陕西省高中数学 第一章 计数原理 排列问题常见的限制条件及对策拓展资料素材 北师大版选修23.doc

排列问题常见的限制条件及对策排列问题常见的限制条件有：（1）有特殊元素或特殊位置；（2）元素必须相邻的排列；（3）元素相邻的排列；（4）元素有顺序限制的排列；（5）元素允许限制的排列，其基本的解题思想方法为：一、 直接法对于有特殊元素或特殊位置的问题，一般采用直接法，即先排特殊元素或特殊位置。1、位置分析法例1、(2008年天津市高考题)有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上数字之和为5，则不同的排法共有（ ）a、1344种 b、1248种 c、1056种 d、960种答案：b解析：中间行的数字之和为5只有4种可能：（1，4），（4，1），（2，3），（3，2）当中间行为（1，4）时，第1行和第3行，其余6个数字任意排列为a64=360去排第1行和第3行的数字和为5的排列数为22a42=48故满足条件的排列数为22（a64-22a42）=1248。例2、(2008年浙江省高考题)用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻。这样的六位数的个数是 （用数字作答）。答案：40 解析：由已知要求相邻两个数字的奇偶性不同，则这个六位数的排列应为奇偶奇偶或为偶奇偶奇偶奇，先考虑第一种情况：奇位排奇数，偶位排偶数，共有=36种。abcdef当1位于a位置时，2处于d或f位置时，有2=8种；当1位于c位置时，2只能处于f位置，有=4种；当1位于e位置时，2只能处于b位置，有=4种；即1和2不相邻的排法共有8+4+4=16种，则满足题意共有36-16=20种。同理第二种情况奇位排偶数，偶位排奇数也是20种，共计40种。2、元素分析法例2、安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有 种（用数学作答）解：甲、乙二人从3、4、5、6、7日五天中选2天有种排法，剩余5人在5天内全排列有种排法共有=20120=2400（种）排法二、 捆绑法相邻排列问题，通常采用“捆绑”法，即可以把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列。例2 （2007北京理）记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ ）a、 1440种 b、960种 c、720种 d、480种析解：首先安排两端的位置，有a52种安排方法，然后把两位老人看作一个整体和其它三名记者一共四人排列有a44a42种安排方法一共有a52a44a42=960，故选b。三、 插空法对于元素不相邻的排法，通常采用插“空档”的方法，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中。例3 4位老师和4名学生坐成一排照相，老师和学生必须相间的坐法有多少种？析解：先排4位老师有种，再插入学生有两种情况，或，每种情况有种方法，故师生间的坐法共有（+）=1152种。四、 分类讨论法对于元素有顺序限制的排列，可依实情分类讨论求结果例4 由1，2，3，4，5五个数字可以排成多少个比13245大的数（数字不可重复）？析解：先排首位，共有5种，再排第2个位置，有4种，或3种，或2种？（引起分类）显然，第2个位置的排法由首位所排元素确定，故需对首位分类讨论如下： 非1有4种 1对于中的第3个位置，又受到第2个位置的限制，故又需对第2个位置分类讨论如下：1 大于3有2种13 大于2有2132 只能是5，只能4，有1种综上，可以排成4+2+2+1=113个比13245大的数。五、 逆向思维法有些排列题，用人们的一般思维习惯是很难解决问题的，但若换位思考，其解答过程将非常简洁。例5 一排8个空座位，三人人去坐，每人左右至少有一个空位，坐法有多少？解：下面的图示有五个空座位 三人带凳在四个空选三个进行排列，有=24种六、 允许元素重复排列法例6 有6个房间安排4人居住，每人可以进任任一房间，有几种不同的安排方法？析解：每个房间可安排1人、2人、3人、4人，这属于元素允许重复的排列，这类问题可把元素（即4个人）当成位置，位置（6个房间）当成元素作排列即，对每一个人都有6种（6个房间）不同的排法共有6666=64种不同的排法。点评：这类问题的结果是个幂，其底数是位置，指数是元素。练习题1、由0，1，2，5可排成多少个能被5