福建省宁德市五校教学联合体高二数学下学期期中试卷 理（含解析）.doc

福建省宁德市五校教学联合体2014-2015学年高二下学期期中数学试卷（理科） 一选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）复平面上表示复数z=1i（i为虚数单位）的点在（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限2（5分）=（）a1b0cd13（5分）已知函数y=xlnx，则其在点（e，e）处的切线的斜率是（）a1b2cde4（5分）一个物体的运动方程为s（t）=sint，则它在时的速度为（）abcd5（5分）用反证法证明命题：“若a0，b0，a3+b3=2，则a+b2”时，反设正确的是（）aa+b2ba+b2ca+b2da+b26（5分）由直线x=0，x=2，y=0与曲线y=ex所围成的封闭图形的面积为（）ae2bece21de2+17（5分）若f（x）=x3ax+1在（0，1）上单调递减，则实数a的取值范围是（）aa2ba3ca3da38（5分）下面使用类比推理正确的是（）a若直线ab，bc，则ac类比推出：若向量，则ba（b+c）=ab+ac类比推出：loga（x+y）=logax+logayc已知a，br，若方程x2+ax+b=0有实数根，则a24b0类比推出：已知a，bc，若方程x2+ax+b=0有实数根，则a24b0d长方形对角线的平方等于长与宽的平方和类比推出：长方体对角线的平方等于长、宽、高的平方和9（5分）已知函数y=xf（x）的图象如图（其中f（x）是函数f（x）的导函数），下面四个图象中，y=f（x）的图象可能是（）abcd10（5分）设点p在直线y=x上，点q在曲线y=lnx上，则|pq|最小值为（）abc1dln211（5分）已知ab2，现有下列不等式：b23ba；a3+b3a2b+ab2；aba+b；+其中正确的是（）abcd12（5分）已知定义在上的函数f（x）=（x2+ax+b）x，在x=1处的切线斜率均为1有以下命题：f（x）是奇函数；若f（x）在内递减，则|ts|的最大值为4；若方程f（x）m=0有三个根，则m的取值范围是；若对x，kf（x）恒成立，则k的最大值为3其中正确命题的个数为（）a1b2c3d4二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在答题卡相应位置13（4分）已知复数z=a+1ai（i为虚数单位）为纯虚数，则实数a=14（4分）已知函数，则f（1）=15（4分）=16（4分）已知cosx=a0+a1x+a2x2+anxn+有个同学用以下方法求a0，a1，a2，令x=0，得a0=1；由（cosx）=sinx=a1+2a2x+nanxn1+，令x=0，得a1=0，由（cosx）=cosx=2a2+23a3x+（n1）nanxn2+，令x=0，得a2=，依此类推，我们可得a2n=三、解答题：本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）已知复数，若|z|2+az+b=1i（）求；（）求实数a，b的值18（12分）已知数列an，a1=3，（nn*）（）求a2，a3，a4的值；（）猜想an的通项公式，并用数学归纳法加以证明19（12分）已知函数f（x）=xplnx（）当p=1时，求函数f（x）的单调区间；（）求f（x）的极值20（12分）函数f（x）=的图象在点m（1，3）处的切线方程为x+y4=0（）求a，b的值；（）m，nr，若时，f（x）minm2+n2，且存在使得f（x0）m2+n2，求复数z=m+ni在复平面上对应的点构成的区域面积21（12分）宁德至福州铁路里程约为100km，和谐号动车从宁德站出发，前2分钟内变速运行，其速度v（米/分钟）关于时间t（分钟）满足函数关系：v（t）=at3+bt2+ct+d，且v（0）=v（2）=0，之后匀速行驶24分钟，再减速行驶5km至终点（福州站）（）求：前2分钟速度v（t）的函数关系式；（）求动车运行过程中速度的最大值22（14分）设f（x）=ex，g（x）=ax2+bx+c（）（i）求g（x）的表达式；（ii）令h（x）=f（x）g（x），证明：函数h（x）恰有一个零点；（）求证：福建省宁德市五校教学联合体2014-2015学年高二下学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）复平面上表示复数z=1i（i为虚数单位）的点在（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义 专题：数系的扩充和复数分析：直接利用复数的对应点的坐标判断即可解答：解：复平面上表示复数z=1i（i为虚数单位）的点（1，1）在第四象限故选：d点评：本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的几何意义，考查计算能力2（5分）=（）a1b0cd1考点：定积分 专题：导数的概念及应用分析：根据定积分的计算法则计算即可解答：解：=x2|=，故选：c点评：本题考查了定积分的计算，关键是求出原函数，属于基础题3（5分）已知函数y=xlnx，则其在点（e，e）处的切线的斜率是（）a1b2cde考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：导数的概念及应用分析：求导函数，将x=e代入，即可得到斜率解答：解：求导函数可得y=lnx+1x=e时，y=lne+1=2，即有在点（e，e）处的切线的斜率是2故选：b点评：本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，正确求导是关键4（5分）一个物体的运动方程为s（t）=sint，则它在时的速度为（）abcd考点：导数的运算 专题：导数的概念及应用分析：根据导数的物理意义，对关于t的函数求导，然后取，计算导数解答：解：v=s（t）=（sint）=cost，所以物体在时的速度为：cos=；故选a点评：本题考查了导数的物理意义；已知位移关于时间的解析式，对时间求导，得到的导数就是物体的速度与时间的关系式5（5分）用反证法证明命题：“若a0，b0，a3+b3=2，则a+b2”时，反设正确的是（）aa+b2ba+b2ca+b2da+b2考点：反证法与放缩法 专题：证明题；推理和证明分析：“a+b2”的否定是“a+b2”，由此可得结论解答：解：“a+b2”的否定是“a+b2”，用反证法证明命题：“若a0，b0，a3+b3=2，则a+b2”时，反设是“a+b2”故选：d点评：本题考查反证法，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题6（5分）由直线x=0，x=2，y=0与曲线y=ex所围成的封闭图形的面积为（）ae2bece21de2+1考点：极限及其运算 专题：导数的概念及应用分析：利用定积分的几何意义得出直线x=0，x=2，y=0与曲线y=ex所围成的封闭图形的面积为s，计算即可解答：解：设直线x=0，x=2，y=0与曲线y=ex所围成的封闭图形的面积为s，根据积分的几何意义得出：s=exdx=ex|=e2e0=e21故选：c点评：本题主要考查了定积分在求面积中的应用，以及定积分的计算，属于基础题7（5分）若f（x）=x3ax+1在（0，1）上单调递减，则实数a的取值范围是（）aa2ba3ca3da3考点：函数单调性的性质 专题：函数的性质及应用分析：先求出函数的导数，由题意和导数与函数单调性的关系得：f（x）=3x2a0在（0，1）上恒成立，利用二次函数的单调性求出导数的最大值，再求出a的范围解答：解：由题意可得，f（x）=3x2a，f（x）=x3ax+1在（0，1）上单调递减，f（x）=3x2a0在（0，1）上恒成立，f（x）的最大值是f（1）=3a，3a0，解得a3，故选：d点评：本题考查导数与函数的单调性的关系，以及恒成立问题的转化，考查转化思想，属于中档题8（5分）下面使用类比推理正确的是（）a若直线ab，bc，则ac类比推出：若向量，则ba（b+c）=ab+ac类比推出：loga（x+y）=logax+logayc已知a，br，若方程x2+ax+b=0有实数根，则a24b0类比推出：已知a，bc，若方程x2+ax+b=0有实数根，则a24b0d长方形对角线的平方等于长与宽的平方和类比推出：长方体对角线的平方等于长、宽、高的平方和考点：类比推理 专题：综合题；推理和证明分析：对四个命题分别进行判断，即可得出结论解答：解：对于a，=时，结论不成立；对于b，根据对数的运算法则知：loga（x+y）logax+logay，不正确；对于c，已知a，br，若方程x2+ax+b=0有实数根，则a24b0类比推出：已知a，bc，若方程x2+ax+b=0有实数根，则a24b0，不正确对于d，长方形对角线的平方等于长与宽的平方和由勾股定理类比推出：长方体对角线的平方等于长、宽、高的平方和，正确故选：d点评：类比推理中的类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去其思维过程大致是：观察、比较 联想、类推 猜测新的结论结论的正确与否，必须经过证明9（5分）已知函数y=xf（x）的图象如图（其中f（x）是函数f（x）的导函数），下面四个图象中，y=f（x）的图象可能是（）abcd考点：利用导数研究函数的单调性 专题：导数的概念及应用分析：根据函数y=xf（x）的图象，依次判断f（x）在区间（，1），（1，0），（0，1），（1，+）上的单调性即可解答：解：由函数y=xf（x）的图象可知：当x1时，xf（x）0，f（x）0，此时f（x）增；当1x0时，xf（x）0，f（x）0，此时f（x）减；当0x1时，xf（x）0，f（x）0，此时f（x）减；当x1时，xf（x）0，f（x）0，此时f（x）增综上所述，y=f（x）的图象可能是b，故选：b点评：本题主要考查了函数的单调性与导数的关系，同时考查了分类讨论的思想，属于基础题10（5分）设点p在直线y=x上，点q在曲线y=lnx上，则|pq|最小值为（）abc1dln2考点：两点间距离公式的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：导数的概念及应用分析：设平行于直线y=x的直线y=x+b与曲线y=lnx相切，则两平行线间的距离即为|pq|的最小值，由导数和切线的关系由距离公式可得解答：解：设平行于直线y=x的直线y=x+b与曲线y=lnx相切，则两平行线间的距离即为|pq|的最小值，设直线y=x+b与曲线y=lnx的切点为（m，lnm），则由切点还在直线y=x+b可得lnm=m+b，由切线斜率等于切点的导数值可得=1，联立解得m=1，b=1，由平行线间的距离公式可得|pq|的最小值为=故选：a点评：本题考查导数和平行线间的距离公式，等价转化是解决问题的关键，属基础题11（5分）已知ab2，现有下列不等式：b23ba；a3+b3a2b+ab2；aba+b；+其中正确的是（）abcd考点：不等式的基本性质 专题：不等式分析：用作差法比较可得正确，通过给变量取特殊值检验可得不正确解答：解：对于，ab2，b2 3b+a=（ab）+b（b2）0+0=0，故不正确对于，若a3+b3（a2b+ab2）=（a+b）（a2ab+b2）ab（a+b）=（a+b）（a22ab+b2）=（a+b）（ab）20，故正确对于，ab（a+b ）=0，故正确对于，若+成立，当a=10，b=2时，左边为，右边也为，故不正确综上，只有正确，故选：c点评：本题考查比较两个式子大小的方法，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于基础题12（5分）已知定义在上的函数f（x）=（x2+ax+b）x，在x=1处的切线斜率均为1有以下命题：f（x）是奇函数；若f（x）在内递减，则|ts|的最大值为4；若方程f（x）m=0有三个根，则m的取值范围是；若对x，kf（x）恒成立，则k的最大值为3其中正确命题的个数为（）a1b2c3d4考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用；不等式的解法及应用分析：由f（0）=0，f（1）=f（1）=1，代入可求a，b，进而可求f（x）由于f（x）=x3+4x=f（x），即f（x）是奇函数；若f（x）在内递减，则t=，s=时，|ts|的最大；由f（x）的极值，可得直线y=m和曲线y=f（x）x有三个交点，等价为m介于极小值和极大值之间；若对x，由于f（x）=3x24，则kf（x）恒成立，则kf（x）min即可求解k解答：解：f（x）=x3+ax2+bx，在定义域x上表示的曲线过原点，f（0）=0，f（x）=3x2+2ax+b，且在x=1处的切线斜率均为1f（1）=f（1）=1，解得b=4，a=0，f（x）=x34x，f（x）=3x24对于，f（x）=x3+4x=f（x），即f（x）是奇函数；正确；对于，由f（x）0得x或x，f（x）在内单调递减，若f（x）在内递减，则t=，s=时|ts|的最大值为错误；对于，由的分析可得，x=时，f（x）取得极大值，x=时，f（x）取得极大值，结合单调性，可得方程f（x）m=0有三个根，即为直线y=m和曲线y=f（x）x有三个交点，则m的取值范围是，则正确；对于，若对x，由于f（x）=3x24，则kf（x）恒成立，则k4，则k的最大值为4错误正确命题的序号为故选：b点评：本题主要考查了函数的导数的几何意义的应用，函数的奇偶性及单调性等知识的综合应用属于中档题和易错题二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在答题卡相应位置13（4分）已知复数z=a+1ai（i为虚数单位）为纯虚数，则实数a=1考点：复数的基本概念 专题：数系的扩充和复数分析：根据复数为纯虚数的充要条件列出方程组，求出a的值即可解答：解：复数z=a+1ai（i为虚数单位）为纯虚数，解得a=1，故答案为：1点评：本题考查复数为纯虚数的充要条件，牢记复数的基本概念是解题的关键，属于基础题14（4分）已知函数，则f（1）=0考点：导数的运算 专题：导数的概念及应用分析：根据导数的公式求出函数的导数，直接代入即可求值解答：解：函数，f（x）=，f（1）=，故答案为：0点评：本题主要考查导数的计算，要求熟练掌握常见函数的导数公式，比较基础15（4分）=考点：定积分 专题：导数的综合应用分析：根据定积分的几何意义求值解答：解：已知表示以原点为圆心，半径为1的半圆的面积；故=；故答案为：点评：本题考查了利用定积分的几何意义求定积分的值属于基础题16（4分）已知cosx=a0+a1x+a2x2+anxn+有个同学用以下方法求a0，a1，a2，令x=0，得a0=1；由（cosx）=sinx=a1+2a2x+nanxn1+，令x=0，得a1=0，由（cosx）=cosx=2a2+23a3x+（n1）nanxn2+，令x=0，得a2=，依此类推，我们可得a2n=考点：归纳推理 专题：推理和证明分析：观察已知式子的规律，并改写形式，归纳可得结论解答：解：cosx=a0+a1x+a2x2+anxn+令x=0，得a0=1=；由（cosx）=sinx=a1+2a2x+nanxn1+，令x=0，得a1=0，由（cosx）=cosx=2a2+23a3x+（n1）nanxn2+，令x=0，得a2=，由（cosx）=sinx=23a3+234a4x+（n2）（n1）nanxn3+，令x=0，得a3=0，由（cosx）=cosx=234a4+（n3）（n2）（n1）nanxn4+，令x=0，得a4=，由以上可得a2n=，故答案为：点评：本题考查归纳推理，求解的关键是根据归纳推理的原理归纳出结论，属于基础题三、解答题：本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）已知复数，若|z|2+az+b=1i（）求；（）求实数a，b的值考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：（i）利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出（ii）利用复数的运算法则、复数相等即可得出解答：解：（ i）=1i（ ii）把z=1+i代入|z|2+az+b=1i，即|1+i|2+a（1+i）+b=1i，得（a+b+2）+ai=1i，解得实数a，b的值分别为1，2点评：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、复数相等，属于基础题18（12分）已知数列an，a1=3，（nn*）（）求a2，a3，a4的值；（）猜想an的通项公式，并用数学归纳法加以证明考点：数学归纳法；数列递推式 专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：（ i）由a1=3，且，分别令n=1，2，3，即可得出； （ ii）由（1）猜想，利用数学归纳法进行证明即可解答：解：（ i）a1=3，且，； （ ii）由（1）猜想，下面用数学归纳法进行证明当n=1时，满足要求，猜想成立；假设n=k（k1且kn*）时，猜想成立，即，那么当n=k+1时，这就表明当n=k+1时，猜想成立根据（1），（2）可以断定，对所有的正整数该猜想成立，即点评：本题考查了数学归纳法的应用、观察分析猜想归纳能力，考查了计算能力，属于中档题19（12分）已知函数f（x）=xplnx（）当p=1时，求函数f（x）的单调区间；（）求f（x）的极值考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 专题：分类讨论；导数的综合应用分析：（）求出p=1的函数f（x），求出定义域和导数，令导数大于0，可得增区间，令导数小于0，可得减区间；（ ii）求出f（x）的导数，结合定义域，讨论当p0时，当p0时，令导数大于0，可得增区间，令导数小于0，可得减区间，进而得到极值解答：解：（）当p=1时，f（x）=xlnx，定义域为（0，+），由，可解得0x1，f（x）0，可解得x1所以函数f（x）的单调递减区间为（0，1）；单调递增区间（1，+）； （ ii）由f（x）=xplnx，可得，x（0，+），当p0时，f（x）0当x（0，+）时恒成立；此时，函数f（x）在（0，+）上单调递增，所以无极值 当p0时，令f（x）=0可得x=p； 当0xp时，f（x）0，当xp时，f（x）0，所以x=p是函数f（x）的极小值点，极小值为f（p）=pplnp； 综上所述，当p0时函数f（x）无极值当p0时函数f（x）有极小值pplnp，无极大值点评：本题考查导数的运用：求单调区间和极值，同时考查函数的单调性，运用分类讨论的思想方法是解题的关键20（12分）函数f（x）=的图象在点m（1，3）处的切线方程为x+y4=0（）求a，b的值；（）m，nr，若时，f（x）minm2+n2，且存在使得f（x0）m2+n2，求复数z=m+ni在复平面上对应的点构成的区域面积考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；复数的代数表示法及其几何意义 专题：导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用；数系的扩充和复数分析：（）求出函数的导数，由切线方程可得f（1）=3，f（1）=1，解方程可得a，b；（）求得f（x）在时的极值和最值，可得m2+n2的范围，运用复数的几何意义和圆的面积公式，计算即可得到解答：解（ i），依题意，即有，解得； （ ii）由（ i）可得f（x）=x+，令f（x）=0解得，（舍去），当x变化时，f（x），f（x）的变化如下表：x（，2）2f（x）+f（x）极小值f（）3由上表可得，所以所以z=m+ni在复平面上对应的点构成的区域是以原点为圆心，为半径的圆的外部，为半径的圆的内部（包括圆周），所以所求的区域面积为点评：本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，同时考查复数的几何意义和圆的面积，属于中档题21（12分）宁德至福州铁路里程约为100km，和谐号动车从宁德站出发，前2分钟内变速运行，其速度v（米/分钟）关于时间t（分钟）满足函数关系：v（t）=at3+bt2+ct+d，且v（0）=v（2）=0，之后匀速行驶24分钟，再减速行驶5km至终点（福州站）（）求：前2分钟速度v（t）的函数关系式；（）求动车运行过程中速度的最大值考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 专题：导数的综合应用分析：（ i）求出v（t）的导数，由条件可得c=d=0，b=3a，由积分的运算可得a=950，即可得到v（t）的解析式；（ ii）求得函数v（t）的导数，求得单调区间，求得极值、最值即可得到速度的最大值解答：解：（ i）v（t）=at3+bt2+ct+dv（t）=3at2+2bt+c，又v（0）=v（2）=0，v（0）=0，v（t）=at33at2，v（2）=8a12a=4a；则前2分钟运行的路程为依题意得：100100051000+4a=24v（2）即95000+4a=24（4a），解得a=950，v（t）