浅论数学归纳法及其应用.docx

论文：浅论数学归纳法及其应用摘 要数学归纳法是一种重要的思想方法，也是数学中经常用到的一个有效的逻辑推理方法，它的特征是从特殊到一般的推理，利用数学归纳法可以解决一些比较复杂的问题。我国著名数学家华罗庚说过：“把数学归纳法学好了，对进一步学好高等数学有帮助，甚至对认识数学的性质，也会有所裨益”。所以，正确理解和掌握数学归纳法证明的一般步骤和一定技巧是十分有必要的。数学归纳是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，它的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可。本文先对数学归纳法作简单介绍，然后引入几种特殊的数学归纳法形式，举例表现其在不同问题中的应用，最后得出数学归纳法的应用技巧。关键词：数学归纳法 二重数学归纳 连续归纳ABSTRACTMathematical induction is a kind of important thought method, often used in mathematics is an effective method of logical reasoning, its characteristic is from special to general reasoning, using the mathematical induction method can solve some complex problems. The Chinese famous mathematician HuaLuogeng said: to learn mathematical induction, to further learn higher mathematics help, even the understanding of the nature of mathematics, it would also help. Therefore, the correct understanding and grasp the general steps of teaching induction proof and certain skills is very necessary. Mathematical induction is a method that applies only to a positive integer proposition, its expression strict and standardized, two steps are necessary. This paper first gave a brief introduction to the mathematical inductive method, then introduce the mathematical induction method of several kinds of special forms, for example, the performance in different problems. In the end, the application skills of the mathematical induction method is obtained.Key words：Mathematical induction; Double mathematical induction; Continuous induction目 录1.引言12.数学归纳法12.1 数学归纳法的定义概述12.2 数学归纳法的基本原理12.3 数学归纳法的步骤23.数学归纳法的形式23.1 数学归纳法的基本形式23.1.1 第一数学归纳法23.1.2第二数学归纳法23.2 数学归纳法的其它形式33.2.1 二重归纳法33.2.2实数连续归纳法34.数学归纳法在解题中的应用34.1 证明整除问题34.2 证明等式问题44.3 证明不等式问题44.4 证明余数问题54.5 证明三角函数恒等式问题64.6用数学归纳法证明数的大小75.数学归纳法的应用技巧85.1 增多起点，加大跨度85.2 曲中求全，强化命题85.3 欲擒故纵，推广命题96、小结10参考文献11致谢121.引言我们从中学开始接触数学归纳法，数学归纳法是证明与正整数有关命题的一种方法，是递归循环的简单形式。在很多的证明方法中，数学归纳法的机械证法，特立独行，开拓我们的视野，给我们提供新的想法解决问题。就像我们学过的合数与质数定义，奇数与偶数的定义，等腰三角形与等边三角形定义等等都是由数学归纳法归纳与类比得出来的。跟数学归纳法的特征以及难易程度，到高中，我们才开始深入学习数学归纳法，利用数学归纳法解决一些比较复杂的问题。了解数学归纳法的证明步骤并不难，仿照例题就可以学会，但其中包含的数学思想，就需要我们不断的学习和积累，体会其中的奥秘。本文先对数学归纳法作简单的介绍；然后简述数学归纳法的基本形式，接着再引入几种特殊的数学归纳法形式，进一步理解数学归纳法；最后我们在通过用数学归纳法证明数学问题的过程中，可以更加深刻理解和掌握“归纳猜想证明”这一过程方法的运用，进一步深入了解数学归纳法在数论中的应用，再总结得出数学归纳法在解题时的技巧应用。它在数学学习中有着很重要的价值，而且还贯穿于其他学科。领悟数学归纳法蕴含的数学思想，形成一种新的认知结构，运用其思想解决实际生活中的问题，真正做到活学活用数学归纳法，对加强我们自身的能力会有很大的帮助，也会使我们的工作效率事半功倍。2.数学归纳法2.1 数学归纳法的定义概述定义：数学上证明与自然数相关的命题的一种经常用的方法，常常用下面的方法来验证命：（1）证明取第一个值时命题成立；（2）假设时命题成立；证明时命题也成立；（3）综合（1）（2）得命题成立。这种证明方法叫做数学归纳法。数学归纳法的基本思想：第一，先验证使结论有意义的最小正整数，如果时，命题成立，第二，假设时，命题成立，第三，推出，验证命题成立，就可以推出对于满足所有符合不小于的正整数命题都成立。其核心和难点在于这个过程的推理证明。2.2 数学归纳法的基本原理回想我们在上体育课时，老师首先会叫我们集合，体育委员会说开始报数，接到口令的第一个同学会开始报1，第二个同学接着报2，依次进行下去，直到最后一个同学报数结束，这时会发现每一个正整数后面都接着一个正整数，事实上，数学归纳法正是基于这样一个简单的原理。数学归纳法原理源于皮亚诺公理。皮亚诺五条公理如下：（1）0是自然数；（2）确定的每一个自然数，都有一个确定的后继数，也是自然数；（3）1不是任何自然数的后继数（如果只考虑正整数，公理中的0要换成1）；（4）如果、的后继数都是自然数，则；（5）设，且满足2个条件：一个是0，另一个是，那么。则是全体自然数的集合，即。2.3 数学归纳法的步骤数学归纳法的标准推理模式：一个与自然数相关的命题，（1）先验证当取第一个值时结论成立，（2）假设时命题成立，推出时命题成立，（3）有（1）（2）得出结论。我们还可以把上面的文字叙述用图示简单明白的表示出来：归纳递推验证时命题成立，证明时命题成立验证时命题成立归纳奠基命题对从开始所有正整数都成立3.数学归纳法的形式3.1 数学归纳法的基本形式3.1.1 第一数学归纳法一个关于正整数的命题，假如（1）成立，（2）假设成立，则也成立，则，对任何正整数都成立。3.1.2第二数学归纳法一个关于正整数的命题，假如（1）成立，（2）假设对于所有适合的正整数成立，则成立，则，对任意的正整数都成立。3.2 数学归纳法的其它形式3.2.1 二重归纳法设是关于两个独立自然数，的命题，如果（1）和成立；（2）和成立，证明成立，则对任何自然数，都成立。3.2.2实数连续归纳法设是定义在内的命题函数,如果(1)有某个实数,使对一切满足的实数,有成立;(2)若对一切满足的实数，有成立,则有,使对一切满足的实数成立。那么,对一切任意成立7。4.数学归纳法在解题中的应用4.1 证明整除问题例1：用数学归纳法证明能被8整除。证明：(1）当时， =368，3688=46，能被8整除；(2）假设，能被8整除，则时=由假设知能被8整除，可得能被8整除，所以假设成立，能被8整除。例2:用数学归纳法证明能被7整除。证明：（1）当时，显然能被7整除，（2）如果当时，能被7整除，那么当时，有则和1295能被7整除，因此，当时，命题成立。4.2 证明等式问题例3：用数学归纳法证明。证明：(1)时，左边=右边=2， (2)假设，等式成立，则： 则时，等式左边= 所以时，等式成立。4.3 证明不等式问题例4：用数学归纳法证明不等式。证明：(1)当时， (2)若，不等式成立，则时，利用把分母适当放大的方法证明，左边的特点是分母逐渐增加1，末项为； 由，末项是到，末项是，增加的项数是。 将上式左边的每一项的分母均缩小为，由于每一项的分母均被扩大，所以上式的每一项都被缩小。所以，由（1）（2）得时，不等式成立。例5:用数学归纳法证明不等式。证明：通过求出原不等式的通项公式为：，所以，取6时，原不等式成立。（1）时原命题成立，（2）假设时，原命题成立，即，则，当时，；所以；即时，原命题成立；（3）所以，由（1）（2）得原不等式对于任意正整数都成立。4.4 证明余数问题例6：用数学归纳法证明除以20的余数为9。证明：（1）当时，则：被20除余数为9。（2）假设时，除以20的余数为9成立，被20整除， 则时，有： =所以被20整除，然后验证被20整除。（i）当时，被20整除成立，（ii)假设时成立，则被20整除，则当时，能被20整除，（3）所以综合（1）（2）可知原命题成立。4.5 证明三角函数恒等式问题例7：用数学归纳法证明。证明：（1）当时，左边=，右边，这时左边等于右边，则原命题成立。（2）当时，命题成立。即：成立。当时，将代入式子消掉得当时，则原命题成立。（3）由（1）和（2）可得，。例8：证明证明：（1）当时，左边右边，此刻原等式成立；（2）假设当时，原等式成立，即，则当时，左边 右边所以左边右边。所以当时，等式成立。（3）由（1）和（2）可知，等式对于都成立4.6用数学归纳法证明数的大小例9：比较与的大小。证明：（1）当时，因而，即时，结论正确；（2）假设当时，这个命题成立，即，当时，得：所以，当时，原命题成立。（3）由（1）和（2）可知，这个命题对于满足所有大于或等于5的正整数都正确。例10：比较与的大小。证明：（1）当时，显然命题成立，（2）当时，这个命题正确，当时，可得：左边=右边=所以，所以当时，即当时，。（3）由（1）和（2）可知。5.数学归纳法的应用技巧数学归纳法是证明一些与无限个正整数相关命题常常用的方法，而且它的做法独特，别具一格，拥有固定的形式，但它又非常的灵活，并且拥有很强的技巧性。不过，在应用数学归纳法解题时，往往会在这一推理证明的过程中遇到瓶颈，为了准确的证明这一过程，就需要花费很多的时间去验证。所以掌握一些例题的解题技巧，把证明过程化难为易，是很有必要的。下面就介绍它的三种常见技巧。5.1 增多起点，加大跨度在第一数学归纳法中，如果成立，每次仅递推进一步，这是以1为跨度推进，若一些命题的传递性呈现出较大的周期，采用这种方法有些困难，这时可以相应的加大跨度，增多起点进行处理，跳跃进行。比如：已经证明成立，且验证了成立，可得，成立，再验证成立，可得，成立，所以对任意的都成立。例5.1.1 试证：对任意正整数，方程恒有正整数解。证明：当时，因此只要取即可。所以当时，取，即时结论成立。假设时，存在正整数，使得，那么，这说明只要时结论成立，即可推得结论成立7。5.2 曲中求全，强化命题当运用数学归纳法证明命题时，会遇到证明有些困难的命题，这个时候就要强化命题，证明比原命题更强的命题，尽管是非常困难的，但是对数学证明命题来说命题越强所做的归纳假设也就越强，减少了归纳过度的难度，化难为易，最后得到我们想要的结果。例5.2.2 在直角三角形（为直角）中任给个点，证明：必可把这些点适当的编号为，使得。考虑到直角三角形内的点与顶点联系起来，考虑用和进行划分，证明下列更强的命题。命题2：在直角三角形（为直角）中任给个点，证明：必可把这些点适当的编号为，使得。证明：当=1时，由知。即命题2成立。假设时，命题2成立。当时，做斜边上的高。如果所有给定的点都在的同侧，不妨设都在中，那么令为距离最近的点，过作交与，交于，在给定的中去除，在直角三角形中使用归纳假设，存在其他的点排列，使得，再由和以及即得结论。如果在，中都有所给的点，在中有个点，在中有个点，则，于是在中的个点可编号为，使得。在中的个点可编号为，使,知，所以7即当时，命题2成立，从而推出原命题成立。5.3 欲擒故纵，推广命题数学归纳法是用来证明关于正整数的命题，但多数涉及的是某些较大的正整数而很少涉及一串正整数，这时我们可以考虑将命题从特殊型向一般型推广，把它推广到任意正整数，然后再用数学归纳法证明推广后的命题，就会更加方便。例5.3.1 正数列满足，且。证明：存在正整数，使得。证明：可以考虑把2010推广到任意正整数。当，有当时，。假设不等式对不大于的数都成立，则。更进一步，则，于是因此对足够大的，有76、小结数学归纳法是一种常常使用的论证方法，对于这类重要的方法学好了、学透了，对进一步学好高等数学是非常有帮助的，甚至对认识数学的性质，也会有所裨益。用数学归纳法证明命题时，它的叙述比较严格并且规范，两个步骤缺了一个都不行，第一步是递归的“基础”，第二步是递归的“依据”。在第二步中，归纳假设是起着“已知条件”的作用，在“”这一环节中就要运用到归纳假设，不然就不算是完整的数学归纳法。第二步的关键是“一凑假设，二凑结论”。数学归纳法是一种重要而且通用的数学方法，它帮助我们开阔眼界，锻炼推理能力。参考文献1吕宝兴.关于数学归纳法N.上海市上海中学.2004(4).2程克