线性代数与空间解析几何试题.docxVIP

2002年线性代数与空间解析几何试题（A）一. 填空题（每小题3分，共15分）1设矩阵，则行列式.2设，若3阶非零方阵满足，则.3已知3阶方阵的行列式，则行列式4设3阶方阵的三个特征值分别为1、2、3，又方阵，则方阵的特征值为.5若矩阵为正定矩阵，则的取值范围是.二. 单项选择题（每小题3分，共15分）1 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件【 】(A)的行向量组线性相关; (B) 的列向量组线性相关;(C) 的行向量中有一个为零向量; (D)为方阵且其行列式为零.2 设维行向量，矩阵，其中为阶单位阵，则【 】(A) 0； (B)； (C)； (D) .3 设是齐次方程组的基础解系，则下列向量组中也可作为的基础解系的是【 】(A); (B) ;(C) ;(D) .4 已知线性方程组有无穷多个解，则【 】(A) 2； (B) ； (C) 1； (D).5 设矩阵的秩，下述结论中正确的是.【 】(A)的任意个列向量必线性无关；(B)的任意一个阶子式不等于零；(C)齐次方程组只有零解；(D)非齐次方程组必有无穷多解.三. (10分)已知方阵，试求行列式及逆矩阵.四.（10分）设方阵，已知，求.五. (12分)讨论为何值时，方程组（1）有唯一解？（2）无解？（3）有无穷多解？并在有无穷多解时求出其通解.六.(10分)设向量组：，试求此向量组秩和一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示.七. (12分)用正交变换化二次型为标准型，并求出所用的正交变换及的标准型. 八. (8分)已知3阶方阵满足：，其中为元素的代数余子式，求九.(8分)设两向量组：，的秩为，证明：向量组的秩为3.2002年线性代数与空间解析几何试题（B）一、填空题（每小题3分，共15分）1设矩阵，则行列式.2设，若3阶非零方阵满足，则.3齐次线性方程组的基础解系为_.4曲线绕轴旋转一周所得旋转面的方程为.5若矩阵为正定矩阵，则的取值范围是.二. 单项选择题（每小题3分，共15分）1 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是【 】(A)的行向量组线性相关; (B) 的列向量组线性相关;(C) 的行向量中有一个为零向量; (D)为方阵且其行列式为零.2 设维行向量，矩阵，其中为阶单位阵，则【 】(A) 0； (B)；(C)； (D) .3 设是齐次方程组的基础解系，则下列向量组中也可作为的基础解系的是【 】(A); (B) ;(C) ;(D) .6 已知线性方程组有无穷多个解，则【 】(A) 2； (B) ； (C) 1； (D).7 设矩阵的秩，下述结论中正确的是【 】(A)的任意个列向量必线性无关；(B)的任意一个阶子式不等于零；(C)齐次方程组只有零解；(D)非齐次方程组必有无穷多解.三. (10分)已知3阶方阵可逆且，试求的伴随矩阵的逆矩阵.四.（12分）证明直线与直线在同一平面上，并求与交点的坐标，及平面的方程.五. (12分)设向量，问取何值时，向量可由向量组线性表示？并在可以线性表示时求出此线性表示式.六.(8分)设两向量组：，的秩为，证明：向量组的秩为3.七. (10分)已知方阵的特征值为（1） 求的值；（2） 是否可以对角化？若可以，求可逆矩阵及对角矩阵，使得.一. (12分)用正交变换化二次型为标准型，并求出所用的正交变换及的标准型九. 证明题（6分）（两题中选做一题）1 设3维欧几里德有两个标准正交基，.已知可由线性表示为，试证：矩阵为正交矩阵.2 设为阶方阵，表示矩阵的秩，试证：2002年线性代数与空间解析几何试题（C）一. 填空题（每小题3分，共30分）1. 已知3阶方阵的行列式，则行列式.2. 已知3阶方阵，其中为的列向量组，若行列式，则行列式.3. 已知阶方阵，满足，为单位阵，则.4设矩阵，为的伴随阵，则_.5设，若3阶非零方阵满足，则_.6. 设向量组：，线性相关，则_.7.设是维向量，令，则向量组的线性相关性是.8. 设为的矩阵且秩为2，又3维向量是方程组的两个不等的解，则对应的齐次方程组的通解为.9. 设3阶可逆方阵有特征值2，则方阵必有一个特征值为.10. 若二次型为正定二次型，则的取值范围是_.二. (8分)已知方阵，试求行列式.三.(12分)设方阵，又已知，求以及.四. (12分)讨论为何值时，方程组(1) 有唯一解？(2) 无解？(3) 有无穷多解？并在此时求出其通解.五.(10分)设向量组：，试求此向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示.六. (12分)用正交变换化二次型为标准型，并求出所用的正交变换及的标准型. 七. (8分)设方阵为阶正交阵且，为阶单位阵，试求行列式八.(8分)设两向量组：，的秩为，证明：可由向量组线性表出.2005年线性代数与空间解析几何试题（A）符号说明：指方阵的行列式；指方阵的伴随矩阵；指矩阵的转置矩阵；指矩阵的秩；为单位矩阵；指次数不超过的一元多项式全体构成的线性空间.一、填空题 (每小题3分，共12分)(1) 若3阶方阵、的行列式分别为，则_. (2) 设4阶可逆方阵按列分块为，方阵，已知线性方程组有唯一解为，则方程组的解为=_ .(3) 设3阶实对称矩阵的特征值为，及均为的对应于特征值2的特征向量，则的对应于特征值的特征值向量为_.(4) 设矩阵，已知线性方程组无解，则常数与满足的关系式是_.二、单项选择题(每小题3分，共12分)(1) 设阶方阵的秩为，矩阵的秩为，则 (A) . (B) . (C) . (D) . 【 】(2) 设方阵与相似，即存在可逆方阵，使，已知为的对应于特征值的特征向量，则的对应于特征值的特征向量为 (A) . (B) . (C) . (D) . 【 】(3) 设为实对称矩阵，则是为正定矩阵的(A) 充分而非必要条件. (B) 必要而非充分条件. (C) 充分必要条件. (D) 既非充分又非必要的条件. 【 】(4) 设是齐次线性方程组的基础解系，则向量组 (A) 不能作为的基础解系. (B) 可作为的基础解系.(C) 可作为的基础解系.(D) 不能作为的基础解系. 【 】三、(12分) 已知方阵的第1行元素分别为，且知，求及.四、（12分）设有向量组(I)：，.问向量能否表示成向量组(I)的线性组合？若能，求出此表示式.五、（12分）求直线：在平面：上的投影直线（即上各点在上的垂足点全体所形成的直线）的方程.六、(13分) 已知矩阵相似于对角矩阵. (1) 求常数、的值；(2) 求一个可逆矩阵，使.七、（13分）求一个正交变换，将二次型化成标准形，并指出二次曲面的名称. 八、(8分)（注意：学习过第8章“线性变换”者做第2题，其余的做第1题）. 1. 设矩阵，.证明：元素组线性无关，而线性相关，并指出数域上线性空间+|的基与维数.2. 设为上的线性算子，定义为,求在的基：下的矩阵，并指出的秩及的零度.九、（6分）设阶方阵的秩为. 证明：的伴随矩阵相似于对角矩阵的充要条件是，其中为的元素的代数余子式.2005年线性代数与空间解析几何试题（B）符号说明：指方阵的行列式；指方阵的伴随矩阵；指矩阵的转置矩阵；指矩阵的秩；为单位矩阵；指次数不超过的一元多项式全体构成的线性空间.一、填空题 (每小题3分，共12分)(1) 若3阶方阵的行列式为，则_.(2) 设为的矩阵，秩，已知方程组有两个不等的特解，则方程组的通解为=_ .(3) 设3阶实对称矩阵的特征值为，又为的对应于特征值1的特征向量，则为_.(4) 设，已知非零矩阵满足，则=_.二、单项选择题(每小题3分，共12分) (1) 设阶方阵的秩为，则矩阵的秩为 (A) . (B). (C) . (D) 0. 【 】(2) 设三阶方阵可逆，且各行元素之和均为2，则A必有特征值 (A) 1. (B) 2. (C) -1. (D) -2. 【 】(3) 是线性无关的 (A) 充分而非必要条件. (B) 必要而非充分条件. (C) 充分必要条件. (D) 既非充分又非必要的条件. 【 】(4) 设为矩阵且，则下述结论正确的是 (A) 必有解. (B) 必有无穷多组解.(C) 只有零解. (D) 必无解. 【 】三、(12分) 已知，又三阶方阵满足，求.四、（12分）已知方程组，讨论为何值时方程组（1） 有解？（2）无解？并在有解时求出其通