高三数学 专题12 圆锥曲线的综合问题练习.doc

专题12：圆锥曲线的综合问题(两课时)一、前测训练1（1）点a是椭圆的左顶点，点f是右焦点，若点p在椭圆上，且位于轴上方，满足papf，则点p的坐标为 （2）若点o和点f分别为椭圆的中心和左焦点，点p为椭圆上的任意一点，则的最大值为 答案：(1)(,)(2)62(1)已知椭圆的方程为1，与右焦点f相应的准线与x轴相交于点a，过点a的直线与椭圆相交于p、q两点若0，求直线pq的方程(2)已知椭圆的方程为1，与右焦点f相应的准线与x轴相交于点a，过点a的直线与椭圆相交于p、q两点设(1)，过点p且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点m，证明： (3)已知椭圆方程为 1，一条不与坐标轴平行的直线l与椭圆交于不同的两点a、b，且线段ab中点为(2，1)，求直线l的斜率答案：(1)y(x3)(2)略(3)二、方法联想1椭圆上一个点问题方法1：设点、代入方程、列式、消元；方法2：求点、代入方程、列式、求解注意 考虑x0(或y0)的取值范围 2直线与椭圆相交于两点问题方法1 设两点a(x1，y1)、b(x2，y2)，直线方程与椭圆方程联立，消去y得关于x的方程ax2bxc0，由韦达定理得x1x2，x1x2，代入已知条件所得式子消去x1，x2(其中y1，y2通过直线方程化为x1，x2)注意：(1)设直线方程时讨论垂直于x轴情况；(2)通过判断交点个数； (3)根据需要也可消去x得关于y的方程结论：弦长公式 abx1x2y1y2方法2 设两点a(x1，y1)、b(x2，y2)，代入椭圆方程得通过已知条件建立x1、y1与x2、y2的关系，消去x2、y2解关于x1、y1的方程组（或方程）方法3 点差法设两点a(x1，y1)、b(x2，y2)，代入椭圆方程得两式相减得，即kab，其中ab中点m为(x0，y0) 注意：点差法一般仅适用于与弦中点与弦的斜率相关的问题三、例题分析第一层次例1 设椭圆c： 1（ab0）过点（0，4），离心率为（1）求c的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被c所截线段的中点坐标答案：（1）c的方程为1（2）所截线段的中点坐标为（，）教学建议一、主要问题归类与方法：1椭圆中的几个基本量以及它们之间的关系2利用直线方程与椭圆方程组成的方程组研究直线与椭圆相交3利用韦达定理研究直线与椭圆相交的中点问题二、方法选择与优化建议：1研究“弦的中点问题”还可以利用“点差法”本题由于直线方程和椭圆方程都是已知的，所以利用韦达定理来研究还是比较直接的例2 已知椭圆c：y21（常数m1），点p是c上的动点，m是右顶点，定点a的坐标为（2，0）（1）若m与a重合，求c的焦点坐标；（2）若m3，求pa的最大值与最小值；（3）若pa的最小值为ma，求m的取值范围答案：（1）左、右焦点坐标为（，0），（，0）（2）pa的最大值与最小值分别为和5（3）m的取值范围是1m1教学建议一、主要问题归类与方法：1椭圆标准方程，椭圆中的几个基本量以及它们之间的关系，椭圆的焦点坐标2点在椭圆上，点的坐标满足方程，同时点的横、纵坐标有范围3建立目标函数，研究给定定义域的二次函数的值域4研究二次函数在定义域的一个端点取得最值时所满足的条件5解简单的分式不等式二、方法选择与优化建议：1突出函数思想，关注函数的定义域结合函数的图象进行研究，体现数形结合的思想例3 已知椭圆c：1上一点a（1，），e、f是椭圆c上的两个动点，若直线ae的斜率与af的斜率互为相反数，直线ef的斜率是否为定值？如果是，求出定值；反之，请说明理由答案：直线ef的斜率为定值，且kef教学建议一、主要问题归类与方法：1点斜式直线方程2通过直线方程和椭圆方程组成的方程组求交点坐标3直线的斜率公式4强化运算能力，要对自己的计算有信心二、方法选择与优化建议：1本题也可以先设出点e、f的坐标由于已知了直线ae与直线af斜率之间的关系，所以利用方程组求解较为合理2由于点a已经是直线与椭圆的一个交点，所以在解方程组时，要学会将椭圆方程理性变形3在求出了点e坐标之后，点f坐标理性思考之后给出第二层次例1 如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆c：1(ab0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆c的短半轴长为半径的圆与直线xy20相切（1）求椭圆c的方程；xyotmpqn（2）已知点p(0，1)，q(0，2)设m，n是椭圆c上关于y轴对称的不同两点，直线pm与qn相交于点t，求证：点t在椭圆c上答案：（1）椭圆c的方程为1 （2）略教学建议一、主要问题归类与方法：1椭圆标准方程，椭圆中的离心率及椭圆的短半轴长等椭圆中的基本概念2直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径3关于y轴对称的两点的坐标特征两直线的交点4点在椭圆上，点的坐标满足椭圆方程二、方法选择与优化建议：1解法一：很自然地设出点m，n的坐标，利用两直线相交求出交点t的坐标，看它是否满足椭圆方程解法二：可先设出点t的坐标（x，y），利用两条直线方程，把m或n点的坐标表示出来，再代入椭圆方程，得出关于x，y的方程本题解法二的计算量相对小一点例2 如图，a，b是椭圆c：1（ab0）的左右顶点，m是椭圆上异于a，b的任意一点，若椭圆c的离心率为，且右准线l的方程为x4（1）求椭圆c的方程；（2）设直线am交l于点p，以mp为直径的圆交直线mb于点q，试证明：直线pq与x轴的交点r为定点，并求出r点的坐标答案：（1）椭圆c方程为1（2）r点的坐标为（，0）教学建议一、主要问题归类与方法：1椭圆标准方程，椭圆的右准线方程和离心率2点在椭圆上，点的坐标满足方程3两点式直线方程，两直线的交点，点斜式直线方程4直径所对的圆周角是直角，互相垂直的两条直线斜率之间的关系二、方法选择与优化建议：1解析几何的解题要关注平面几何性质的运用，以简化运算例3 已知平面内一动点p到点f（1，0）的距离与点p到y轴的距离的差等于1（1）求动点p的轨迹c的方程；（2）过点f作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹c相交于点a，b，l2与轨迹c相交于点d，e，求的最小值答案：（1）动点p的轨迹c的方程为：y24x（x0）；y0（x0）（2）取得最小值16.教学建议一、主要问题归类与方法：1两点之间的距离及点到直线的距离2求动点轨迹方程（即动点的坐标满足的方程）3直线方程与抛物线方程组成的方程组求解4韦达定理研究一元二次方程根与系数的关系5坐标形式下向量数量积的表示，基本不等式求最值二、方法选择与优化建议：1可以利用抛物线的定义来求动点轨迹方程，但容易漏解2注意计算过程中的理性思维，简化求解过程3利用基本不等式求最值优于利用导数求最值第三层次例1，已知椭圆c：1上一点a（1，），e、f是椭圆c上的两个动点，若直线ae的斜率与af的斜率互为相反数，直线ef的斜率是否为定值？如果是，求出定值；反之，请说明理由答案：直线ef的斜率为定值，且kef教学建议一、主要问题归类与方法：1点斜式直线方程2通过直线方程和椭圆方程组成的方程组求交点坐标3直线的斜率公式4强化运算能力，要对自己的计算有信心二、方法选择与优化建议：1本题也可以先设出点e、f的坐标由于已知了直线ae与直线af斜率之间的关系，所以利用方程组求解较为合理2由于点a已经是直线与椭圆的一个交点，所以在解方程组时，要学会将椭圆方程理性变形3在求出了点e坐标之后，点f坐标理性思考之后给出例2 椭圆c：1（ab0）的左、右焦点分别为f1，f2，右顶点为a，p为椭圆c上任意一点已知的最大值为3，最小值为2（1）求椭圆c的方程；（2）若直线l：ykxm与椭圆c相交于点m，n两点（m，n不是左、右顶点），且0，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标答案：（1）椭圆c的方程为1（2）直线l过定点（，0）教学建议一、主要问题归类与方法：1点在椭圆上，点的坐标满足方程，同时点的横、纵坐标有范围2建立目标函数，研究给定定义域的二次函数的值域3解二元二次方程组，二次函数的零点式4以已知两点为直径的圆的方程（渗透求圆方程的另一种方法）5向量数量积为0与两直线相互垂直的关系6研究动直线过定点的方法二、方法选择与优化建议：1直角坐标系下研究向量问题，往往坐标形式比较简单2由于直接求m，n两点的坐标比较困难（求也可以，由于方程中字母较多，运算较为复杂），所以将条件0理解成点a在以mn为直径的圆上，从而找到m与k的关系例3 如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆e：1（ab0）的离心率e，a1，a2分别是椭圆e的左、右两个顶点，圆a2的半径为a，过点a1作圆a2的切线，切点为p，在x轴的上方交椭圆e于点q a1a2opqmnbcxy（1）求直线op的方程；（2）求的值；（3）设a为常数过点o作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于e点b，c，分别交圆a2于点m，n，记obc和omn的面积分别为s1，s2，求s1s2的最大值答案：（1）直线op的方程为yx（2）（3）s1s2的最大值为一、主要问题归类与方法：1椭圆的基本量及基本概念2圆的切线的平面几何性质，解直角三