林福民《《数理方法简明教程》第四章课后习题答案.pdf

第四章 留数及其应用 习题四 4 1 求下列函数在指定点处的留数 2 在 处 应用物理 1002 涂坤输入 解 为一阶奇点 4 应用物理 1002 涂坤输入 解 处是自然数 在0 1 sin 6 zm z zm 12 0 12 1 sin n n n z n z 12 0 1 12 1 sin n n n z n z 12 0 1 12 1 sin nm n n m z n zz nmnm2112 1m 1 Re 2 m sf z m 留数不为零 是大于零的偶数时 仅当 4 2 计算下列闭合曲线积分 1 应用物理 1002 涂坤输入 解 为奇点 内包含 为二阶奇点 Resf i 3 光信息 1001 许世松输入 解 Z i 为一阶奇点 2 1 5 13 zCdz z ez C z 分析 环路积分包含两个奇点 除奇点外解析 利用留数定理 求出奇点留数 代入留数分析 环路积分包含两个奇点 除奇点外解析 利用留数定理 求出奇点留数 代入留数 定理即可求出环路积分定理即可求出环路积分 1 0 1 13 zz z ez zf z 的奇点有两个 解 是一阶极点易得1 z 1 13 1 1 1 lim 1 Re e z ez zsf z z 的本性奇点是 z ez 1 0 利用洛朗级数和泰勒级数展开 求其留数利用洛朗级数和泰勒级数展开 求其留数 3 00 00 3 13 1 1 1 1 nk nk k k kk n n z z n zz n z z ez zf 留数是洛朗级数展开中负一次幂所对应的系数留数是洛朗级数展开中负一次幂所对应的系数 即即 4 0 413 nknknk 044 4 kn时 145 5 kn时 246 6 kn时 347 7 kn时 3 1 3 1 2 1 1 1 0 1 3 1 2 1 1 1 0 1 7 1 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 1 0 1 7 1 6 1 5 1 4 1 0 Re 11 ee sf z数之和为 的负一次幂所对应的系 isfsfidz z ez C z 3 2 0 Re 1 Re2 1 13 4 3 计算下列实变积分 0 sin 2 2 0 2 a a d 2 00 2 0 2 0 2 0 2 cos122 1 cos12 2cos12 2 2 2cos1 sin a d a d a d a d a d 0 22 cos12 2cos 12 2 cos12a d a d a d i i c c zsf izzza dz iz zz a dz a d a d Re2 24 2 12 2 1 cos122 1 sin 1 1 2 0 2 0 2 1 24 1 24 1 21 zazazzz zf 1 12 12 2 aaz 11 12 12 2 aaz 1 12 2 1 Re 2 a zsf aaa zsf a d i i 22 2 0 2 21 12 Re2 sin 4 光信息 1001 许世松输入 解 z i 为二阶奇点 6 dx xx x 54 cos 2 dx xx e dx xx x ix 54 Re 54 cos 22 iii ix eeeifsi dx ixix e 21 2 2 Re2 2 2 2cos 2 2 cos 1 edx ixix x 一类型三的推广 被积函数是广义积分 0 mdxexfI imx 其中 f x 为有理式 分