浙江省杭州市富阳市场口中学高二数学上学期第一次质检试卷 文（含解析）.doc

2014-2015学年浙江省杭州市富阳市场口中学高二（上）第一次质检数学试卷（文科） 一、选择题：（每小题4分共计40分）1下列说法正确的是（） a 三点确定一个平面 b 四边形一定是平面图形 c 梯形一定是平面图形 d 平面和平面有不同在一条直线上的三个交点2垂直于同一条直线的两条直线一定（） a 平行 b 相交 c 异面 d 以上都有可能3在空间坐标中，点b是a（1，2，3）在yoz坐标平面内的射影，o为坐标原点，则|ob|等于（） a b c d 4已知直线m、n和平面、，若，=m，n，要使n，则应增加的条件是（） a mn b nm c n d n5已知m，n是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（） a 若m，n，则mn b 若，则 c 若m，m，则 d 若m，n，则mn6若三棱锥pabc的三条侧棱与底面所成的角都相等，则点p在底面abc上的射影一定是abc的（） a 外心 b 垂心 c 内心 d 重心7若正三棱锥的正视图与俯视图如图所视（单位：cm），则左视图的面积为（） a b c d 8在侧棱长为3的正三棱锥pabc中，apb=bpc=cpa=40过点a作截面aef与pb、pc侧棱分别交于e、f两点，则截面的周长最小值为（） a 4 b 2 c 10 d 99三棱锥sabc中，底面为边长为6的等边三角形，sa=sb=sc，三棱锥的高为，则侧面与底面所成的二面角为（） a 45 b 30 c 60 d 6510在体积为15的斜三棱柱abca1b1c1中，s是c1c上的一点，sabc的体积为3，则三棱锥sa1b1c1的体积为（） a 1 b c 2 d 3二.填空题：（每小题4分共计24分）11若棱台的上下底面面积分别为4和9，高为3，则该棱台的体积为12将半径为4，中心角为900的扇形卷成一个圆锥，该圆锥的高为13如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是14长方体的三条棱长分别为3，4，5，则此长方体的外接球的表面积为15已知三棱柱abca1b1c1的各条棱长都相等，且cc1底面abc，则异面直线bc1与ac所成角的余弦值为16将边长为2，有一内角为60的菱形abcd沿较短对角线bd折成四面体abcd，点e、f分别为ac、bd的中点，则下列命题中正确的是；（将正确的命题序号全填上）efab；ef与异面直线ac、bd都垂直；当四面体abcd的体积最大时，ac=；ac垂直于截面bde三.解答题：（8+10+10+15+13）17如图，是一个几何体的三视图，若它的体积是，求a的值，并求此几何体的表面积18如图，已知三棱锥abpc中，appc，acbc，m为ab中点，d为pb中点，且pmb为正三角形（1）求证：dm平面apc；（2）求证：bc平面apc19已知菱形abcd的边长为2，对角线ac与bd交于点o，且abc=120，m为bc的中点将此菱形沿对角线bd折成二面角abdc（ i）求证：面aoc面bcd；（ ii）若二面角abdc为60时，求直线am与面aoc所成角的余弦值20如图，已知正三角形pad，正方形abcd，平面pad平面abcd，e为pd的中点（1）求ad与ce所成角的余弦值；（2）求直线ac与平面pcd所成的角的大小的正弦；（3）求二面角bpcd的大小的余弦值21如图所示，四边形abcd为矩形，ad平面abe，ae=eb=bc=2，f为ce上的点，且bf平面ace（1）求证：aebe；（2）设m在线段ab上，且满足am=3mb，线段ce上是否存在一点n，使得mn平面dae？若存在，求出cn的长；若不存在，说明理由2014-2015学年浙江省杭州市富阳市场口中学高二（上）第一次质检数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（每小题4分共计40分）1下列说法正确的是（） a 三点确定一个平面 b 四边形一定是平面图形 c 梯形一定是平面图形 d 平面和平面有不同在一条直线上的三个交点考点： 平面的基本性质及推论专题： 常规题型分析： 不共线的三点确定一个平面，两条平行线确定一个平面，得到a，b，c三个选项的正误，根据两个平面如果相交一定有一条交线，确定d选项是错误的，得到结果解答： 解：a不共线的三点确定一个平面，故a不正确，b四边形有时是指空间四边形，故b不正确，c梯形的上底和下底平行，可以确定一个平面，故c正确，d两个平面如果相交一定有一条交线，所有的两个平面的公共点都在这条交线上，故d不正确故选c点评： 本题考查平面的基本性质即推论，考查确定平面的条件，考查两个平面相交的性质，是一个基础题，越是简单的题目，越是不容易说明白，同学们要注意这个题目2垂直于同一条直线的两条直线一定（） a 平行 b 相交 c 异面 d 以上都有可能考点： 空间中直线与直线之间的位置关系专题： 分类讨论分析： 根据在同一平面内两直线平行或相交，在空间内两直线平行、相交或异面判断解答： 解：分两种情况：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；在空间内垂直于同一条直线的两条直线可以平行、相交或异面故选d点评： 本题主要考查在空间内两条直线的位置关系3在空间坐标中，点b是a（1，2，3）在yoz坐标平面内的射影，o为坐标原点，则|ob|等于（） a b c d 考点： 空间直角坐标系；空间两点间的距离公式专题： 计算题分析： 根据点b是a（1，2，3）在yoz坐标平面内的射影，o为坐标原点，得到点b的坐标，点b是a在yoz 上的射影，所以a与b的纵标和竖标相同，横标为0，得到b的坐标，根据两点之间的距离公式得到结果解答： 解：点b是a（1，2，3）在yoz坐标平面内的射影b点的坐标是（0，2，3）|ob|等于，故选b点评： 本题考查空间直角坐标系，考查空间中两点间的距离公式，是一个基础题，解题的关键是，一个点在一个坐标平面上的射影的坐标同这个点的坐标的关系4已知直线m、n和平面、，若，=m，n，要使n，则应增加的条件是（） a mn b nm c n d n考点： 直线与平面垂直的判定专题： 计算题分析： 利用直线与平面垂直的性质定理，直接得到选项即可解答： 解：由直线与平面垂直的性质定理可知，要使n，只需在已知直线m、n和平面、，若，=m，n，则应增加的条件nm，故选b点评： 本题考查直线与平面垂直的性质定理的条件，考查基本知识的掌握程度5已知m，n是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（） a 若m，n，则mn b 若，则 c 若m，m，则 d 若m，n，则mn考点： 平面与平面平行的判定专题： 证明题分析： 通过举反例可得a、b、c不正确，根据垂直于同一个平面的两条直线平行，可得d正确，从而得出结论解答： 解：a、m，n平行于同一个平面，故m，n可能相交，可能平行，也可能是异面直线，故a错误；b、， 垂直于同一个平面，故， 可能相交，可能平行，故b错误；c、，平行与同一条直线m，故， 可能相交，可能平行，故c错误；d、垂直于同一个平面的两条直线平行，故d正确故选 d点评： 本题考查两个平面平行的判定和性质，平面与平面垂直的性质，线面垂直的性质，注意考虑特殊情况，属于中档题6若三棱锥pabc的三条侧棱与底面所成的角都相等，则点p在底面abc上的射影一定是abc的（） a 外心 b 垂心 c 内心 d 重心考点： 三角形五心专题： 计算题分析： 设点p在底面abc上的射影点为0，由pao=pbo=pco，po=po=po，poa=pob=poc=90，先证明paopbopco，从而得到ao=bo=co，由此可知o是abc的外心解答： 解：设点p在底面abc上的射影点为0，pao=pbo=pco，po=po=po，poa=pob=poc=90，paopbopco，ao=bo=coo是abc的外心故选a点评： 三角形的三边垂直平分线的交点叫三角形的外心，它到三角形三个项点的距离相等；三角形的三条角平分线的交点叫三角形的内心，它到三角形三边的距离相等；三角形的三边中线的交叫叫重心，它到顶点的距离等于它到对边距离的二倍；三角形三条高的交点叫垂心7若正三棱锥的正视图与俯视图如图所视（单位：cm），则左视图的面积为（） a b c d 考点： 由三视图求面积、体积专题： 空间位置关系与距离分析： 由正三棱锥的正视图与俯视图形状可以看出，此物体的摆放方式是底面正三角形的高与正视图的投影线平行，如此其正视图中底边是正三棱锥的底面边长，由俯视图知，左视图是：底是边长是的三角形，其高是棱锥的高，由此作出其左视图，求左视图的面积解答： 解：由题意，此物体的左视图如图根据三视图间的关系可得左视图中底ab=，高，svab=abh=故选a点评： 本题考查学生的空间想象能力，三视图中的边长的转换，是基础题8在侧棱长为3的正三棱锥pabc中，apb=bpc=cpa=40过点a作截面aef与pb、pc侧棱分别交于e、f两点，则截面的周长最小值为（） a 4 b 2 c 10 d 9考点： 棱锥的结构特征专题： 计算题；转化思想分析： 将三棱锥的侧面展开，则截面的周长最小值的最小值，即可转化为求aa1的长度，解三角形paa1，即可得到答案解答： 解：将三棱锥的侧面a展开，如图，则图中apa1=120，aa1为所求，由余弦定理可得aa1=，故选d点评： 本题考查的知识点是棱锥的结构特征，其中将三棱锥的侧面展开，将空间问题转化为平面上两点间距离问题，是解答本题的关键9三棱锥sabc中，底面为边长为6的等边三角形，sa=sb=sc，三棱锥的高为，则侧面与底面所成的二面角为（） a 45 b 30 c 60 d 65考点： 二面角的平面角及求法分析： 利用正三棱锥的性质和二面角的定义、等边三角形的性质即可求出解答： 解：如图所示，过点s作so底面abc，点o为垂足，连接oa、ob、oc，则rtoabrtobcrtoca，oa=ob=oc，点o为等边abc的中心延长ao交bc于点d，连接sd则adbc，再根据三垂线定理可得bcsdods为侧面sbc与底面abc所成的二面角的平面角根据重心定理可得：od=在rtsod中，tanods=1，ods=45侧面sbc与底面abc所成的二面角的平面角为45故选a点评： 熟练掌握正三棱锥的性质和二面角的定义、等边三角形的性质是解题的关键10在体积为15的斜三棱柱abca1b1c1中，s是c1c上的一点，sabc的体积为3，则三棱锥sa1b1c1的体积为（） a 1 b c 2 d 3考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积专题： 计算题分析： 由棱柱的体积与棱锥体积的关系，由于三棱锥sabc三棱锥sa1b1c1的底面全等，高之和等于棱柱的高，我们可得棱锥sabc的体积与三棱锥sa1b1c1的体积和为v（其中v为斜三棱柱abca1b1c1的体积），进而结合三棱柱abca1b1c1的体积v=15，三棱锥sabc的体积为3，得到答案解答： 解：三棱柱abca1b1c1的体积v=15，三棱锥sabc的体积与三棱锥sa1b1c1的体积和为v=5三棱锥sabc的体积为3，三棱锥sa1b1c1的体积2故选c点评： 本题考查的知识点是棱柱的体积，棱锥的体积，其中分析出棱锥sabc的体积与三棱锥sa1b1c1的体积和为v（其中v为斜三棱柱abca1b1c1的体积），是解答本题的关键二.填空题：（每小题4分共计24分）11若棱台的上下底面面积分别为4和9，高为3，则该棱台的体积为19考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积专题： 空间位置关系与距离分析： 直接带入棱台的体积公式进行求解即可解答： 解：根据棱台的体积公式：则：=19故答案为：19点评： 本题考查的知识点：棱台的体积公式及运算问题12将半径为4，中心角为900的扇形卷成一个圆锥，该圆锥的高为考点： 旋转体（圆柱、圆锥、圆台）专题： 空间位置关系与距离分析： 根据扇形侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，由已知利用弧长公式和圆的周长公式计算出底面半径，然后利用勾股定理可计算出高解答： 解：如图，点d为圆锥底面圆的圆心，扇形oab的圆心角为90，半径为4厘米，弧ab=2，2dc=2，dc=1，在rtsdc中，sc=4，sd=，用这个扇形卷成的圆锥的高为，故答案为：点评： 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，熟练掌握弧长公式是解答的关键13如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是考点： 平面图形的直观图专题： 计算题分析： 水平放置的图形为直角梯形，求出上底，高，下底，利用梯形面积公式求解即可解答： 解：水平放置的图形为一直角梯形，由题意可知上底为1，高为2，下底为1+，s=（1+1）2=2+故答案为：2+点评： 本题考查水平放置的平面图形的直观图斜二测画法，也可利用原图和直观图的面积关系求解属基础知识的考查14长方体的三条棱长分别为3，4，5，则此长方体的外接球的表面积为50考点： 球的体积和表面积专题： 空间位置关系与距离分析： 用长方体的对角线的公式，求出长方体的对角线长，即为外接球的直径，从而得到外接球的半径，用球的表面积公式可以算出外接球的表面积解答： 解：长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为3，4，5，长方体的对角线长为：=5，长方体的对角线长恰好是外接球的直径，球半径为r=，可得球的表面积为4r2=50故答案为：50点评： 本题给出长方体的长、宽、高，求长方体外接球的表面积，着重考查了长方体对角线公式和球的表面积公式，属于基础题15已知三棱柱abca1b1c1的各条棱长都相等，且cc1底面abc，则异面直线bc1与ac所成角的余弦值为考点： 异面直线及其所成的角专题： 计算题；空间角分析： 连接a1b，设该三棱柱的棱长为1，根据棱柱的性质可证出a1c1b（或其补角）就是异面直线bc1与ac所成的角因为cc1底面abc，所以四边形b1c1cb和四边形b1a1ab都是边长为1的正方形，可得a1b=bc1=，最后在a1c1b中运用由余弦定理即可算出bc1与ac所成角的余弦值解答： 解：连接a1b，设该三棱柱的棱长为1，三棱柱abca1b1c1中，aca1c1a1c1b（或其补角）就是异面直线bc1与ac所成的角cc1底面abc，三棱柱abca1b1c1是直三棱柱，可得四边形b1c1cb是矩形bc=cc1=1，bc1=，同理可得a1b=a1c1b中，由余弦定理得：cosa1c1b=即异面直线bc1与ac所成角的余弦值为故答案为：点评： 本题在所有棱长都相等的正三棱柱中，求底面一边与面对角线所在直线所成角余弦，着重考查了直棱柱的性质和异面直线所成的角的求法等知识，属于基础题16将边长为2，有一内角为60的菱形abcd沿较短对角线bd折成四面体abcd，点e、f分别为ac、bd的中点，则下列命题中正确的是；（将正确的命题序号全填上）efab；ef与异面直线ac、bd都垂直；当四面体abcd的体积最大时，ac=；ac垂直于截面bde考点： 命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系专题： 空间位置关系与距离分析： 画出图形，利用翻折前后线面关系，角的关系，逐一分析各个选项的正确性，把正确的选项找出来解答： 解：如图：由题意得，ef与ab是异面直线，故不正确；由等腰三角形的中线性质得 cfbd，afbd，db面acf，又ef面acf，efbd，且efac，故正确；当四面体abcd的体积最大时，因为等边abd的面积为定值，故面sbd面abd，cf为四面体的高，ac=，故正确由db面acf 得，dbac，又efac，ac面ebd，故正确；故答案为：点评： 本题考查棱锥的结构特征，注意在翻折过程中哪些量发生了变化，哪些量没有发生变化；位于折线同侧的元素关系不变，位于折线两侧的元素关系会发生变化三.解答题：（8+10+10+15+13）17如图，是一个几何体的三视图，若它的体积是，求a的值，并求此几何体的表面积考点： 由三视图求面积、体积专题： 计算题分析： 由三视图知几何体为正三棱柱，根据几何体的体积为3求出a值，利用三视图的数据求出各面的面积，再相加解答： 解：由三视图知几何体为三棱柱，其直观图如图：几何体的体积v=2a3=3a=，三棱柱的侧面积s1=63=18；底面面积s2=2=，几何体的表面积s=s1+2s2=18+2点评： 本题考查了由三视图求几何体的表面积，解题的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量18如图，已知三棱锥abpc中，appc，acbc，m为ab中点，d为pb中点，且pmb为正三角形（1）求证：dm平面apc；（2）求证：bc平面apc考点： 直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定专题： 空间位置关系与距离分析： （1）要证明线面平行，可以通过线线平行来转化，然后利用中位线定理，进一步利用线面平行的判定定理进行证明（2）要证线面垂直，可以通过线线垂直和线面垂直来转化，最后利用线面垂直的判定证明结论解答： 证明：（1）已知三棱锥abpc中m为ab中点，d为pb中点dmapap平面apc，dm平面apcdm平面apc（2）pmb为正三角形，d为pb中点dmpb在平面apb中，dmapappbappcap平面pbcapbcacbcbc平面apc点评： 本题考查的知识点：线面平行的判定定理，线面垂直的性质定理和判定定理之间的相互转换19已知菱形abcd的边长为2，对角线ac与bd交于点o，且abc=120，m为bc的中点将此菱形沿对角线bd折成二面角abdc（ i）求证：面aoc面bcd；（ ii）若二面角abdc为60时，求直线am与面aoc所成角的余弦值考点： 与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角专题： 计算题分析： （ i）由四边形abcd为菱形，可得oabd，ocbd，再根据线面垂直的判定定理可得线面垂直（ ii）由题意可得：aoc是二面角abdc的平面角，即aoc=60，作mkoc，连接ak，可得mk面aoc，所以mak是直线am与面aoc所成的角，由题意可得：，在aok中，利用余弦定理可得：，在rtamk中，再利用解三角形的有关知识求出答案即可解答： 解：（ i）证明：因为四边形abcd为菱形，所以oabd，ocbd，所以面aoc面bcd（6分）（ ii）菱形沿对角线bd折成二面角abdc后，仍然有aobd，cobd，aoc是二面角abdc的平面角，即aoc=60（8分）作mkoc，连接ak，如图所示：因为mkbd，bd面aoc，所以mk面aoc，所以mak是直线am 与面aoc所成的角 （10分）因为菱形abcd的边长为2，对角线ac与bd交于点o，且abc=120，所以oc=，bd=又因为mkoc，m为bc的中点，所以k为oc的中点，所以，所以在aok中，因为aoc=60，所以，所以在rtamk中，直线am 与面aoc所成角的余弦值是（14分）点评： 本题主要考查面面垂直的判定定理，以及线面角的有关知识，而对于求空间角作出空间角是解题的难点和关键，求空间角的步骤是：作角、证角、求角20如图，已知正三角形pad，正方形abcd，平面pad平面abcd，e为pd的中点（1）求ad与ce所成角的余弦值；（2）求直线ac与平面pcd所成的角的大小的正弦；（3）求二面角bpcd的大小的余弦值考点： 二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角专题： 空间角分析： （1）取ad的中点o，以oa为x轴，op为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出ad与ce所成角的余弦值（2）由已知得po平面abcd，从而pocd，又cdad，从而cdae，由aepd，知ace即为直线ac与平面pcd所成的角由此能求出直线ac与平面pcd所成的角的大小的正弦值（3）求出平面pbc的法向量和平面pcd的法向量，利用向量法能求出二面角bpcd的大小的余弦值解答： 解：（1）取ad的中点o，由正pad可得poad，以oa为x轴，op为z轴，建立空间直角坐标系，设ab=2，由题意得a（1，0，0），d（1，0，0），b（2，2，0），c（1，2，0），p（0，0，），e（，0，），=（2，0，0），=（），|cos|=|=ad与ce所成角的余弦值为（2）平面pad平面abcd，po平面abcd，pocd又cdad，poa