数学北师大版八年级下册平移的性质.doc

图形的平移第课时1.认识平移,说出平移的定义,理解平移的基本内涵.2.理解并能说出平移的性质,即一个图形和它经过平移所得的图形中,对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且相等;对应线段平行(或在一条直线上)且相等,对应角相等.1.经历观察、分析、操作、欣赏以及抽象、概括等过程,探索图形平移的基本性质.2.感悟平移前后图形的变化,从点、线、角、位置、大小等不同角度说出平移前后图形的变化关系.通过探究,归纳平移的定义、特征、性质,积累数学活动经验,进一步发展空间观念,增强空间想象力.【重点】1.认识平移在现实生活中的广泛应用.2.探索和理解平移的基本性质.【难点】平移基本性质的探索和理解.【教师准备】实际生活中的平移图片.【学生准备】复习翻折、平移、旋转、轴对称等知识.导入一:1.同学们,你们小时候去过游乐园吗?在游乐园中你们玩过哪些游乐项目?在玩这些游乐项目时你们想过什么?你们想过它里面蕴含着数学知识吗?2.找一找这些项目中,哪些项目的运动形式是一样的,观看游乐园内的一些项目,引出第三章内容,并进行初步分类,引出本节课研究内容:板书课题图形的平移.设计意图由学生喜闻乐见的游乐场引入课题,容易激发学生的学习兴趣.导入二:请你判断: 小明跟着妈妈乘观光电梯上楼,一会儿,小明兴奋地大叫起来:“妈妈!妈妈!你看我长高了!我比对面的大楼还要高!”小明说的对吗?为什么?设计意图较好地发挥了“情景导入”的作用,却又找不到足够的理由说服持有不同观点的同学.此情此景,在好奇心的驱动之下,学生欲罢不能,很容易就产生了继续学习、探索新知识的欲望.导入三:请大家仔细观察如图所示的图案,你觉得漂亮吗?这个图案的特点是由一个“基本图案”通过平移得到的,你能找到这个“基本图案”吗?这节内容我们就来研究一种几何变换平移.一、平移的定义过渡语(针对导入三)刚才我们看到的美丽图案,它是由12个完全一样的图形组成的,这个图案可以看成是由一个基本图形按照一定方式移动得到的.这样的图形运动称作什么呢?这就是我们本课时要研究的图形的平移. 思路一(1)我们再来感受一下平移.上面我们提到的游乐场中的滑梯等,你们在上面玩耍的时候,哪些方面是不变的?哪些方面是变化的?(2)什么是平移呢?引导学生探讨并在班内交流,达成共识后,得出平移的定义:在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形运动称为平移.平移不改变图形的形状和大小.设计意图引导学生通过观察,发现图形间的变化规律,得出平移的定义.思路二教师通过多媒体展示(展示画面)现实生活中平移的具体实例:(1)箱子在传送带上移动的过程.(2)手扶电梯上人移动的过程.教师提问: 你能发现传送带上的箱子、手扶电梯上的人在移动前后什么没有改变,什么发生了改变吗? 在传送带上,如果箱子的某一部分向前移动了80 cm,那么箱子的其他部位向什么方向移动?移动了多少距离?学生自由发言,各抒己见.平移前后两个图形的形状和大小没有改变,位置发生了改变.根据上述分析,你能说明什么样的图形运动称为平移吗?平移的定义:在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形运动称为平移.平移不改变图形的形状和大小.平移三要素: 基本图形,平移方向,平移距离.设计意图数学来源于实际生活,使学生感受到生活中处处有数学.利用课本上的两个实例,进一步感受平移的实质,渗透平移的三要素,即“基本图形、平移方向、平移距离”.如图所示,ABC经过平移得到ABC.我们把点A与点A叫做对应点,线段AB与线段AB叫做对应线段,A与A叫做对应角.此时:点B的对应点是点B;点C的对应点是点 C;线段AC的对应线段是线段AC;线段BC的对应线段是线段BC;B的对应角是B;C的对应角是C.ABC平移的方向就是由点B到点B的方向,平移的距离就是线段BB的长度.二、平移的性质过渡语一个图形和它经过平移所得到的图形中,对应点所连的线段有什么关系,对应线段和对应角有什么关系?用多媒体演示图形的平移过程,让学生通过对图形平移现象的观察,探索其中的性质.同学们通过刚才的观察,总结出一个结论,即:“图形的位置改变了,但形状和大小没有改变”.现在我们一起来探索:平移前后对应点、对应线段以及对应角之间在做怎样的变化.教师提出问题:想一想,将左图的四边形硬纸片按某一方向平移一定的距离,右图画出了平移前的四边形ABCD和平移后的四边形EFGH.问题:(1)在上图中,线段AE,BF,CG,DH有怎样的关系?(2)图中每对对应线段之间有怎样的关系?(3)图中有哪些相等的线段、相等的角?学生分成四人一组,共同探讨平移的性质.讨论分析:变换前后对应点所连线段平行(或在一条直线上)且相等.平移变换是图形的每一个点的变换,一个图形沿某个方向移动一定距离,那么每一个点也沿着这个方向移动相同距离,所以对应点所连线段平行(或在一条直线上)且相等.变换前后的图形全等.平移变换是由一个图形沿着某个方向移动一定距离,所以平移前后的图形是全等的.变换前后对应角相等.变换前后对应线段平行(或在一条直线上)且相等.学生归纳总结,教师板书平移的性质:一个图形和它经过平移所得的图形中,对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且相等;对应线段平行(或在一条直线上)且相等,对应角相等.设计意图这个活动是探索平移的性质,对学生有点难度,通过设置问题的回答,使学生直接观察得出性质.操作性强又富有挑战性的数学活动,激发了学生学习的兴趣,对平移的基本内涵和基本性质这两个重点,学生能掌握得更好.三、例题讲解过渡语刚才我们了解了平移的相关概念和平移的基本性质,我们能用学到的知识解答一些问题吗?(补充例题)如图(1)所示,经过平移,ABC的顶点A移到了点D.(1)指出平移的方向和平移的距离;(2)画出平移后的三角形;(3)请在图(2)中找出平行且相等的线段,以及相等的角(找出对应角即可).解:(1)如图(2)所示,连接AD,平移的方向是点A到点D的方向,平移的距离是线段AD的长度.(2)如图(2)所示,分别过点B,C按射线AD的方向作线段BE,CF,使得它们与线段AD平行且相等,连接DE,DF,EF,DEF就是ABC平移后的图形.(3)图中平行且相等的线段有:AB与DE,BC与EF,AC与DF,AD与BE,AD与CF,BE与CF;相等的角有:BAC与EDF, ABC与DEF, ACB与DFE.设计意图让学生进一步体会确定平移的两个要素:平移的方向和平移的距离,加深对平移性质的理解和应用.知识拓展平移作图.平移作图是平移基本性质的应用,利用平移可以得到许多美丽的图案.在具体作图时,应抓住作图的“四步曲”定、找、移、连.(1)定:确定平移的方向和距离;(2)找:找出表示图形的关键点;(3)移:过关键点作平行且相等的线段,得到关键点的对应点;(4)连:按原图形顺序连接对应点.说明:平移作图实际上是平移基本性质的实际应用.注意:(1)平移作图的方法是由平移的性质而来,但必须注意两个条件,一是平移的方向,二是平移的距离.(2)平移的作图要抓住以下几个特征:平移前后对应点连线平行(或共线)且相等.对应线段平行(或共线)且相等.对应角相等.1.平移是运动的一种形式,是图形变换的一种.2.图形的平移有两个要素:一是图形平移的方向;二是图形平移的距离.这两个要素是图形平移的依据.3.图形的平移是指图形整体的平移.经过平移后的图形与原图形相比,只改变了位置,而不改变图形的形状和大小,这个特征是得出图形平移的基本性质的依据.1.下列运动属于平移的是()A.急刹车时汽车在地面上的滑动B.冷水加热中,小气泡上升为大气泡C.随风飘动的风筝在空中的运动D.随手抛出的彩球的运动解析:A中汽车向前滑动,方向和大小都没有改变,属于平移;B中气泡大小发生了变化,不属于平移;C中风筝在空气中运动方向不断变化,不属于平移;D中彩球运动方向不能确定.故选A.2.如图所示,O是正六边形ABCDEF的中心,下列图形中可由三角形OBC平移得到的是()A.三角形OCDB.三角形OABC.三角形FAOD.以上都不对解析:根据平移的定义与特征知,平移后图形的形状、大小不改变,对应线段平行(或在一条直线上)且相等,对应角相等,三角形OBC是等边三角形,与其他五个三角形的形状、大小相同,关键是看其他三角形的对应边是否符合平移的特征.故选C.3.如图所示的四个小三角形都是等边三角形,边长都为1 cm,能通过平移三角形ABC得到三角形FAE和三角形ECD吗?若能,请指出平移的方向和平移的距离.解析:三角形FAE与三角形ABC都是等边三角形,则有AF=BA=BC=AE=FE=AC,满足平移后图形的大小和形状不变.平移的方向为点A到点F的方向,平移的距离为AF的长度(1 cm).同理可得ABC与ECD的关系.解:能.三角形ABC平移到三角形FAE的平移方向为点A到点F的方向,平移的距离为1 cm;三角形ABC平移到三角形ECD的平移方向为点A到点E的方向,平移的距离为1 cm.4.如图所示,图形ABCD平移到图形EFGH,试根据该图,回答下列问题.(1)在图中,线段AE与BF,CG与DH有怎样的位置关系?(2)图中线段AB与EF,AD与EH有怎样的位置关系?(3)说出图中相等的角(说出对应角即可).解析:AE,BF,CG,DH是对应点所连的线段,AB与EF,AD与EH是对应线段,由平移的特征可知它们的位置关系是平行.对应角相等.解:(1)平行.(2)平行.(3)BAD=FEH,ADC=EHG,DCB=HGF,ABC=EFG.5.经过平移,三角形ABC的边AB移到了AB,作出平移后的三角形ABC.解析:本题已知原图形和平移后的一条线段,就相当于已知原图形和平移的方向、平移的距离,所以根据平移前后两三角形全等可以作出平移后的三角形,具体的作法有很多种.解法1:如图(1)所示,分别过点A,B,作出与AC,BC平行且相等的线段AC,BC,两条线段相交于点C,三角形ABC即为所求.解法2:如图(2)所示,分别以A,B为圆心,以线段AC,BC的长为半径画弧,交于点C,连接AC,BC即得ABC.解法3:如图(3)所示,连接AA,过点C按照射线AA的方向作射线CC,使CCAA并截取CC=AA,则连接AC,BC所得的三角形ABC即为所求作的三角形.第1课时一、平移的定义二、平移的性质三、例题讲解一、教材作业【必做题】教材第67页习题3.1的1,2题.【选做题】教材第68页习题3.1的3,4题.二、课后作业【基础巩固】1.下列说法正确的是()A.两个全等的图形可看做其中一个是由另一个平移得到的B.由平移得到的两个图形对应点连线互相平行(或共线)C.由平移得到的两个等腰三角形周长一定相等,但面积未必相等D.边长相等的两个正方形一定可以通过平移得到2.如图所示,下列每组图形中的两个三角形不是通过平移得到的是()3.下列现象:电风扇的转动;打气筒打气时,活塞的运动;钟摆的摆动;传送带上瓶装饮料的移动.其中属于平移的是.【能力提升】4.如图所示,一张白色正方形纸片的边长是10 cm,被两张宽为2 cm的阴影纸条分为四个白色的长方形部分,请你利用平移的知识求出图中白色部分的面积.5.如图所示,ADBC,ABC=80,BCD=50,利用平移的知识讨论BC与AD+AB的数量关系.6.如图所示,将RtABC沿直角边AB的方向向右平移2个单位长度得到DEF,如果BG=CG,AB=4,ABC=90,且ABC的面积为6,求图中阴影部分的面积.7.如图所示,ABC沿射线MN方向平移一定距离后成为ABC.找出图中相等的线段以及全等的三角形.8.A,B两点间有一条传输速度为每分钟5米的传送带,由A点向B点传送货物.一只蚂蚁不小心爬到了传送带上,它以每分钟1.5米的速度从A点爬向B点,3分钟后,蚂蚁爬到了B点,你能求出A,B两点间的距离吗?【拓展探究】9.如图所示,BAC=30,BAC=45,且ABAB,直线AC与直线AC相交于点O,求COC的度数.10.如图所示,有一条光滑曲线,画出将它沿数轴向左平移2个单位长度后的图形.【答案与解析】1.B(解析:全等的图形不一定能通过平移得到,故A错;由平移的性质知平移得到的两个图形对应点连线互相平行(或共线),故B正确;由平移得到的两个等腰三角形周长一定相等,面积也相等,故C错;边长相等的两个正方形不一定能通过平移得到,故D错.)2.B(解析:由平移的性质可知,A,C,D均可通过平移得到,B不能通过平移得到.故选B.)3.(解析:根据平移的定义,打气筒打气时,活塞的运动,传送带上瓶装饮料的移动属于平移,而电风扇的转动,钟摆的摆动属于旋转.)4.解:把图中的阴影部分平移到正方形纸片相邻的两边上,这时图中的四个白色长方形变成了一个正方形,边长为10-2=8(cm),所以面积为82=64(cm2),故图中白色部分的面积为64 cm2.5.解:如图所示,由于ADBC,所以可平移AB到DE的位置(即过点D作DEAB交BC于点E),则AD=BE,DEC=ABC=80,在DEC中,由于BCD=50,所以CDE=BCD=50,因此DE=EC,所以BC=BE+EC=AD+DE=AD+AB.6.解:因为SABC=12ABBC=6,且AB=4,所以BC=3,所以BG=32,所以SBDG=BDBG=12232=32.即阴影部分的面积为32.7.解:由平移的性质可知,对应点所连的线段相等,即AA=BB=CC;对应边相等,即AB=AB,BC=BC,AC=AC.平移不改变图形的形状和大小,故ABCABC.8.解:能.(5+1.5)3=19.5(米).答:A,B两点间的距离为19.5米.9.解:如图所示,沿直线CO方向平移CAB,使点A与点O重合,平移后得到的角为COD.又ABAB,所以ABOD,故也可以看做BAC平移为DOC,由图形平移的特征知COD=CAB,DOC=BAC,所以COC=COD+DOC=CAB+BAC=30+45=75.10.解:确定曲线上的五个特殊点,其中A,C,E是曲线与数轴的交点,B,D分别是曲线的最高点和最低点;将五个特殊点沿数轴向左平移2个单位长度;用光滑的曲线连接五个特殊点,如图所示.本节课以观看游乐园内的一些项目,创设了在学生已有的知识经验基础上的情境,引出第三章内容,激起学生的求知欲,再以学生熟悉的几个事例引出本节课的研究内容:图形的平移.学生分小组讨论,教师通过课件演示,学生在观察、探索的基础上归纳出平移的定义、特征、性质.这既给学生提供了一个充分从事数学活动的机会,又体现了学生是数学学习的主体的理念.在小组讨论之前,没有留给学生充分的独立思考的时间,让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考,掩盖了其他学生的疑问.教师应对小组讨论给予适当的指导,包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等,使小组合作学习更具实效性.随堂练习(教材第67页)解:平移线段AB能够与CD重合;平移线段AB不能与EF重合.习题3.1(教材第67页)1.解:给出以下两种画法:依据平移后的图形与原来的图形的对应线段平行,作EDAC,FDBC,ED与FD交于点D,则EFD即为所求作的三角形,如图(1)所示.根据平移后对应点所连的图(1)线段平行(或在一条直线上)且相等,连接AE,作CDAE,且CD=AE,连接DE,则DEF即为所求作的三角形,如图(2)所示.图(2)2.解:所作图形如图所示.3.解:所作图形如图所示.4.解:不是平移,因为10.811.1=11.111.2,移动的距离不相等,所以不是平移.5.解:如图所示,从A,B两点延长ABC的另外两边,交点即是点C的位置.对于E点,连接AD,过B作线段BEAD,即可确定点E的位置,再连接D,E,F即可得到DEF.下图是由一个正方形向右平移若干次得到的图案,那么第n个图案中正方形的个数是多少?解:当n=1时,正方形向右平移一次,正方形的个数为3;当n=2时,正方形向右平移两次,其中第二次平移后比第一次平移多出了4个正方形,正方形的个数为3+4=7;当n=3时,正方形向右平移三次,后两次平移中每一次都要比前一次多出4个正方形,正方形的个数为3+24=11由此可得,第n个图案中正方形的个数为3+4(n-1)=4n-1.解题策略根据