复变函数习题一.pdf

习题一答案 1 求下列复数的实部 虚部 模 幅角主值及共轭复数 1 1 32i 2 1 2 i ii 3 1 3 1 i ii 4 821 4iii 解 1 132 3213 i z i 因此 32 Re Im 1313 zz 1232 argarctan 3131313 zzzi 2 3 1 2 1 310 iii z iii 因此 31 Re Im 1010 zz 1131 argarctan 3101010 zzzi 3 133335 122 iii zi ii 因此 35 Re Im 32 zz 34535 argarctan 232 i zzz 4 821 4141 3ziiiiii 因此 Re1 Im3zz 10 argarctan3 1 3zzzi 2 将下列复数化为三角表达式和指数表达式 1 i 2 13i 3 sincos ri 4 cossin ri 5 1 cossin 02 i 解 1 2 cossin 22 i iie 2 13i 2 3 22 2 cossin 2 33 i ie 3 sincos ri 2 cos sin 22 i rire 4 cossin ri cos sin i rire 5 2 1 cossin2sin2 sincos 222 ii 2 2sin cossin 2sin 2222 i ie 3 求下列各式的值 1 5 3 i 2 100100 1 1 ii 3 13 cossin 1 cossin ii ii 4 2 3 cos5sin5 cos3sin3 i i 5 3 i 6 1 i 解 1 5 3 i 5 2 cos sin 66 i 5 55 2 cos sin 16 3 66 ii 2 100100 1 1 ii 50505051 2 2 2 2 2ii 3 13 cossin 1 cossin ii ii 2 cos sin cossin 33 2 cos sin cos sin 44 ii ii 2 cos sin cos2sin2 1212 ii 2 12 2 cos 2 sin 2 2 1212 i ie 4 2 3 cos5sin5 cos3sin3 i i cos10sin10 cos19sin19 cos 9 sin 9 i i i 5 3 i 3cos sin 22 i 11 cos 2 sin 2 3 23 2 kik 31 0 22 31 1 22 2 ik ik ik 6 1 i 2 cossin 44 i 4 11 2 cos 2 sin 2 2 42 4 kik 4 8 4 8 2 0 2 1 i i ek ek 4 设 12 1 3 2 i zzi 试用三角形式表示 12 z z与 1 2 z z 解 12 cossin 2 cos sin 4466 zizi 所以 1 2 z z2 cos sin 2 cossin 46461212 ii 1 2 z z 1155 cos sin cossin 2464621212 ii 5 解下列方程 1 5 1zi 2 44 0 0 zaa 解 1 5 1 zi 由此 2 5 5 1 k i ziei 0 1 2 3 4 k 2 444 4 cossin zaai 11 cos 2 sin 2 44 akik 当0 1 2 3k 时 对应的 4 个根分别为 1 1 1 1 2222 aaaa iiii 6 证明下列各题 1 设 zxiy 则 2 xy zxy 证明 首先 显然有 22 zxyxy 其次 因 22 2 xyx y 固此有 222 2 xyxy 从而 22 2 xy zxy 2 对任意复数 12 z z有 222 121212 2Re zzzzz z 证明 验证即可 首先左端 22 1212 xxyy 而右端 2222 11221122 2Re xyxyxiyxiy 2222 11221212 2 xyxyx xy y 22 1212 xxyy 由此 左端 右端 即原式成立 3 若abi 是实系数代数方程 1 0110 0 nn n a za zaza 的一个根 那么abi 也是它的一个根 证明 方程两端取共轭 注意到系数皆为实数 并且根据复数的乘法运算规则 nn zz 由此得到 1 0110 0 nn n aza zaza 由此说明 若z为实系数代数方程的一个根 则z也是 结论得证 4 若1 a 则 ba 皆有 1 ab a ab 证明 根据已知条件 有1aa 因此 1 1 ababab a abaaaba aba 证毕 5 若1 1ab 则有1 1 ab ab 证明 222 abab abababab 2 22 1 1 1 1abababababab 因为1 1ab 所以 222222 1 1 1 0ababab 因而 2 2 1abab 即1 1 ab ab 结论得证 7 设1 z 试写出使 n za 达到最大的z的表达式 其中n为正整数 a为复 数 解 首先 由复数的三角不等式有1 nn zazaa 在上面两个不等式都取等号时 n za 达到最大 为此 需要取 n z与a同向且 1 n z 即 n z应为a的单位化向量 由此 n a z a n a z a 8 试用 123 z zz来表述使这三个点共线的条件 解 要使三点共线 那么用向量表示时 21 zz 与 31 zz 应平行 因而二者应同 向或反向 即幅角应相差0或 的整数倍 再由复数的除法运算规则知 21 31 zz Arg zz 应为0或 的整数倍 至此得到 123 z zz三个点共线的条件是 21 31 zz zz 为实数 9 写出过 1212 z zzz 两点的直线的复参数方程 解 过两点的直线的实参数方程为 121 121 xxt xx yyt yy 因而 复参数方程为 112121121 zxiyxiyt xxiyiyzt zz 其中t为实参数 10 下列参数方程表示什么曲线 其中t为实参数 1 1 zi t 2 cossinzatibt 3 i zt t 解 只需化为实参数方程即可 1 xt yt 因而表示直线yx 2 cos sinxat ybt 因而表示椭圆 22 22 1 xy ab 3 1 xt y t 因而表示双曲线1xy 11 证明复平面上的圆周方程可表示为 0zzazazc 其中a为复常数 c为实常数 证明 圆周的实方程可表示为 22 0 xyAxByc 代入 22 zzzz xy i 并注意到 2 22 xyzzz 由此 0 22 zzzz zzABc i 整理 得 0 22 ABiABi zzzzc 记 2 ABi a 则 2 ABi a 由此得到 0zzazazc 结论得证 12 证明 幅角主值函数argz在原点及负实轴上不连续 证明 首先 argz在原点无定义 因而不连续 对于 0 0 x 说明动点到 0 z的距离为一常数 因而表示圆 心为 0 z 半径为r的圆周 2 0 zzr 是由到 0 z的距离大于或等于r的点构成的集合 即圆心为 0 z半 径为r的圆周及圆周外部的点集 3 138 zz 说明动点到两个固定点 1 和 3 的距离之和为一常数 因 而表示一个椭圆 代入 zxiy 化为实方程得 22 2 1 1615 xy 4 zizi 说明动点到i和i 的距离相等 因而是i和i 连线的垂直平 分线 即x轴 5 arg 4 zi 幅角为一常数 因而表示以i为顶点的与x轴正向夹角为 4 的射线 15 做出下列不等式所确定的区域的图形 并指出是有界还是无界 单连通还是多 连通 1 23z 以原点为心 内 外圆半径分别为 2 3 的圆环区域 有界 多 连通 2 arg 02 z 显然2z 并且原不等式等价于32zz 说明z 到 3 的距离比到 2 的距离大 因此原不等式表示 2 与 3 连线的垂直平分线即x 2 5 左边部分除掉x 2 后的点构成的集合 是一无界 多连通区