福建省龙岩市上杭一中高三数学上学期期中试卷 文（含解析）.doc

2015-2016学年福建省龙岩市上杭一中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1设全集u=1，2，3，4，0，集合a=1，2，0，b=3，4，0，则（ua）b=( )a0b3，4c1，2d2在复平面内，复数（i是虚数单位）对应的点位于( )a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限3“a=2”是“直线l1：axy+3=0与l2：2x（a+1）y+4=0互相平行”的( )a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件4设向量，均为单位向量，且|+|=1，则与夹角为( )abcd5命题“xr，使得x21”的否定是( )axr，都有x21bxr，都有x1或x1cxr，使得x21dxr，使得x216在abc中，ac=1，b=30，abc的面积为，则c=( )a30b45c60d757设定义在r上的奇函数f（x）满足f（x）=x24（x0），则f（x2）0的解集为( )a（4，0）（2，+）b（0，2）（4，+）c（，0）（4，+）d（4，4）8已知数列an的前n项和，则an=( )abcd9若点p（x，y）满足线性约束条件，点，o为坐标原点，则的最大值为( )a0b3c6d610将函数f（x）=sin（2x+）的图象向左平移个单位，所得到的函数图象关于y轴对称，则的一个可能取值为( )abc0d11若点p是曲线y=x2lnx上任意一点，则点p到直线y=x2的最小距离为( )ab1cd212设f（x）=|lgx|，若函数g（x）=f（x）ax在区间（0，4）上有三个零点，则实数a的取值范围是( )abcd二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13设函数f（x）=，则f（f（1）的值为_14在平面直角坐标系xoy中，点f为抛物线x2=8y的焦点，则f到双曲线的渐近线的距离为_15当点（x，y）在直线x+3y=2上移动时，z=3x+27y+3的最小值是_16已知数列an满足a1=1，an=logn（n+1）（n2，nn*）定义：使乘积a1a2ak为正整数的k（kn*）叫做“易整数”则在1，2015内所有“易整数”的和为_三、解答题（本大题共5题每题12分共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17abc中内角a，b，c的对边分别为a，b，c，向量=（2sinb，），=（cos2b，1）且（1）求锐角b的大小；（2）如果b=2，求abc的面积sabc的最大值18如图，在正方体abcda1b1c1d1中，m、n、g分别是a1a，d1c，ad的中点求证：（1）mn平面abcd；（2）mn平面b1bg19等差数列an的前n项和为sn，且满足a1+a7=9，s9=（）求数列an的通项公式；（）设bn=，数列bn的前n项和为tn，求证：tn20已知椭圆（ab0）的焦距为，离心率为（）求椭圆方程；（）设过椭圆顶点b（0，b），斜率为k的直线交椭圆于另一点d，交x轴于点e，且|bd|，|be|，|de|成等比数列，求k2的值21已知函数f（x）=alnx（a0），e为自然对数的底数（）若过点a（2，f（2）的切线斜率为2，求实数a的值；（）当x0时，求证：f（x）a（1）；（）在区间（1，e）上1恒成立，求实数a的取值范围四、选做题（请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号）.【选修4-2：坐标系与参数方程】22已知直线n的极坐标是pcos（+）=4，圆a的参数方程是（是参数）（1）将直线n的极坐标方程化为普通方程；（2）求圆a上的点到直线n上点距离的最小值选修4-5：不等式选讲23设函数f（x）=|x1+a|+|xa|（1）若a2，xr，证明：f（x）3；（2）若f（1）2，求a的取值范围2015-2016学年福建省龙岩市上杭一中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1设全集u=1，2，3，4，0，集合a=1，2，0，b=3，4，0，则（ua）b=( )a0b3，4c1，2d【考点】交、并、补集的混合运算 【分析】先计算集合cua，再计算（cua）b【解答】解：a=1，2，0，b=3，4，0，cua=3，4，（cua）b=3，4故答案选b【点评】本题主要考查了集合间的交，补混合运算，较为简单2在复平面内，复数（i是虚数单位）对应的点位于( )a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限【考点】复数代数形式的混合运算 【分析】化简复数为a+bi （a、br）的形式，可以确定z对应的点位于的象限【解答】解：复数=故选c【点评】本题考查复数代数形式的运算，复数和复平面内点的对应关系，是基础题3“a=2”是“直线l1：axy+3=0与l2：2x（a+1）y+4=0互相平行”的( )a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【专题】简易逻辑【分析】根据充分必要条件的定义结合两直线平行的性质及判定得出答案【解答】解：当a=2时，l1：2x+y3=0，l2：2x+y+4=0，两直线平行，是充分条件；若直线l1：axy+3=0与l2：2x（a+1）y+4=0互相平行，则a（a+1）=2，解得：a=2，或a=1，不是必要条件，故选：a【点评】本题考查了充分必要条件，考查了两直线平行的性质及判定，是一道基础题4设向量，均为单位向量，且|+|=1，则与夹角为( )abcd【考点】数量积表示两个向量的夹角；单位向量 【专题】计算题【分析】设与的夹角为，将已知等式平方，结合向量模的含义和单位向量长度为1，化简整理可得=，再结合向量数量积的定义和夹角的范围，可得夹角的值【解答】解：设与的夹角为，|+|=1，（+）2=2+2+2=1（*）向量、均为单位向量，可得|=|=1代入（*）式，得1+2+1=1=1，所以=根据向量数量积的定义，得|cos=cos=，结合0，得=故选c【点评】本题已知两个单位向量和的长度等于1，求它们的夹角，考查了得数量积的定义、单位向量概念和向量的夹角公式等知识，属于基础题5命题“xr，使得x21”的否定是( )axr，都有x21bxr，都有x1或x1cxr，使得x21dxr，使得x21【考点】命题的否定 【分析】根据命题“xr，使得x21”是特称命题，其否定为全称命题，即：xr，都有x21xr，都有x1或x1从而得到答案【解答】解：命题“xr，使得x21”是特称命题否定命题为：xr，都有x21xr，都有x1或x1故选b【点评】本题主要考查全称命题与特称命题的转化6在abc中，ac=1，b=30，abc的面积为，则c=( )a30b45c60d75【考点】三角形的面积公式 【专题】解三角形【分析】利用正弦定理，求出c，从而可求a，利用abc的面积确定c的大小，即可得出结论【解答】解：abc中，b=30，ac=1，ab=，由正弦定理可得：=，sinc=，c=60或120，c=60时，a=90；c=120时a=30，当a=90时，abc的面积为abacsina=，当a=30时，abc的面积为abacsina=，不满足题意，则c=60故选：c【点评】本题考查正弦定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题7设定义在r上的奇函数f（x）满足f（x）=x24（x0），则f（x2）0的解集为( )a（4，0）（2，+）b（0，2）（4，+）c（，0）（4，+）d（4，4）【考点】函数奇偶性的性质 【专题】函数的性质及应用【分析】根据已知中定义在r上的奇函数f（x）满足f（x）=x24（x0），先求出f（x）0的解集，进而求出f（x2）0的解集【解答】解：f（x）=x24（x0），当x0时，若f（x）0，则x2，又由函数f（x）是定义在r上的奇函数，当x0时，x0，若f（x）0，则f（x）0，则0x2，即2x0，故f（x）0的解集为（2，0）（2，+），故f（x2）0时，x2（2，0）（2，+），x（0，2）（4，+），即f（x2）0的解集为（0，2）（4，+）故选： b【点评】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性求出当x0时，f（x）0的解集，是解决本题的关键8已知数列an的前n项和，则an=( )abcd【考点】数列的求和 【专题】计算题；等差数列与等比数列【分析】由已知，结合递推公式可得，an=snsn1=n2an（n1）2an1（n1），即=，利用迭代法能求出an【解答】解：sn=n2an当n1时，sn1=（n1）2an1an=snsn1=n2an（n1）2an1（n21）an=（n1）2an1即=，an=a1=1=故选b【点评】本题主要考查由数列的递推公式an=snsn1求把和的递推转化为项的递推，及由即=，利用迭代法求解数列的通项公式，求解中要注意抵消后剩余的项是：分子，分母各剩余两项9若点p（x，y）满足线性约束条件，点，o为坐标原点，则的最大值为( )a0b3c6d6【考点】简单线性规划 【专题】不等式的解法及应用【分析】设z=，根据数量积的公式计算出z，作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论【解答】解：设z=，则z=3x+y，即y=x+，作出不等式组对应的平面区域如图：平移直线y=x+，由图象可知当直线y=x+经过点a时，直线y=x+的截距最大，此时z最大，由，解得，即a（1，），此时z=31+=3+3=6，故的最大值为6，故选：d【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据数量积的公式将条件化简，以及利用数形结合是解决本题的关键10将函数f（x）=sin（2x+）的图象向左平移个单位，所得到的函数图象关于y轴对称，则的一个可能取值为( )abc0d【考点】函数y=asin（x+）的图象变换 【专题】三角函数的图像与性质【分析】由条件利用y=asin（x+）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，求得的一个可能取值【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+）的图象向左平移个单位，可得到的函数y=sin2（x+）+）=sin（2x+）的图象，再根据所得图象关于y轴对称，可得+=k+，即=k+，kz，则的一个可能取值为，故选：b【点评】本题主要考查y=asin（x+）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，属于基础题11若点p是曲线y=x2lnx上任意一点，则点p到直线y=x2的最小距离为( )ab1cd2【考点】点到直线的距离公式 【专题】转化思想；导数的综合应用【分析】由题意知，当曲线上过点p的切线和直线y=x2平行时，点p到直线y=x2的距离最小求出曲线对应的函数的导数，令导数值等于1，可得切点的坐标，此切点到直线y=x2的距离即为所求【解答】解：点p是曲线y=x2lnx上任意一点，当过点p的切线和直线y=x2平行时，点p到直线y=x2的距离最小直线y=x2的斜率等于1，令y=x2lnx，得 y=2x=1，解得x=1，或x=（舍去），故曲线y=x2lnx上和直线y=x2平行的切线经过的切点坐标为（1，1），点（1，1）到直线y=x2的距离等于，点p到直线y=x2的最小距离为，故选：c【点评】本题考查点到直线的距离公式的应用，函数的导数的求法及导数的意义，体现了转化的数学思想方法，是中档题12设f（x）=|lgx|，若函数g（x）=f（x）ax在区间（0，4）上有三个零点，则实数a的取值范围是( )abcd【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；根的存在性及根的个数判断 【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用【分析】转化函数的零点为方程的根，利用数形结合，推出3个零点满足的情况，利用函数的导数求出切线的斜率，推出结果即可【解答】解：函数g（x）=f（x）ax在区间（0，4）上有三个零点，就是g（x）=f（x）ax=0在区间（0，4）上有三个根，也就是f（x）=ax的根有3个，即两个函数y=f（x）与y=ax图象在区间（0，4）上的交点个数为3个如图：由题意以及函数的图象可知函数有3个零点，直线y=ax过a，与l之间时，满足题意a（4，lg4），koa=设l与y=lgx的切点为（t，f（t），可得y=，切线的斜率为：=，即lgt=lge，t=e可得切线l的斜率为：，a故选：b【点评】本题考查函数的零点与方程的根的关系，考查数形结合转化思想的应用，是中档题二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13设函数f（x）=，则f（f（1）的值为2【考点】分段函数的应用；函数的值 【专题】函数的性质及应用【分析】直接利用分段函数化简求解即可【解答】解：函数f（x）=，则f（1）=，f（f（1）=f（）=log2=2故答案为：2【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力14在平面直角坐标系xoy中，点f为抛物线x2=8y的焦点，则f到双曲线的渐近线的距离为【考点】双曲线的简单性质 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】求得抛物线的焦点和双曲线的渐近线方程，再由点到直线的距离公式计算即可得到所求值【解答】解：抛物线x2=8y的焦点f（0，2），双曲线的渐近线方程为y=3x，则f到双曲线的渐近线的距离为d=故答案为：【点评】本题考查双曲线和抛物线的方程和性质，主要考查焦点和渐近线方程的求法，考查点到直线的距离公式的运用，属于基础题15当点（x，y）在直线x+3y=2上移动时，z=3x+27y+3的最小值是9【考点】基本不等式 【专题】不等式的解法及应用【分析】利用基本不等式的性质、指数的运算法则即可得出【解答】解：点（x，y）在直线x+3y=2上移动，x+3y=2，z=3x+27y+3+3=+3=+3=9，当且仅当x=3y=1时取等号其最小值是9故答案为：9【点评】本题考查了基本不等式的性质、指数的运算法则，属于基础题16已知数列an满足a1=1，an=logn（n+1）（n2，nn*）定义：使乘积a1a2ak为正整数的k（kn*）叫做“易整数”则在1，2015内所有“易整数”的和为2036【考点】数列的函数特性 【专题】函数的性质及应用【分析】由题意，及对数的换底公式知，a1a2a3ak=log2（k+1），结合等比数列的前n项和进行求解即可【解答】解：an=logn（n+1），由a1a2ak为整数得1log23log34logk（k+1）=log2（k+1）为整数，设log2（k+1）=m，则k+1=2m，k=2m1；211=20482015，区间1，2015内所有“易整数”为：211，221，231，241，2101，其和m=211+221+231+241+2101=10=211210=2036故答案为：2036【点评】本题以新定义“易整数”为切入点，主要考查了对数的换底公式及对数的运算性质的应用三、解答题（本大题共5题每题12分共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17abc中内角a，b，c的对边分别为a，b，c，向量=（2sinb，），=（cos2b，1）且（1）求锐角b的大小；（2）如果b=2，求abc的面积sabc的最大值【考点】二倍角的余弦；平行向量与共线向量；两角和与差的正弦函数 【专题】解三角形【分析】（1）由两向量的坐标，及两向量平行时满足的关系列出关系式，利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切后求出tan2b的值，由b为锐角，得到2b的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出b的度数；（2）由cosb的值及b的值，利用余弦定理列出关于a与c的关系式，利用基本不等式求出ac的最大值，再由sinb及ac的最大值，利用三角形的面积公式即可求出三角形abc面积的最大值【解答】解：（1）=（2sinb，），=（cos2b，2cos21），且，2sinb（2cos21）=cos2b，即2sinbcosb=sin2b=cos2b，tan2b=，b（0，），2b（0，），2b=，即b=；（2）b=，b=2，由余弦定理cosb=得：a2+c2ac4=0，又a2+c22ac，代入上式得：ac4（当且仅当a=c=2时等号成立），sabc=acsinb=ac（当且仅当a=c=2时等号成立），则sabc的最大值为【点评】此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：二倍角的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，基本不等式，余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键18如图，在正方体abcda1b1c1d1中，m、n、g分别是a1a，d1c，ad的中点求证：（1）mn平面abcd；（2）mn平面b1bg【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定 【专题】证明题；综合题【分析】（1）取cd的中点记为e，连接ne，ae，证明mnae，即可mn平面abcd；（2）证明aebg，bb1ae，即证明 ae平面b1bg，然后可得mn平面b1bg【解答】证明：（1）取cd的中点记为e，连接ne，ae由n，e分别为cd1与cd的中点可得ned1d且ne=d1d，又amd1d且am=d1d，所以amen且am=en，即四边形amne为平行四边形，所以mnae，又ae平面abcd，所以mn平面abcd（2）由ag=de，bag=ade=90，da=ab可得edagab所以agb=aed，又dae+aed=90，所以dae+agb=90，所以aebg，又bb1ae，所以ae平面b1bg，又mnae，所以mn平面b1bg【点评】本题考查直线与平面平行，直线与平面垂直，考查学生逻辑思维能力，是中档题19等差数列an的前n项和为sn，且满足a1+a7=9，s9=（）求数列an的通项公式；（）设bn=，数列bn的前n项和为tn，求证：tn【考点】数列的求和；等差数列的性质 【专题】等差数列与等比数列【分析】（i）设数列an的公差为d，由于a1+a7=9，s9=，利用等差数列的通项公式及前n项和公式可得，解出即可；（）利用等差数列的前n项和公式可得sn=，于是bn=，利用“裂项求和”及“放缩法”即可证明【解答】（）解：设数列an的公差为d，a1+a7=9，s9=，解得，=（）证明：sn=，bn=，数列bn的前n项和为tn=+=tn【点评】本题考查了等差数列的通项公式及前n项和公式、“裂项求和”方法、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20已知椭圆（ab0）的焦距为，离心率为（）求椭圆方程；（）设过椭圆顶点b（0，b），斜率为k的直线交椭圆于另一点d，交x轴于点e，且|bd|，|be|，|de|成等比数列，求k2的值【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程 【专题】计算题【分析】（）由已知，可求a，c结合b2=a2c2=1即可求b，进而可求椭圆方程（）由（）得过b点的直线为y=kx+1，联立直线y=kx+1与椭圆方程可求d的坐标，及k的取值范围，由|bd|，|be|，|de|成等比，可得|be|2=|bd|de|，即（1yd）|yd|=1，解方程可求【解答】解：（）由已知，解得，所以b2=a2c2=1，椭圆的方程为（）由（）得过b点的直线为y=kx+1，由得（4k2+1）x2+8kx=0，所以，所以，依题意k0，因为|bd|，|be|，|de|成等比数列，所以|be|2=|bd|de|，所以b2=（1yd）|yd|，即（1yd）|yd|=1，当yd0时，yd2yd+1=0，无解，当yd0时，yd2yd1=0，解得，所以，解得，所以，当|bd|，|be|，|de|成等比数列时，（14分）【点评】本题主要考查了由椭圆的性质求解椭圆的方程，直线与椭圆的相交关系的应用，及等比数列的应用，属于综合性试题21已知函数f（x）=alnx（a0），e为自然对数的底数（）若过点a（2，f（2）的切线斜率为2，求实数a的值；（）当x0时，求证：f（x）a（1）；（）在区间（1，e）上1恒成立，求实数a的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程 【专题】导数的综合应用【分析】（）求函数的导数，根据函数导数和切线斜率之间的关系即可求实数a的值；（）构造函数，利用导数证明不等式即可；（）利用参数分离法结合导数的应用即可得到结论【解答】解答：（i）函数的f（x）的导数f（x）=，过点a（2，f（2）的切线斜率为2，f（2）=2，解得a=4（）令g（x）=f（x）a（1）=a（lnx1+）；则函数的导数g（x）=a（）令g（x）0，即a（）0，解得x1，g（x）在（0，1）上递减，在（1，+）上递增g（x）最小值为g（1）=0，故f（x）a（1）成立（）令h（x）=alnx+1x，则h（x）=1，令h（x）0，解得xa当ae时，h（x）在（1，e）是增函数，所以h（x）h（1）=0当1ae时，h（x）在（1，a）上递增，（a，e）上递减，只需h（x）0，即ae1当a1时，h（x）在（1，e）上递减，