（江苏专用）高考数学 考前三个月 必考题型过关练 第27练 立体几何中的计算问题 理.doc

第27练立体几何中的计算问题题型一立体几何中的表面积、体积计算例1已知球的直径sc4，a，b是该球球面上的两点，ab，ascbsc30，则三棱锥sabc的体积为_破题切入点作出图形，可知三棱锥sabc的体积是两个三棱锥之和，通过三角形的边角关系，计算可得所求答案解析如图，过a作ad垂直sc于d，连结bd.由于sc是球的直径，所以sacsbc90，又ascbsc30，又sc为公共边，所以sacsbc.由于adsc，所以bdsc.由此得sc平面abd.所以vsabcvsabdvcabdsabdsc.由于在rtsac中，asc30，sc4，所以ac2，sa2，由于ad.同理在rtbsc中也有bd.又ab，所以abd为正三角形，所以vsabcsabdsc()2sin 604.题型二立体几何中的长度、距离的计算例2已知正三棱锥pabc，点p，a，b，c都在半径为的球面上，若pa，pb，pc两两相互垂直，则球心到截面abc的距离为_破题切入点作出图形，关键是找到球心的位置答案解析如图，作pm面abc，设paa，则aba，cma，pma.设球的半径为r，所以22r2，将r代入上式，解得a2，所以d.题型三立体几何中有关角度的计算例3(2013山东改编)已知三棱柱abca1b1c1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形若p为底面a1b1c1的中心，则pa与平面abc所成角的大小为_破题切入点如何找到线面角是该题的关键答案解析如图所示，过p作po垂直于平面abc，则o为abc的中心，连结ao，则oap是pa与平面abc所成的角sabcsin 60.sabcopop，op.又oa1，tanoap，又0oap，oap.总结提高(1)立体几何中有关表面积体积的计算首先要熟悉几何体的特征，其次运用好公式，作好辅助线等(2)立体几何中有关长度和距离的求解要准确灵活转化，计算距离时要注意垂直距离如何找到，有时利用等体积的方法(3)立体几何中有关角度的范围关键把握角的范围和如何找到，然后就是求角的什么三角函数值，注意审题1(2014大纲全国改编)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为_答案解析如图，设球心为o，半径为r，则rtaof中，(4r)2()2r2，解得r，所以，该球的表面积为4r24()2.2(2014福建改编)以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积为_答案2解析以正方形的一边所在直线为轴旋转得到的圆柱底面半径r1，高h1，所以侧面积s2rh2.3(2013辽宁改编)已知直三棱柱abca1b1c1的6个顶点都在球o的球面上若ab3，ac4，abac，aa112，则球o的半径为_答案解析因为abac，且aa1底面abc，将直三棱柱补成内接于球的长方体，则长方体的对角线l 2r，r.4在三棱柱abca1b1c1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点d是侧面bb1c1c的中心，则ad与平面bb1c1c所成角的大小是_答案60解析取bc中点e，连结ae，则ae平面bcc1b1，故ade为直线ad与平面bb1c1c所成的角设各棱长为a，则aea，dea.tanade.ade60.5.如图，四棱锥pabcd的底面是一直角梯形，abcd，baad，cd2ab，pa底面abcd，e为pc的中点，则be与平面pad的位置关系为_答案平行解析取pd的中点f，连结ef，在pcd中，ef綊cd.又abcd且cd2ab，ef綊ab，四边形abef是平行四边形，ebaf.又eb平面pad，af平面pad，be平面pad.6已知两球o1和o2在棱长为1的正方体abcda1b1c1d1的内部，且互相外切，若球o1与过点a的正方体的三个面相切，球o2与过点c1的正方体的三个面相切，则球o1和球o2的表面积之和的最小值为_答案(63)解析设球o1，o2的半径分别为r1，r2，由题意知o1ao1o2o2c1，而o1ar1，o1o2r1r2，o2c1r2，r1r1r2r2.r1r2，从而s1s24r4r4(rr)4(63).7.如图，正方体abcda1b1c1d1中，ab2，点e为ad的中点，点f在cd上若ef平面ab1c，则线段ef的长度为_答案解析在正方体abcda1b1c1d1中，ab2，ac2.又e为ad的中点，ef平面ab1c，ef平面adc，平面adc平面ab1cac，efac，f为dc的中点，efac.8(2014江苏)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为s1，s2，体积分别为v1，v2，若它们的侧面积相等，且，则的值是_答案解析设两个圆柱的底面半径和高分别为r1，r2和h1，h2，由，得，则.由圆柱的侧面积相等，得2r1h12r2h2，即r1h1r2h2，所以.9.如图所示，在正三角形abc中，d，e，f分别为各边的中点，g，h分别为de，af的中点，将abc沿de，ef，df折成正四面体pdef(点a、b、c重合后记为p)，则四面体中异面直线pg与dh所成角的余弦值为_答案解析折成的正四面体如图所示，连结he，取he的中点k，连结gk，pk，则gkdh，故pgk即为所求的异面直线所成角或其补角设这个正四面体的棱长为2，在pgk中，pg，gk，pk ，故cospgk.即异面直线pg与dh所成角的余弦值为.10. (2013安徽)如图，正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，p为bc的中点，q为线段cc1上的动点，过点a，p，q的平面截该正方体所得的截面记为s.则下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号)当0cq时，s为四边形；当cq时，s为等腰梯形；当cq时，s与c1d1的交点r满足c1r；当cq1时，s为六边形；当cq1时，s的面积为.答案解析当0cq时，如图(1)在平面aa1d1d内，作aepq，显然e在棱dd1上，连结eq，则s是四边形apqe.当cq时，如图(2)显然pqbc1ad1，连结d1q，则s是等腰梯形当cq时，如图(3)作bfpq交cc1的延长线于点f，则c1f.作aebf，交dd1的延长线于点e，d1e，aepq，连结eq交c1d1于点r，rtrc1qrtrd1e，c1qd1ec1rrd112，c1r.当cq1时，如图(3)，连结rm(点m为ae与a1d1交点)，显然s为五边形apqrm.当cq1时，如图(4)同可作aepq交dd1的延长线于点e，交a1d1于点m，显然点m为a1d1的中点，s为菱形apqm，其面积为mpaq.11已知一个圆锥的底面半径为r，高为h，在其内部有一个高为x的内接圆柱(1)求圆柱的侧面积；(2)x为何值时，圆柱的侧面积最大？解(1)作圆锥的轴截面，如图所示设内接圆柱的半径为r.因为，所以rrx，所以s圆柱侧2rx2rxx2(0xh)(2)因为0，所以当x时，s圆柱侧最大故当x，即圆柱的高为圆锥高的一半时，圆柱的侧面积最大12(2014北京)如图，在三棱柱abca1b1c1中，侧棱垂直于底面，abbc，aa1ac2，bc1，e，f分别是a1c1，bc的中点(1)求证：平面abe平面b1bcc1；(2)求证：c1f平面abe；(3)求三棱锥eabc的体积(1)证明在三棱柱abca1b1c1中，bb1底面abc，所以bb1ab.又因为abbc，bb1bcb，所以ab平面b1bcc1，又因为ab平面abe，所以平面abe平面b1bcc1.(2)证明取ab的中点g，连结eg，fg.因为e，f分别是a1c1