线性系统理论第三章(3).doc

33 多变量系统的实现331动态方程的可控、可观性与传递函数矩阵的关系 设多变量系统动态方程为(346)其中分别是的实常量矩阵，其传递函数矩阵为(347)式中称为系统的特征式。传递函数矩阵是一个严格真有理函数阵，即它的每一元素都是的有理函数，且分母的阶次严格高于分子的阶次。在第一章中已对有理函数矩阵的极点、零点作了定义。现利用极点多项式的概念研究多变量系统最小实现问题。设的每一个元素都是既约的的有理函数。并设定义31 有理函数矩阵称为真(严格真)有理函数阵，如果。定义32 的极点多项式中的最高次数称为的麦克米伦阶，用记号表示。对例17，显然。定理39 若(347)式中，的特征式与之间没有非常数公因式，则系统(346)是可控、可观的。本定理中的条件是系统可控可观测的充分条件而不是必要条件，这点与单变量系统不同，可用以下例题来说明。例37 设系统方程为显然系统可控且可观，但传递函数阵为在A的特征式与之间存在公因式，故定理中的条件不是必要的。定理310 系统(346)可控可观测的充分必要条件是的极点多项式等于A的特征多项式。例38 设系统动态方程为其特征多项式为。系统的传递函数阵为相应的极点多项式为，可知系统动态方程是可控可观的。极点多项式和麦克米伦阶的概念以及定理39和定理310，对于构造的最小动态方程实现是基本的。这些概念和定理也是单变量情况相应概念的推广。任一真有理函数矩阵总可分解为，其中为严格真有理函数阵。所以这里只讨论严格真有理函数阵如何用动态方程来实现的问题。332向量传递函数的实现 (1) 行分母展开时，得可观标准形最小实现例39解(2) 列分母展开时，得可控标准形最小实现例310解 注意：因为的诸元素已是既约形式，故行分母(列分母)的次数就是麦克米伦阶，所构造的实现一定是最小实现。这点和标量传函一样。333传递函数矩阵的实现可以将矩阵分成列(行)，每列(行)按列(行)分母展开。以2列为例说明列展开时的做法，设第列展开所得的可控形实现为，可按以下方式形成，这一实现是可控的，并可计算出上述实现的传函阵为同理，可以将分成行，每行按行分母展开。以2行为例说明行展开时的做法，设第i行展开所得的可观形实现为 ，可按以下方式形成这一实现是可观的，并可计算出上述实现的传函阵为定理311 严格真有理函数阵的一个动态方程实现为(348) 其中矩阵可用如下方法构造。(1) 按行分母展开的可观形实现将写成下列形式 (349)式中是第i行的最小首一公分母第行的分子可以写成次的多项式，其系数为维常数行向量构造如下矩阵作为的可观形实现：(350) (351)(351)式中表示维行向量。(2) 按列分母展开的可控形实现将写成下列形式(352)上式中的是第列的最小首一公分母第列的分子可以写成次的多项式，其系数为维常数列向量构造如下矩阵作为的可控形实现(353)(354)式(354)中的表示维的列向量。特别注意：式(350)和式(353)中采用的记号相同，但含义是不同的。例311 给定有理函数阵为试用行展开和列展开构造实现。解 采用行展开方法，将写成按(351)式，可得可观性实现如下容易验证这一实现是可观的但不是可控的。直接计算可知，而阵的维数是4，由定理310可知，该实现一定不可控。要得到可控可观的实现，可以对此四阶实现进行可控性分解，进而得到一个三阶的实现。但如果用列展开方法，就可以得到可控可观的实现，做法如下：将写成=由(348)式可构成如下的实现这是可控性实现，它也是可观的，因而是的最小阶实现。显然，在本例中一开始就应选择列展开方法。这是因为各列分母次数之和为3，小于各行分母次数之和4。如果不论行展开或列展开都不能得到最小阶实现，那么利用可控性分解或可观性分解进一步降低系统的阶次就是不能少的了。定理312 若有理函数阵可表成下列形式其中互不相同，常数矩阵。则有。证明 设，将进行满秩分解，即，其中阵，的最小阶实现为， 其中是的对角矩阵，对角元为。再用直和的方式构成：利用若当形判据易证这一实现是的最小实现，其维数为，故所证命题成立。定理312给出了一种通过满秩分解来构造最小实现的方法。例312 给定求的最小实现。解 经计算可知，若按行分母展开或按列分母展开均得到六阶实现。现用定理312的方法做。的一个最小实现为334组合结构的状态空间实现在实际问题中常常遇到下列形式的组合结构。1，串联方式一： uvyG1G2图31 串联结构图一uvyG2G12，串联方式二：图32 串联结构图二uy1yuuy2G1(s)G2(s)3，并联方式： 图33 并联结构图4，反馈结构：ywvuG1(s)G2(s) 图34 反馈结构图设的状态空间实现为，其中分别是,的矩阵。下面将分别给出这些组合结构的一个状态空间实现和相应的传递函数阵，并同时说明应满足的条件。1，串联方式一(见图31)：传函为，这意味着实现为：实现为：串联方式一的实现为：2，串联方式二(见图32)：传函为，这意味着实现为：实现为：串联方式二的实现为：例 313 给定系统其中，均为适当维数的实矩阵，其共轭系统定义为求其串联方式二的状态空间实现解：串联方式二的状态空间实现实现为：3，并联方式(见图33)：传函为,这意味着，实现为：实现为：实现为：4，传递函数求逆实现为：当为非奇异矩阵时，传递函数的逆的实现为：例314 求下图反馈连接的状态实现ywuG1(s)图35 反馈结构图其中实现为：解 由结构图可知，故传递函数矩阵为。5，反馈结构(见图34)：这意味着,实现为：实现为： 由反馈结构可知，故从而因此 其中，且用到关系式和。反馈结构实现为下