efcd1，ce与d1f必相交，设交点为p，则由pce，ce平面abcd，得p平面abcd.同理p平面add1a1.又平面abcd平面add1a1da，p直线da.ce，d1f，da三线共点类题通法1点线共面问题的证明方法：(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证有关点、线在此平面内；(2)辅助平面法：先证有关点、线确定平面，再证其余点、线确定平面，最后证明平面，重合2证明多线共点问题，常用的方法是：先证其中两条直线交于一点，再证交点在第三条直线上证交点在第三条直线上时，第三条直线应为前两条直线所在平面的交线，可以利用公理3证明|(重点保分型考点师生共研)必备知识(1)位置关系的分类：(2)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补提醒(1)“不同在任何一个平面内”指这两条直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交；(2)不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线为异面直线典题例析1(2014广东高考)若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1l2，l2l3，l3l4，则下列结论一定正确的是()al1l4bl1l4cl1与l4既不垂直也不平行dl1与l4的位置关系不确定解析：选d构造如图所示的正方体abcda1b1c1d1，取l1为ad，l2为aa1，l3为a1b1，当取l4为b1c1时，l1l4，当取l4为bb1时，l1l4，故排除a，b，c，选d.2如图是正四面体的平面展开图，g，h，m，n分别为de，be，ef，ec的中点，在这个正四面体中，gh与ef平行；bd与mn为异面直线；gh与mn成60角；de与mn垂直以上四个命题中，正确命题的序号是_解析：还原成正四面体知gh与ef为异面直线，bd与mn为异面直线，gh与mn成60角，demn.答案：类题通法1空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定，对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决2解决位置关系问题时，要注意几何模型的选取，如利用正(长)方体模型来解决问题演练冲关已知空间四边形abcd中，e，h分别是边ab，ad的中点，f，g分别是边bc，cd的中点(1)求证：bc与ad是异面直线；(2)求证：eg与fh相交证明：(1)假设bc与ad共面，不妨设它们所共平面为，则b，c，a，d.所以四边形abcd为平面图形，这与四边形abcd为空间四边形相矛盾所以bc与ad是异面直线(2)如图，连接ac，bd，则efac，hgac，因此efhg；同理ehfg，则efgh为平行四边形又eg，fh是efgh的对角线，所以eg与hf相交|(题点多变型考点全面发掘)必备知识(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点o作直线aa，bb，把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)(2)范围：.提醒异面直线所成的角的范围是，所以垂直分两种情况异面垂直和相交垂直一题多变典型母题如图在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱abcd a1b1c1d1中，aa12ab2，则异面直线a1b与ad1所成角的余弦值为()a. b.c. d.解析连接bc1，易证bc1ad1，则a1bc1即为异面直线a1b与ad1所成的角连接a1c1，由ab1，则aa12，a1c1，a1bbc1，故cosa1bc1.答案d题点发散1将本例条件“aa12ab2”改为“ab1，若平面abcd内有且仅有一点到顶点a1的距离为1”，问题不变解：由平面abcd内仅有一点到a1的距离为1，则aa11.此时正四棱柱变为正方体abcda1b1c1d1，由图知a1b与ad1所成角为a1bc1，连接a1c1.则a1bc1为等边三边形，a1bc160，cosa1bc1，故异面直线a1b与ad1所成角的余弦值为.题点发散2将本例条件“aa12ab2”改为“ab1，若异面直线a1b与ad1所成角的余弦值为”，试求：的值解：设t，则aa1tab.ab1，aa1t，由题意知a1bc1为所求，又a1c1，a1bbc1，cos a1bc1，t3，即3.题点发散3在本例条件下，若点p在平面a1b1c1d1内且不在对角线b1d1上，过点p在平面a1b1c1d1内作一直线m，使m与直线bd成角，且.这样的直线可作几条？解：在平面a1b1c1d1内作m，使m与b1d1相交成角bdb1d1，直线m与bd也成角，即m为所求且m与bd是异面直线，当时，m只有一条，当时，这样的直线有两条类题通法用平移法求异面直线所成的角的三步法(1)一作：即据定义作平行线，作出异面直线所成的角；(2)二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角一、选择题1l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()al1l2，l2l3l1l3bl1l2，l2l3l1l3cl1l2l3l1，l2，l3共面dl1，l2，l3共点l1，l2，l3共面解析：选b若l1l2，l2l3，则l1，l3有三种位置关系，可能平行、相交或异面，a不正确；当l1l2l3或l1，l2，l3共点时，l1，l2，l3可能共面，也可能不共面，c，d不正确；当l