（基础数学专业论文）多带小波理论及应用.pdf

多带小波理论及应用 摘要 小波分析是在2 0 世纪8 0 年代末迅速发展起来的一个新兴数学分 支，小波分析的出现在科学研究领域引起了广泛的关注在最近2 0 多年，小波理论及应用得到了迅速的发展并取得丰硕成果小波分析 与其它分析方法一样，都是利用特殊基函数来展开和研究任意信号函 数，但小波基与其它函数基相比具有一定的优势，例如，小波基具有 良好的局部化性质、多分辨率功能及可同时作时频分析等优点小波 基性质的多样性是小波分析具有广泛应用领域主要原因，人们可以根 据应用于领域的不同来构造相适应的小波基小波基的构造和性质分 析是小波理论研究的一个重要课题，也是小波应用的前提和基础本 论文主要是关于多进小波和多小波基构造理论的研究及小波基相关 的性质分析具体内容安排如下： 第1 章介绍了小波分析发展历史、本论文研究目的、主要研究内 容及得到相关主要结果 第2 章总结和探讨具有特殊性质多进尺度函数构造方法，着重研 究了紧支正交对称多进尺度函数构造一般方法在逼近则阶一定条 件下，探索支集最短正交对称多进尺度函数构造一般程序 第3 章首先总结基于多分辨分析l 2 ( r ) 中的小波框架构造理论 利用u e p 规则，研究正交对称多进小波基构造方法利用多相矩阵酉 矩阵分解结构，得到了一类正交对称小波滤波器簇角参数表示形式， 根据角参数的选取可得到一系列性质不同正交对称多进小波系 第4 章提出了最优多进h a a r 小波概念，并讨论其所具有基本性质 及构造方法在图像压缩中，用实验数据说明了最优h a a r 小波变换 相比于传统的离散余弦变换具有一定优势 第5 章利用小波矩阵之间一种运算，给出了具有特定结构的正交 小波矩阵一种构造方法着重研究成对对称和具有优美结构的多进 小波函数的构造 第6 章首先总结了正交多小波一此基本理论及一些构造的方法 为提高正交对称多小波消失矩和逼近阶，研究一类正交对称多小波 博士学位论文 维数扩充的一种算法 第7 章是本文总结与展望，指出了与本文相关期待进一步研究几 个问题 本论文的主要创新之处如下： 1 给出了多进正交对称低通滤波器构造一般方法，得到了在正则 阶一定条件下，支集最短正交对称尺度函数构造程序 2 给出了偶数进低通滤波器对称应的多相向量一种特殊酉分解， 得到了正交对称多进小波的高通滤波器的一种构造方法得到了一类 正交对称多进小波滤波器簇角参数表示形式以3 进小波为例，给出 了奇数进正交对称小波多相矩阵酉扩充的一种算法 3 提出了多进最优h a a r 小波概念和构造方法用图像压缩效果的 实验数据说明了最优h a a r 小波较传统离散余弦变换具有一定优势 4 利用小波矩阵之间一种运算，得到了一类成对对称和优美小波 构造方法为提升正交对称多小波函数消失矩，提出了多小波维数扩 充的一种算法 关键词：尺度函数，多进小波，滤波器，多相矩阵， 多小波， 正交对称，最优h a a r 小波 多带小波理论及应用 i i i a bs t r a c t w a v e l e ta n a l y s i si san e wo f f s e to fm a t h e m a t i c sw h i c hd e v e l o p i n gv e r yf a s ti n l a t e1 9 8 0 s t h ea p p e a r a n c eo fw a v e l e th a sb r o u g h te x t e n s i v ee f f e c ti ns c i e n c er e - s e a r c hf i e l d s t h et h e o r ya n da p p l i c a t i o no fw a v e l e ta n a l y s i sh a v eo b t a i n e dp l e n t i f u l f r u i t si nl a s tt w od e c a t e s 1 l 台l c l e ta n a l 3 s i s ，s a m i l a r ya st h et r a d i t i o n a la n a l y s i s ，d e p l o ya n dr e s e a r c ha na r b i t r a r yf u n c t i o nb yb a s ef u n c t i o n s b u t ，c o m p a r et oo t h e r b a s e s ，w a v e l e tb a s e sh a v es o m ea d v a n t a g e s f o re x a m p l e ，w a v e l e tb a s e sh a v el o c a l i z e c h a r a c t e r m a t h c m a t i c a lm i c r o t e l e s c o p ef e a t u r ea n da d a p t i v ef e a t u r e m u l t i p l i c i t yo f p r o p e r t yi st h em a i nr e a s o nt h a tw a v e l e ta n a l y s i sh a sb e e na p p l i e di nm a n yf i e l d s p e o p l ea r ep o s s i b i l i t yt ot a i l o rw a v e l e tb a s e st oag i v e na p p l i c a t i o nf i e l d t h e r e f o r e ， t h ec o n s t r u c t i o no fw a v e l e tb a s e si sav e r yi m p o r t a n tt a s ki nt h ew a v e l e ta c a d e m i c r e s e a r c h t h em a i nc o n t e n t so ft h i st h e s i sa r ea b o u tt h ec o n s t r u c t i o na n da p p l i c a t i o n o fm u l ti b a n dw a v e l e ta n dm u l t i w a v e l e tb a s e s t h eo u t l i n eo ft h i st h e s i si sa sf o l l o w s ： i nc h a p t e ro n e t h eh i s t o r yo fw a v e l e td e v e l o p m e n t 、t h em o t i v a t i o na n dt h e p r i m a r yr e s u l t sr e l a t i n gt ot h et h e s i sa r ei n t r o d u c e d i l lc h a p e rt w o ，w es u m m a r i z es o m em e t h o d st oc o n s t r u c tm u l t i b a n ds c a l i n g f u n c t i o n sf i r s t l y am e t h o dt oc o n s t r u c tt h ec o m p a c t e do r t h o g o n a ls y m m t r i cm u l t i - b a n ds c a l i n gf u n c t i o nbg i v e ni nd e t a i l s u n d e rt h ec o n d i t i o no fg i v e nr e g u l a ro r d e r w ec o n s i d e rt h ec o n s t r u c t i o np r o c e d u r ef o ro r t h o g o n a ls y m m e t r i cs c a l i n gf u n c t i o n w i t ht h es h o r t e s ts u p p o r t i nc h a p e rt h r e e ，t h et h e o r yo nc o n s t r u c t i n gm u l t i - b a n dw a v e l e tf r a m e si ss u m m a r i z e da tf i r s t l y u t i l i z i n gt h eu e pr e g u l a t i o n ，w ec o n s i d e ri nd e t a i lt h em e t h o d t oc o n s t r u c tt h ef i l t e rb a n k so fs y m m e t r i ca n do r t h o g o n a lm u l t i - b a n dw a v e l e t b y a n a l y z i n gt h ep o l y p h a s em a t r i xo fm u l t i - b a n dw a v e l e t ，w er e s e a r c hac l a s so fs y m - m e t r i co r t h o g o n a lf i l t e rb a n k so fm u l t i - b a n dw a v e l e tw h i c ha r ee x p r e s s e db ya n g l e p a r a m e t e r v i ac h o o s i n ga n g l ep a r a m e t e r ，o n ec a no b t a i nm u l t i - b a n dw a v e l e tb a s e s w i t hd i f f e r e n tp r o p e r t y i nc h a p e rf o u r ，w ep u tf o r w a r dt h ec o n c e p to fo p t i m a lm u l t i b a n dh a a rw a v e l e t s a n dg i v eag e n e r a lm e t h o dt oc o n s t r u c tt h ef i l t e rb a n k so fo p t i m a lh a a rw a v e l e t s o p t i m a lh a a rw a v e l e tt r a n s f o r mi ss u p e r i o rt ot h ed i s c r e t ec o s i n et r a n s f o r m ( d c t ) i v 博士学位论文 w h i c hh a v eb e e ns h o w ne x p e r i m e n t a l l yi ni m a g ea n dv i d e oc o m p r e s s i o n i nc h a p e rf i v e ，w ed e f i n ean e wo p e r a t i o nb e t w e e nw a v e l e tm a t r i x a p p l y i n gt h e o p e r a t i o nt oo r t h o n o m a lw a v e l e tm a t r i x ，w eo b t a i nam e t h o dt oc o n s t r u c to r t h o n o n a l w a v e l e tm a t r i xw i t he s p e c i a ls t r u c t u r es u c ha sp a i r - s y m m e t r i ca n db e a u t i f u ls t r u c t u r e i nc h a p e rs i x ，w ef i r s t l ys u m m a r i z es o m et h e o r yo fm u l t i w a v e l e ta n dm e t h o dt o c o n s t r u c to r t h o g o n a lm u l t i - w a v e l e t a tl a s t i no r d e rt oh e i g h t e np p oa n dv a n i s h i n g m o m e n t ：w er e s e a r c ha na l g o r i t h mf o rd i m e n s i o ne x t e n s i o no fo r t h o g o n a ls y m m e t r i c m u l t i - w a v e l e t s i nc h a p e rs e v e n ，s u m m a r i z ea n dp r o s p e c t ，a n dw ep u tf o r w a r ds o m em s u er e l a t i n g t ot h et h e s i sw h i c hd e s e r v c dt or c s c a r c h t h em a i ni n n o v a t i o n so ft h i st h s i sa l ea sf o l l o w s ： 1 ag e n e r a lh 驾ft oc o n s t r u c ts y m m e t r i co r t h o g o n a lm u l t p b a n d s c a l i n gf u n c t i o n i sp r o v i d e d as c h e m ef o rc o n s t r u c t i n gs c a l i n gs e q u e n c ew i t ht h es h o r t e s tl e n g t ha n d ag i v e nr e g u l a r i t 3 o r d e ri so b t a i n e d 2 t h ef a c t o r i z a t i o no fp o l y p h a s em a t r i xo fac l a s so fo r t h o g o n a ls y m m e t r i c m u l t i - b a n dw a v e l e tf i l t e rb a n k sh a sb e e nc o n s i d e r e d ，m e t h o dt oc o n s t r u c to r t h o g o n a l 町7 m m e t r i cm u l t i - b a n dw a v e l e tf i l t e rb a n k sh a sb e e no b t a i n e d ac l a s so fo r t h o g o n a l s y m m e t r i cf i l t e rb a n k sa r ep r o v i d e db ya n g l ep a r a m e t e r s 3 t h ec o n c e p to fo p t i m a lm u l t i - b a n kh a a rw a v e l e t sw a sp u tf o r w a r d ，a n dag e n - e r a lm e t h o do fc o n s t r u c t i n gt h eo p t i m a lm u l t i - b a n kh a a rw a v e l e t si sp r o v i d e d t h e o p t i m a lm u l t i b a n kh a a rw a v e l e t sp e r f o r mb e t t e rt h a nd c ti ni m a g ec o m p r e s s i o n h a sb e e ns h o w ne x p e r i m e n t a l l y 4 a p p l i n gw a v e l e tm a t r i xo p e r a t i o n ，w eo b t a i nam e t h o dt oc o n s t r u c tac l a s s o fo r t h o n o n a lw a v e l e tm a t r i xw i t he s p e c i a ls t r u c t u r es u c ha sp a i r - s y m m e t r i ca n d b e a u t i f u ls t r u c t u r ew a v e l e tm a t r i x i no r d e rt oh e i g h t e nv a n i s h i n gm o m e n t ，w ep u t f o r w a r da na l g o r i t h mf o rd i m e n s i o ne x t e n s i o no fo r t h o g o n a ls y m m e t r i cm u l t i - w a v e l e t s k e yw o r d s ：s c a l i n gf u n c t i o n ，m u l t i b a n dw a v e l e t ，f i l t e rb a n k ，p o l y p h a s em a t r i x ， m u l t i w a v e l e t ，o r t h o g o n a ls y m m e t r i c ，o p t i m a lh a a rw a v e l e t s 博士学位论文 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导 下，独立进行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用 的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写 过的作品成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体， 均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律 结果由本人承担 入 一 学位论文作者签名：4 层妖 2 , 9 - e 尹年石月z z 日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文 的规定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的 复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权湖南师 范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和 汇编本学位论文。 本学位论文属于 、保密u ，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密以 ( 请在以上相应方框内打“ ) 作者签名：锈疑日期：刎夕年月z - l j 导师签名呜a 捉期：。争年月2 乙日 多带小波理论及应用 1 绪论 小波分析( w a v e l e ta n a l y s i s ) 是2 0 世纪8 0 年代在m e y e r ，m a l l a t 2 】 及d a u b e c h i e s a ，4 1 等人的奠基工作上而迅速发展起来的一个新兴数学 分支，被称为调和分析半个世纪以来工f 乍的结晶，是f o u r i e r 分析发展 史上的一个里程碑由于大部分信号具有瞬变的特征，而小波能够有 效地表示非平稳( 瞬变) 信号，这是小波分析流行的主要原因小波分 析虽然发展历史不长，但已经作为工具用于解决许多领域的问题，例 如信号分析、图像分析、数值分析、医学诊断、地球物理信号处理、 模式识别等而其新的应用领域仍在不断探索中本章主要是介绍小 波分析这一数学分支产生和发展历史过程，本文研究主要目的、内容 及得到的一些主要结果 1 1 从傅里叶分析到小波分析发展历史背景i s - 1 2 1 1 8 2 2 年，法国科学家傅里叶( f o u r i e r ) 正式出版了推动世界科学发 展的巨著：热的解析理论( t h ea n a l y t i ct h e o r yo fh e a t ) 这一理论 成功解决了困扰科学家1 5 0 年之久的牛顿二体问题微分方程，在该巨 著中，由他提出的傅里叶分析方法使数理学科发生了很大变化从本 质上讲，傅里叶变换就象一个棱镜( p r i s m ) ，它把一个信号函数分解成 众多的频率成份，这些频率又可以重构原来的信号函数，这种变换是 可逆的且保持能量不变，傅里叶变换和自然棱镜的原理是一样的，只 不过自然镜将自然光分解为多种颜色的光而已 傅里叶分析是一种频谱分析，它能清楚揭示信号的频谱结构，并 具有明确的物理含义，许多在时域内难以看清的问题，在频域中往往 表现得非常清楚，因此在信号分析中长期占据着十分重要地位傅里 叶分析成为几乎每个研究领域科学工作者乐于使用的数学工具 虽然傅里叶分析对自然科学和社会发展产生了广泛而深远的影 响，但傅里叶分析也存在着不可避免的缺陷，使其作用受到限制傅 里叶分析理论至少存在以下的不足。 1 傅里叶分析擅长于处理线性问题，而对非线性问题感到力不从 博士学位论文 心这是因为非线性系统具有高度的不可预测性，输入端微小变化会 对系统的输出产生重大影响 2 傅里叶变换公式没能反映出随时间变化的频率，而在应用中， 实际需要的是能够在确定时间间隔范围内产生的频率信息，而且利用 傅里叶变换从信号函数提取频率信息，需要取无限的时间量 3 信号的频率和周期长度成反比，因此对高频谱的信息，时间间 隔要相对的小以给出较好的精度；而对于低频谱的信息，时间间隔要 相对的宽，以给出完全的信息这就是时频局部分析，而傅里叶变 换无法做到这一点 早在1 8 0 7 年，傅里叶曾断言：任何一个周期函数都能展开成傅里 叶级数，这一理论并称为傅里叶分析核心内容然而在1 8 7 3 年，p d u b o i s - r e y m o n d 构造了一个实变量x 的周期连续函数，它的傅里叶级数在 给定点是发散的为了解决此困惑，数学家与工程师开始寻找另外的 基来展开和描述任意函数，使p d ub o i s r c y m o n d 发散现象不再发生 同时，为了克服傅里叶分析本身缺陷，数学家和工程技术人员也尝试 通过不同途径提出不同设想来改进傅里叶分析如为解决傅里叶变 换的局部性问题，在2 0 世纪4 0 年代，诺贝尔奖获得者加博( g a b o r ) 提 出了“窗口傅里叶变换”的概念加博变换在一定程度上解决了局部 化问题，但加博变换存在两个较严重的缺陷：其一，加博变换的时频 窗口的大小形状不变，只有位置变化；其二，在数值计算中常常要作 离散化处理，加博变换离散化后不能成为正交系2 0 世纪8 0 年代， 法国地质学家j m o r l e t 在研究地下岩石油层分布时，对傅里叶变换和 加博变换作了深入研究后，提出了。小波一概念，并建立了m o r l c t 小 波，应用小波方法在地质数据处理中取得了极大的成功随后数学家 m e y e r ，m a u a t ，d a u b e c h i e s 等人的进一步工作为小波分析的诞生和发展奠 定基础 长期以来，数学工作者与工程师都在努力寻找函数空间l 2 ( r ) 的 一种基函数，这种基函数既能保持指数基函数的优点，又能弥补指数 基函数的不足，并希望这种基函数是由某一个或有限多个具有紧支 撑、良好光滑性及较高的消失矩的函数通过伸缩和平移而生成的我 们现在称这种函数为小波基，它的存在性、构造法及性质研究构成小 多带小波理论及应用 波理论研究的主要内容 1 2 小波分析理论发展过程及主要成果 任何理论的发展都有一个漫长的准备过程【扣冽：从历史上追溯， 小波分析的原始思想形成于2 0 世纪初1 9 1 0 年h a a r 在他一篇描述 抽象h i b e r t 空间特性的论文中给出了一个由盒函数产生的l 2 ( r ) 函数 空间的一组正交基，后来被称为最早的小波基1 9 3 6 年l i t t l e w o o d 和 p a l e y 对f o u r i e r 级数建立了二进制频率分量分组理论：对频率按进 行划分，其f o u r i e r 变换的相位变化并不影响函数大小，这是多尺度分 析思想最早来源1 9 4 4 年g a b o r 提出的加窗f o u r i e r 变换对弥补f o u r i e r 变换的不足起到了一定作用，但并没有彻底解决这个问题1 9 7 4 年， c o i f m a n 对一维日p 空间和高维h p 空间给出了原子分解理论 1 9 7 5 年，c a l d e s o n 用他早期提出的再生公式给出抛物型h 的原子分解， 这一公式现在已成为许多函数分解的出发点，它的离散形式已接近小 波展开此后，许多数学家为了各种不同目的，给出了备类函数空间 上的“原子分解”，“分子分解”，“拟正交分解”，“框架分解”等 1 9 8 1 年，s t r o m b e r g 通过对h a a r 正交基的改进，引入了s o b o l e v 空间日。 的正交基，这些工作为小波分析奠定了基础 1 9 8 1 年，法国地质学家m o r l e t 在分析地质数据时基于群论首先提 出了小波分析这一概念，m o r l e t 方法所取得数值分析的成功不仅激发 了m o r l e t 本人对小波分析进行深入研究，而且也极大鼓舞了法国理论 物理学家g r o s s m a n ，于是他们携手共同研究小波理论，并提出了伸缩和 平移的概念1 9 8 2 年，s t r o m b e r g 给出了一个无限支撑的，正交的逐段 多项式小波b a t t l e 和l e m a r i e 也分别独立地构造了具有指数衰减的小 波函数1 9 8 5 年，法国大数学家m e y e r 证明了一维小波基的存在性， 并首次提出光滑的小波正交基，后被称为m e y e r 基1 9 8 8 年，年轻女 数学家d a u b e c h i e s 构造了具有紧支集有限光滑正交小波基- d a u b e c h i e s 基，她的工作被认为是小波基石形成的标志1 9 8 9 年，m a l l a t 提出多 分辨分析的概念，并得到了著名的快速小波算法一m a l l a t 算法( f w t ) ， 对小波理论作出了重要贡献，其作用和地位相当于f o u r i e r 分析中的快 博士学位论文 速傅里叶变换( f f t ) 从此人们借助d a u b e c h i e s 基和m a l l a t 算法广泛从 事小波分析的应用研究与此同时，信号分析专家m a l l a t 利用了多分 辨分析概念，给出了构造正交小波基的一般方法在此之前人们构造 正交小波基都带有高度技巧性和不可模仿性 1 9 9 0 年，m e y e r 出版了第一部小波系统性专著小波与算子( 共 3 卷) 是小波理论这一新兴学科诞生的标志之一，该书是目前较权威 较系统的小波理论著作，详细地研究了各种小波基的构造，小波基与 函数空间的关系1 9 9 1 年，l a t t o 和t e n e b a u m 将小波分析用于偏微分 方程求数值解同年，a w a r e 公司首次制成了小波硬件 1 9 9 2 年，在小波变换的基础上，c o i f m a n 和w i c k e r h a u s e r 进一步提出 了小波包( w a v e l e tp a c k e t ) 的概念，并从数学上作了严密的推导小波包 思想为信号进行自适应频带划分提供了工具c o h e n 和d a u b e c h i e s 提 出了“双正交小波竹的概念，即对同一信号，l 2 ( r ) ，其分析小波和合 成小波可以是两组不同函数系同年d a u b e c h i e s 出版的小波十讲 系统论述正交小波的紧支性、正则性、对称性及时频特性，介绍了离 散小波变换和连续小波变换等至此，经典小波理论已基本成熟，从 1 9 9 2 年开始，在国际上，小波研究的重点转向了小波的推广和应用 1 9 9 3 年，基于v e t t e r l i 和v a i d y a n a t h a n 各自独立提出的多采率数字 信号处理器，广义镜像滤波器组和共轭正交镜像滤波器组的理论，产 生多进小波概念，为了解决d a u b e c h i e s 正交小波基没有线性相位的问 题，1 9 9 4 年，g o o d m a n 等人提出多小波理论，用向量小波来代替标量 小波以满足线性相位的要求，并用h e r m i t 样条构造了第一个多小波， g e r o n i m o 等人构造出第一个非样条多小波，通常被称为g h m 多小波， 它能同时具有紧支撑、正交性、对称性及插值等特性在多小波思想 出现的同时，s w e l d e n s 提出了用提升方法来构造特殊性质小波，进而 给出整数可逆的提升框架，使得小波变换向实用前进了一大步2 0 0 0 年，完全由小波分析构成的静止图像世界标准j p e g 2 0 0 0 形成，标志 了小波得到了深入和广泛的应用 现在小波变换理论已经由一维发展到多维，在二维情况下它除了 “显微”能力外还具有极化功能( 即方向的选择性) 二维小波在图像 压缩方面的优良表现已经得到公认，并且在语音，通信，生物医学， 多带小波理论及应用 湍流分析都得到广泛应用随着小波理论的深入发展，小波应用和产 业建立也成为一种趋势时至今日，通过众多科技工作者的努力，小 波理论已经取得了丰硕成果，其主要理论成果可归结为： 1 建立了多分辨分析的统一理论，各种类型的多分辨分析原理亦 随之建立 2 构造了具有足够的光滑性高阶消失矩紧支小波函数 3 建立了小波框架的一般理论及小波变换的快速算法 总之，小波分析是数学和工程学科中一个迅速发展的新领域，经 过近2 0 多年的探索研究，数学形式化体系已经建立，理论基础更加 扎实与f o u r i e r 变换相比，小波变换是空间( 时间) 和频率的局部变 换，因而能有效地从信号中提取信息通过伸缩和平移等运算可对函 数或信号进行多尺度的细化分析，解决了f o u r i e r 变换不能解决的许多 困难问题小波变换将数学与物理学、计算机科学、信号图像处理、 地震勘探等多个学科紧密联系起来数学家认为小波分析是一个新的 数学分支，它是泛函分析、f o u r i e r 分析、样调分析、数值分析的完美 结晶；信号处理专家认为，小波分析是时间尺度分析和多分辨分析 的一种新技术，它在信号分析、语音合成、图像识别、计算机视觉、 数据压缩、地震勘探、大气与海洋波分析等方面都取得了有科学意义 和应用价值的研究成果 1 3 本文研究主要目的、内容及主要结果 1 3 1 本文研究的主要目的及内容 虽然小波分析已取得了巨大成功，但其理论和方法还正处于发展 之中，尤其多进小波和多小波理沦还有许多难题，远没有2 进小波成 熟，相关的应用研究也还处于探索之中我们在欣赏小波分析优良陛 能的同时，应当看到小波分析的一些不足例如，常用的2 进小波的 分解和重构要反复迭代多次，这使得小波变换的结构较为复杂，尤其 芯片设计时要占用宝贵的芯片内存资源，小波变换的主频也要受限于 这一结构这一问题有望在多进小波里得到解决例如，一个1 6 进小 波分解一次后低频分量数是原来的十六分之一，用2 进小波的话，则 博士学位论文 要分解4 次理论上，2 进小波里正交性与线性相位的矛盾是难以调 和的与2 进小波相比，多进小波系至少存在以下优点，高频端具有 更细的频带划分；能量更集中；正交小波的选取具有更大的自由度； 正交小波的紧支性与线性相位是相容的；正交性与插值性是相容的 这些因素促使本文对多进小波理论及应用的研究 从数学上看，小波分析与其它分析( 如傅里叶分析、有限分析) 一 样，都是用特殊的基函数来展开和研究一个任意函数与其它基函 数相比，小波基具有良好的局部化性质、多分辨率功能及性质的多样 性这是小波分析具有广泛应用领域的主要原因人们可以根据各自 应用领域的不同，可构造相应的小波基小波函数构造和性质分析成 了小波应用的前提和基础，也是小波理论研究一个重点和热点问题 因此本文研究的主要内容是关于一些特定性质多进小波基的构造理 论及应用的研究 关于小波基的构造，1 9 8 8 年，d a u b c c h i e s 2 s 得到了2 进正交小波 基构造一般方法，称为d a u b e c h i e s 小波，并成功地应用于信号、图像 处理等领域然而，d a u b e c h i e s 同时也证明了紧支2 进正交小波具有 一些明显缺陷，如除h a m 小波外是不具有线性相位，即除了h a a r 小 波外，不存在紧支正交对称2 进小波系多进小波的研究是现阶段小 波理论研究一个热点主要在于它具有广泛应用领域和丰富的参数 表示为了设计p rf i rq m f 滤波器库，v a i d y a n a t h a n 和他的同事【4 8 】发 明了多相位分解技术，并在多进小波构造中取得了一系列成果在多 进小波的具体构造工作中，c h u i 和l i a n 在文献【3 2 】中，得到了一类3 - 进紧支正交对称小波的方法h a n 【删研究了一个垂进小波的例子 黄达人 5 1 1 教授等著有一本有关多进小波的专著，介绍了多进小波的 一般理论王国秋教授f 叫系统研究了一类双对称4 - 进小波类，并具 有较好应用价值彭立中教授等在文献【5 7 】中研究了另外一类与文献 【3 4 1 中不同的正交对称4 - 进小波类 不同于2 进小波系，多进小波构造要复杂得多，特别是高进制的 特定性质小波基的构造小波基的构造主要有两种途径：一是直接构 造基函数，验证它们满足基的条件；二是空间分解方法将空间按一 定的规律分解为具有特定性质子空间序列，然后按特性找出子空间的 多带小波理论及应用 基来合成全空间的基在构造小波基中，按第一种单个找基函数的方 法也取得了不少成果，但是，按第二种的空间分解方法，经过多年的 努力，形成了构造小波基的一般框架一多分辨分析多分辨分析( m r a ) 是m a l l a t 与m e y e r 于1 9 8 9 年首先提出来的，通过特殊的空间分解，能 巧妙地构造几乎所有具有良好性质的小波基利用m r a 中空间塔式 分解的多分辨特性，m r a 方法构造的小波基在计算小波级数的系数 时具有快速递推算法- m a l l a t 算法，大大地简化了小波系数的计算， 为小波理论的应用提供了捷径因此，基于m r a 的小波基的构造方 法成为小波基构造最主要的方法 2 0 0 3 年，c h a r l e sk c h u i 4 5 1 等，基于多分辨分析得到了d ( d 2 ) 进紧 小波框架构造的重要方法具体步骤为：先构造多分辨分析的尺度函 数咖( z ) 及对应尺度符号矗o ( u ) 使之满足参( o ) = 1 ，矗( 学) = 0 ，k = 1 ，d 一1 然后寻求有限高通滤波器序列 1 ，h r 及2 1 r 周期三角多项式o c w ) 满 足e ( o ) ：1 及 o ( u )五1 ( u ) 五( u ) 矗o ( u + 簪)元1 ( u + 鲁) 元( u + 鲁) 矗o ( u + 掣) 元1 ( u + 掣) 五r ( u + 掣) e ( 山) 元o ( u ) 元1 ( u ) ： 驴( u ) 定义小波函数( z ) ，l = 1 ，r e ) 0 o ( z ) = h t k 咖( d x 一南) ，l = 1 ，r ( 1 3 2 ) k e z 则妒( z ) ，矿( z ) 通过伸缩和平移生成l 2 ( r ) 中d 进紧小波框架，并称 妒- ( z ) ，矿( z ) 为d 进小波函数 式( 1 3 1 ) 中，当e ( u ) 三1 时，称( 1 3 1 ) 为仿酉扩充( t h eu n i t a r ye x - t e n s i o np r i n c i p l eu e p ) 此时由( 1 3 1 ) 构造小波函数消失矩可能低于尺度 函数逼近阶当e ( u ) 1 时，称( 1 3 1 ) 为斜仿酉扩充( o b l i q u ee x t e n s i o n 博士学位论文 p r i n c i p l e ( o e p ) ) ，根据e ) 的选取，可使得小波函数具有更广泛选取空 间但u e p 和o e p 都关系到一个复杂矩阵方程的求解，而且，小波 函数的性质与方程组的解的关系比较复杂 本文主要利用文献【4 5 】主要思想，基于多分辨分析构造一些具有 特定性质多进小波系具体研究内容包括：多进正交对称尺度函数和 紧支正交对称多进小波基的构造方法；在逼近阶给定条件下，支集最 短的正交对称多进小波基构造程序；考虑利用角参数来表示一类正交 对称小波滤波器簇，希望能根据角参数选取，得到一些具有特定性质 小波系；探索一些具有特殊对称性多进小波函数构造，如成对对称， 和具有优美结构小波函数的构造方法 h a a r 小波性能与应用研究是本文研究第二个主要内容h a a r 小 波是一类支集最短小波系，在多进h a a r 小波系中，希望利用性质分 析和实验数据寻找一类相应于某一领域最优h a a r 小波并探讨其所 具有性质和构造方法在正交多小波系中，小波函数消失矩与矩阵滤 波器序列关系非常复杂，直接构造具有高阶消失矩的多小波函数十分 难困c h u i ，7 】得到了利用正交多小波维数扩充来提高多小波函数消 失矩，根据文献【7 7 】的基本思路，提出一种算法，利用多小波维数扩 充来提高正交对称多小波消失矩及逼近阶是本文研究的第三个主要 内容 1 3 2 本文研究主要结果 基于多分辨分析的小波基的构造，一重要工作是构造具有良好性 质的尺度函数这是因为小波函数是由尺度线性平移组合来表示，小 波函数的一些基本性质是由尺度函数确定，如光滑性和逼近阶等构 造具有良好l 生质的尺度函数在小波基构造中具有非常重要意义，为此 研究并得到了多进紧支对称小波尺度函数构造一般方法，分析了低通 滤波器序列与尺度函数性质对应关系，得到正则阶一定条件下，长度 最短的正交对称低通滤波器序列构造程序例如，设 坼) = ( 盐专产坐) m ) 删加s 。+ 5 l 汁+ 酃n 多带小波理论及应用 为m 阶正则d 进正交对称尺度函数对应低通滤波器z 变换，则 n 【半j + m + 【半】 并且存在z 次关于c o sc d 多项式q ( c o sc o ) 使得 晶( z ! = ：9 ( c o s 堋2 胪搦 ( 1 3 4 ) ( z ) 1 2 = ( 1 + c 0 8 u ) ( 9 ( c o s u ) ) 2 ，礼= 2 1 + 1 满足条件( 1 3 3 ) ，( 1 3 4 ) 的s n ( z ) 具体构造方法见第2 章的2 2 3 节这具 体结果将发表于数学学报2 0 0 9 年5 2 卷第3 期 正交对称多进小波具有广泛的应用领域，为构造具有不同性质多 进正交对称小波函数，着重考虑了多进正交对称小波对应滤波器多 相矩阵酉分解结构，在低通滤波器给定条件下，给也了仿酉向量对称 扩充规律来构造高通滤波器序列，并最终得到了一类多进小波滤波器 簇角参数表示形式，可根据实际应用对象不同来确定角参数以得到相 应的多进正交对称小波基这一具体结果见第3 章3 3 2 节，且已发表 于( ( 应用数学学报2 0 0 8 年第3 1 卷第4 期关于奇数进小波基的构 造，以3 进正交对称小波基构造为例，给出了一种仿酉向量对称扩充 方法，以避免高通滤波器序列构造的复杂二次方程的求解这一方法 见第3 章3 3 3 节 为了改进离散余弦变换性能，提出了最优多进h a a r 小波的概念， 证明了其存在性和唯一性，给出了最优多进h a a r 小波构造的通用方 法，并证明了最优多进h a a r 小波具有线性相位最后，利用图像压缩 编码的数据验证了最优多进h a a r 小波的性能优于离散余弦变换最 优h a a r 小波变换可以化为精确的小整数运算，能非常廉价地用集成 电路实现该变换的实用意义在于给图像和视频压缩提供了一个更好 的选择这些基本结果已发表于计算数学2 0 0 9 年第1 期 最后探索了具有优美结构多进小波滤波器簇的构造，得到了利用 给定滤波器簇来构造偶进成对对称小波滤波器簇方法及具有优美结 构小波基构造为提高正交对称多小波消失矩及逼近阶，考虑并得到 了正交对称多小波维数扩张算法，并举例说明该算法的有效性这一 具体结果见第5 章5 3 节 博士学位论文 2 多进小波尺度函数性质分析与构造 尺度函数是平方可积函数空间l 2 ( r ) 中的一类十分重要的函数， 它具有