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高等数学 备课教案 张谋 高等数学 课程教案高等数学 课程教案 一 一 课程名称 高等数学课程名称 高等数学ii Calculus ii ii Calculus ii 二 学时与学分 二 学时与学分 108 学时 6 学分 三 适用专业 三 适用专业 计算机 通信 自动化等信息类专业 机械 材料等大面积 工科和经管类 理科 专业 四 课程教材 课程教材 高等数学 第五版 同济大学数学教研室编 高等教育 出版社 1 陈传璋等编 数学分析 高等教育出版社 北京 1983 2 刘玉链等编 数学分析讲义 高等教育出版社 北京 1992 4 李心灿编 高等数学应用 205 例 高等教育出版社 北京 1986 5 喻德生等编 高等数学学习引导 化学工业出版社 北京 2003 6 菲赫金哥尔茨编 数学分析原理 吴视人等译 人民教育出版社 1957 7 胡乃 等译 微积分 高等教育出版社 8 马知恩等编 工科数学分析基础 高等教育出版社 五 上课教师 五 上课教师 数理学院 高等数学 公共课教师 六 课程的性质 目的和任务 六 课程的性质 目的和任务 高等数学是工科大学生最重要的基础理论 课之一 它作为工程教育中的一个重要内容 目的在于培养工程技术人员 必备的基本数学素质 任务 通过本课程的学习 使学生理解微积分中极 限 导数 积分等基本概念 掌握基本的运算技巧 使学生能用所学的知 识去解决各种领域中的一些实际问题 训练学生数学推理的严密性 使学 生具有一定的数学修养和对实际问题具有抽象 归纳 推广的能力 能用 数学的语言描述各种概念和现象 能理解其它学科中所用的数学理论和方 法 培养学生学习数学的兴趣 帮助学生养成自学数学教材和其它数学知 识的能力 为以后学习其它学科打下良好的基础 七 教学方式 手段 教学方式 手段 主要采用讲授新课的方式 第七章 空间解析几何 第七章 空间解析几何 一 教学目的与要求 一 教学目的与要求 1 了解空间直角坐标系 理解向量的概念及其表示 2 掌握向量的运算 线性运算 数量积 向量积 混合积 掌握两个向 量垂直和平行的条件 3 了解单位向量 方向数与方向余弦 向量的坐标表达式 熟练掌握用 坐标表达式进行向量运算的方法 4 理解曲面方程的概念 了解常用二次曲面的方程及其图形 会求以坐 标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程 5 了解空间曲线的参数方程和一般方程 了解空间曲线在坐标平面上的 投影 并会求其方程 6 掌握平面方程和直线方程及其求法 7 会求平面与平面 平面与直线 直线与直线之间的夹角 并会利用平 面 直线的相互关系 平行 垂直 相交等 解决有关问题 8 会求点到直线以及点到平面的距离 二 教学内容及学时分配 二 教学内容及学时分配 第七章空间解析几何与向量代数第 1 页 共 35 页 高等数学 备课教案 张谋 第一节 向量及其线性运算 2 学时 第二节 数量积 向量积和混合积 4 学时 第三节 曲面及其方程 2 学时 第四节 空间曲线及其方程 2 学时 第五节 平面及其方程 2 学时 第六节 空间直线及其方程 2 学时 三 重点及难点 三 重点及难点 重点 重点 向量概念与运算 旋转曲面方程 柱面方程 平面方程直线方程 难点 难点 向量的数量积与向量积 旋转曲面方程 平面束方程 有关直线 与平面的综合题 四 教学内容的深化和拓宽四 教学内容的深化和拓宽 1 空间直角坐标系的作用 向量的概念及其表示 2 向量的运算 线性运算 数量积 向量积 混合积 两个向量垂直 平行的条件 3 单位向量 方向数与方向余弦 向量的坐标表达式 以及用坐标表达 式进行向量运算的方法 4 平面方程和直线方程及其求法 会利用平面 直线的相互关系 平行 垂直 相交等 解决有关问题 5 曲面方程的概念 常用二次曲面的方程及其图形 五 思考题与习题五 思考题与习题 第一节 习题 7 1 1 2 4 5 6 7 8 12 13 15 16 17 18 19 第二节 习题 7 2 1 2 3 4 6 8 9 10 第三节 习题 7 3 1 3 5 6 7 8 9 10 11 第四节 习题 7 4 1 2 3 5 6 7 第五节 习题 7 5 全作 第六节 习题 7 6 1 3 4 5 7 8 10 11 13 14 15 16 第七章空间解析几何与向量代数第 2 页 共 35 页 高等数学 备课教案 张谋 讲稿内容 讲稿内容 第七章第七章 空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数 以前我们接触过平面解析几何 它是通过平面直角坐标系 把平面上的 点与一对有序数组相对应 把平面图形与方程相对应 从而可用代数的方法来 研究几何问题 空间解析几何也按类似的方法处理 空间解析几何的主要内容是用代数的方法研究空间常见的曲面和曲线的 性质 也是我们下册学习多元微积分不可缺少的内容 要用代数的方法研究几 何图形 首先要在空间引进坐标系 使空间中的点与数组建立对应关系 在此 基础上把曲面 曲线看成点的几何轨迹 就可以建立曲面和曲线与方程之间的 对应关系 从而可用代数的方法研究几何图形 向量是由物理学的需要而引入的数学概念 向量及其理论在现代工程技 术中有着十分广泛的应用 本章先引进向量的概念 并介绍向量的几何运算 然后通过建立空间直 角坐标系来讨论向量的数量运算 第一节第一节 向量及其线性运算 向量及其线性运算 一 向量的概念一 向量的概念 我们常常碰到的量有两种 一种量取定单位后 直接用个实数表示 如距 离 时间 温度等 这种只具有大小的量叫数量数量 或标量 或标量 另一种量除了大 小之外 还有方向 如位移 力 速度 加速度等 这种既有大小又有方向的 量叫向量向量 或矢量 或矢量 向量的表示向量的表示 在数学上 向量通常用有向线段来表示 向量的大小 称为 向量的模或向量的长度向量的模或向量的长度 通常用线段的长度表示 其上的方向表示向量的方向 如以A为起点 B为终点所表示的向量记为AB AB表示向量的大小 有时 也用一个字母来表示 如ba 等 单位向量 模等于 1 的向量称为单位向量 零向量 模等于 0 的向量称为零向量 规定零向量的方向任意 由于向量的特征是既有大小又有方向 所以 当两个向量的大小相等 方 向相同时 就称这两个向量相等 即 bababa 2 1 且指向相同 数学上一般研究的是自由向量 不考虑起点位置的向量 这样ba 相等 即ba 或 经平移后能完全重合 注意注意 向量的大小与方向是组成向量的不可分割的整体 是与数量的根本 区别之所在 因此在讨论向量问题时 必须将它们统一起来加以考虑 如 由于方向不能比较大小 所以向量没有 大小 的概念 即ba 没有 意义 但ba 时 a 与相同 a 当0 a 所以a a 1 与a 同向 2 1 1 a aa a 所以 a a 是一单位向量 得证 该例说明 任何一个非零向量除以自已的模就变为单位向量 这一过程称 为向量的单位化向量的单位化 若记 aaa a a a 即任何非零向量可以表成它的长度和一个与它同向的单位向量的乘积 例 1 例 1 试用向量证明三角形的中位线定理 三角形两边中点的连线平行于 第三边且为第三边长度的一半 解 解 如图 7 8 设 D 是 AB 的中点 E 是 AC 的中点 则 1 2 ADAB 1 2 AEAC 11 22 DEAEADACABBC DE BC 且BCDE 2 1 例 设5ABab 618BCab 8 CDab 求证 A B D 三点共线 证 如图 A B C D 只须证 ADBD 或 ABBD 即ADB D或BDA B 事实上 BDBCCD 618 8 abab 2102abA B AB BD 同 向 ABD A 三点共线 BD 例 证明矢量 a bb a c ab 表示矢量 ba 与 夹角平分线的方向 证 设分别表示与 00 ab a b 同向的单位矢量 则 0 a a a 0 b b b 由a为边所构成的平行四边形为菱形 知其对角线平分顶角 于是 00 b 第七章空间解析几何与向量代数第 6 页 共 35 页 高等数学 备课教案 张谋 00 aba bb dab abab a 这是与夹角平角分线平行之矢量 又 a b a bb aaba ba b cd ababab 其中 0 ab ab 故 c 表示a 与夹角平分线的方向 b 向量的投影 点 A 在轴点 A 在轴u上的投影上的投影 过点 A 作u轴的垂直平面与u轴的交点A 叫做点 A 在u轴上投影 向量向量AB 在在u上的投影上的投影 设向量的起点 A 和终点 B 在u轴上的投影分别为 A B 则有向线段A B 的值A B 叫做向量AB 在u上的投影 有向线段有向线段A B 的值的值A B 的意思是的意思是 有向线段A B 的长度加上正负号 当 A B 的方向与轴的方向一致时取正 反向时取负 u 定理 投影定理 设有向量和轴 用au 表示它们之间的夹角 规定 0 称数量 cosa 为向量a在轴上的投影 或者说在u轴方向上 的投影 记为 ua cos ua a Prj 如图 表示向量a在轴上的投影 即ucos ua a PrjAB 投影是个数量可正可负 当0 2 PrjAB 当 2 时 投影为负 即cos0 ua a 2 baba 3 baba d 所以当 7 38 时 ab 取得最小值 例例 求同时垂直于向量kjibkjia 354 322 的单位向量 解 若bcac 则 c c cbacbac 例例 已知akjbji 2 2 求 tan ba 解 62 1 2 4 2 cos sin tan ba ba baba baba ba ba ba bc 3 向量的混合积 定义 已知三向量a如果先作前两个向量a 与b 的向量积 再作向量a b a b 与向量的数量积 即 便得到一个数 称数量 为向量a b的混合积 记为 c abc c a b c 即 a b c abc 混合积绝对值的几何意义 几何意义 由数量积 cos abcabcab c 及向 量积的模 的几何意义可知 混合积 ab abc 的 绝对值在数值上等于以三向量a b c cos cab c 为棱的平行 六面体的体积 如图 平行六面体的底 面积为 高为 ab 所以平行六 面体的体积 cos Vabcab cab cabc 由混合积的定义可知 三个非零向量 a b c 共 面 即三个向量在同一个平面上 或在互相平行的平面上 的充分必要条件是 abc a ab c b 图7 18 0 混合积的坐标表示式 设向量 xyz aaaa zyx bbbb zyx cccc 混合积的坐标运算 第七章空间解析几何与向量代数第 17 页 共 35 页 高等数学 备课教案 张谋 表达式为 zyx zyx zyx ccc bbb aaa cba 这就是说 三个向量的混合积等于由这三个向量的坐标所构成的三阶行列式 这是因为 k bb aa j bb aa i bb aa bbb aaa kji ba yx yx zx zx zy zy zyx zyx 所以 xyz yzxy xz xyzxy yzxy xz z xyz ccc aaaaaa abccccaaa bbbbbb bbb 利用三阶行列式的性质 即得便于记忆的混合积坐标运算表达式 混合积的性质 1 轮换性 a bcbcaca b 即 将混合积中的三个向量依次轮换 其数值不变 2 a b cb a ca c bc b a 即 对调混合积中相邻两个向量 混合积变号 3 三个向量a b c共面的充分必要条件是 0 cba 例 判断四个点 是否在同一平面上 1 0 1 A 4 4 6 B 2 2 3 C 解 因为 3 4 5 AB 1 2 2 AC 2 1 1 AD 345 1225 211 ABACAD 0 所以四个点 不在同一平面上 1 0 1 A 4 4 6 B 2 2 3 C 例 求以点 1 1 1A 4 4 3B 5 5 3C及 7 4 2D为顶点的四面体 的体积 ABCD 解 由立体几何知 四面体的体积V是以ABCDAB AC AD为相 邻三棱的平行六面体体积的六分之一 而 3 3 2 AB 4 4 2 AC 6 3 1 AD 故 233 11 24461 66 136 ABCD VABACAD 1 6 至此 我们研究了向量的各种运算 需要指出的是 它们的结果有的 是向量 有的是数量 在进行向量组合运算时 必须考虑每步运算结果是数量 还是向量 以防出现没有意义的表达式 例如 cba 是数量 cba 是 第七章空间解析几何与向量代数第 18 页 共 35 页 高等数学 备课教案 张谋 向量 而表达式 a bc b a 均无意义 第四节 空间曲面及其方程 第四节 空间曲面及其方程 一 曲面方程的概念 在日常生活中 常常会看到各种各样的曲面如 平面 球面 圆柱面 汽 车的外壳等等都是曲面的例子 与平面解析几何中把曲线看作具有某种性质的 点的轨迹一样 在空间解析几何中 曲面也可以看作具有某种性质的点的轨迹 定义 如果曲面与方程S0 zyxF 之间存在如下关系 曲面上的点的坐标都满足方程 S 0 zyxF 不在曲面上的点的坐标都不满足方 程 S 0 zyxF 则称方程是曲面的方程 曲面 称为是方程的图形 图 0 zyxFS S0 zyxF 例 1 建立球心在点 0000 Mxyz 半径为R的球面的方程 解 设是球面上任意一点 则 zyxM 0 MMR 代入点的坐标 得 依题意得到 即 222 000 xxyyzz R 2 两边平方得 222 000 xxyyzz R xyzx xy yz zxyzR 将球面方程式展开得 2222222 000000 2220 令 0 2Ax 0 2By 0 2Cz 222 2 000 DxyzR 则有 222 0 xyzAxByCzD 此式称为球面的一般式方程 它是一个 x y z的二次 方程 球面的一般式方程有两个特点 222 xyz的系数相同 不含 xy yz zx项 特别地 当球心在坐标原点时 球面方程为 2222 xyzR 用方程来表示曲面 就是把曲面的几何性质代数化 而方程的代数性质几 何化 因此 通过对方程性质的研究 就可获得曲面的性质 反之亦可 本教 材中 我们对曲面的讨论仅限于两个基本问题 1 已知曲面作为某动点的运动轨迹 求曲面的方程 2 已知曲面的方程 研究曲面的几何形状和性质 第七章空间解析几何与向量代数第 19 页 共 35 页 高等数学 备课教案 张谋 二 柱面 定义 一条直线平行于定直线并与定曲线C相交而移动所形成的曲面叫 做柱面 这条动直线L称为柱面的母 线 定曲线C称为柱面的准线 显然 柱面由它的准线和母线完 全确定 但其准线并不唯一 也不一 定是平面曲线 下面来讨论母线与坐标轴平行的 柱面方程的特点 选择适当的坐标系 使柱面的母 线平行于坐标轴 如果柱面的母线平 行于轴 准线是zxOy面上的曲线 其方程可表示为 则该曲面如图 且柱面方程为 注意 其中不含坐标 C 0F x y z 0F x y 事实上 在柱面上任取一点 过 zyxMM作平行于轴的直线 交zxOy 面于点 点必定在准线C上 所以 点 0 N x yNM的坐标满足曲线C的方 程 反之 若空间一点的坐标满足方程 由于 不含 所以点必在过准线C上点而平行于轴 的直线上 即点必在柱面上 这样就说明了我们的结论 0F x y xMzyF x y 0 0F x y z zyxM 0 N x yz zyxM 一般地 只含 x y而缺的方程z 0F x y 在空间直角坐标系中表示母线平 行于轴的柱面方程 z 同理 只含而缺 y zx的方程 0F y z 表示母线平行于x轴的柱面方程 只含 x z而缺的方程表示母线平行于轴的柱面方程 y 0F x z y 例 下面的方程表示怎样的曲面 222 xya 2 2xy 22 22 1 xy ab 22 22 1 xz ab 解 222 xya 缺z坐标 该方程表示母线平行于轴的圆柱面 如图 z 2 2xy 缺z坐标 该方程表示母线平行于轴的抛物柱面 如图 z 22 22 1 xy ab 缺坐标 该方程表示母线平行于轴的椭圆柱面 zz 第七章空间解析几何与向量代数第 20 页 共 35 页 高等数学 备课教案 张谋 22 22 1 xz ab 缺坐标 该方程表示母线平行于轴的双曲柱面 如图 yzy 三 旋转曲面 定义 一条平面曲线C绕其所在平面内的一条定直线旋转一周所成 的曲面称为旋转曲面 定直线称为旋转曲面的轴 而曲线称为旋转曲面的 母线 l l C 旋转面的应用十分广泛 如卫星地面站天线 许多车床加工的零件等 旋 转面不仅具有许多实用特性 而且还便于加工制作 下面来讨论以坐标面上的曲线为母线 并以该面上的一条坐标轴为旋转轴 的旋转曲面方程 设C是平面内的一条曲线 其方程 为将曲线C绕轴旋转一周得 到一张旋转曲面 如图 7 25 求这个旋转 曲面的方程 yOz 0 0 F y z x z 如图 7 25 当曲线绕轴旋转时 上每一点的轨迹都是一个圆 它们的圆心都 在轴上 而这些圆的全体就构成旋转曲面 今在旋转曲面上任取一点 CzC z M x y z 则M 必定在某一个圆周上 假设M所在的圆为曲 线C上的点所留下的几何轨迹 则 11 0 Ny z M与之间的坐标有关系 竖坐标相等 N 1 zz 到轴的距离相等 z 22 1 xyy 在注意到点在曲线上 从而有 11 0 Ny z 11 0 F y z 所以 x y z满足 22 Fxyz 0 这就是曲面上任意一点M x y z所满足的方程 显然不在旋转曲面上的 点M x y z 其坐标一定不满足方程 所以该方程就是曲线C绕轴旋转而 成的旋转曲面的方程 z 由方程可以看出 要求平面上的曲线C yOz 0 0 F y z x 绕轴旋转而形 成的旋转曲面的方程 只要在C的方程中保持不变 而将 z zy换成 22 xy 即 可 曲线C 也可以绕 0 0 F y z x y轴旋转形成旋转曲面的方程为 22 0F yxz 一般的 坐标平面内的曲线绕哪个坐标轴旋转 就在曲线方程中保持哪个 变量不变 而将另一变量换成其余两个坐标变量的平方和的平方根 这是由平 面曲线方程得到旋转曲面方程的一般方法 即 第七章空间解析几何与向量代数第 21 页 共 35 页 高等数学 备课教案 张谋 zox坐标面的曲线 0 0 G z x y 分别绕轴与zx轴旋转而生成的旋转曲面的 方程分别是 22 0G zxy 22 Gyzx 0 xoy坐标面的曲线 0 0 H x y z 分别绕x轴与 轴旋转而生成的旋转曲面的方程分别是 y 22 0H xyz 22 Hzxy 0 例3 求yO平面上的抛物线z 2 yz 绕z轴旋转而 成的旋转曲面的方程 解 在方程 2 yz 中 保持不变 将换作zy 22 xy 所以旋转曲面 的方程为 22 xyz 这一旋转曲面为旋转抛物面 图 7 26 例 4 一直线L绕另一条与L相交的直线旋转 一周 所得的旋转面称为圆锥面 两直线的交点称 为圆锥面的顶点顶点 两直线的夹角 0 2 叫做 圆锥面的半顶角 试建立顶点在坐标原点 旋转轴 为轴 半顶角为z 的圆锥面方程 解 在平面上取直线yOzL L与轴的交点为 坐标原点 与轴正方向的夹角为 z z 则直线方程为 cotzy 由于以轴为旋转轴 所以在直线方程中保持 不变 将 zz y换作 22 xy 就得到圆锥面方程为 22 cotzxy 令cota 并对上式两边平方 则有 2222 zaxy 这就是所求的圆锥面方程 如图 第七章空间解析几何与向量代数第 22 页 共 35 页 高等数学 备课教案 张谋 第四节第四节 平面及其方程 平面及其方程 本节我们将以向量为工具 讨论在空间直角坐标系中最简单也最重要的曲 面 平面 1 平面的点法式方程 我们知道平面的位置可以由平面上的点和垂直于这平面的一个非零向量来 确定 也就是说 通过一个已知点 0000 Mxyz且垂直于一个已知的非零向量 nA B C 的平面 是唯一确定的 与一平面垂直的这一非零向量为该平面 的法向量 显然 平面的法向量与平面内的每一个向量都垂直 而且也是同 一平面的法向量 n 设点 M x y z是平面 上任意一点 图 7 34 nn 平面内任何向量 0 00 MMnMMn 0 000 zzyyxxCBA 000 0A xxB yyC zz 1 平面上的点满足 1 反过来 满足方程 1 的点也必在平面上 所以方程 1 称为平面 的 点法式方程 例 1 求过点且垂直于向量 1 1 2 2ijk 的平面方程 解 取平面的法向量为 1 2 1n 因为平面过已知点 1 1 2 由 1 式即得平面方程为 2211xyz 00 即 25xyz 例 2 求过点 12 1 2 1 2 3 3PP且和平面1xyz 垂直的平面方 程 解 首先 12 1 1 2PP 在所求平面上 其次 所求平面与已知平面垂 直 因而所求平面的法向量与已知平面的法向量n 1 n 垂直 故所求平面的法 向量n与向量和 12 PP 11 1 1n 都垂直 从而所求平面的法向量n可取为 121 112 111 ijk nM Mnij 由 1 式得所求平面方程为 1201xyz 0 即 30 xy 2 平面的一般式方程 将平面的点法式方程 000 0A xxB yyC zz 改写得三元一次方程 0AxByCzD 其中 2 222 ABC 0 反过来 三元一次方程也表示平面 2 式称为平面的一般式方程 第七章空间解析几何与向量代数第 23 页 共 35 页 高等数学 备课教案 张谋 平面的一般式方程的几种特殊情况 1 一个系数为零的情形 当时 方程 2 变为0D 0 CzByAx 表示通过原点的平面图 7 36 当时 方程 2 成为0A 0ByCzD 法向 量 0 nB C 与 1 0 0i 垂直 所以该平面平行于 x轴 图 7 37 当时 0 By 轴 当时 0 CZ 轴 2 两个系数为零的情形 如时 方程成为0AD 0ByCz 表示过x 轴的平面 图 7 38 又 如时 方 程 2 成 为0AB 0 DCz 法 向 量 0 0 nC 与 0 0 1k 平行 所以该平面平行于xOy坐标面 垂直于轴 图 7 39 z 3 三个系数为零的情形 如0 DBA时 方程为 0 z它表示坐标面 xOy 其它的情况类推 例 5 求通过轴和点的平面方程 y 2 3 1 解 因为所求平面通过轴 由以上讨论 可设其方程为y0AxCz 又点 在平面上 因此 2 3 120AC 即 代入所设方程并化简 得所求平面方程为2C A02xz 图 7 40 上面介绍了平面的点法式方程及平面的一般式方程 平面也有其它形式的 方程 如平面的三点式方程 我们知道 不共线三点可以确定一个平面 那么这个平面的 方程怎样呢 iiii zyxM 设为平面内的任何一点 则 zyxM 31211 MMMMMM共面 它们的混 合积等于 0 即有 0 131313 121212 111 31211 zzyyxx zzyyxx zzyyxx MMMMMM 第七章空间解析几何与向量代数第 24 页 共 35 页 高等数学 备课教案 张谋 例 3 求过三点的平面 12 2 1 4 1 3 2 MM 3 0 2 3 M 的方程 解 取该平面 的法向量为 1213 nM MM M 346 14 9 1 231 ijk 1 M 又 由 1 式得平面 的方程为 14 2 9 1 4 0 xyz 即 149150 xyz 特别地 当平面与三坐标轴的交点分别时 平面方程为 0 0 0 0 0 0 P aQbRc 1 0 xyz a b c abc 0 此式称为平面的截距式方程 如图 7 35 例 4 求平行于平面29而与 三个坐标面所围成的四面体的体积为一个单位的 平面方程 212xyz 解 设所求平面方程为 1 xyz abc 因为所求平面与三坐标面围成的体积是一个单位 所以 1 1 6 Vabc 注意到所求平面与已知平面平行 故 111 292 ab c 即 111 292ab c 令 111 292 t abc 则 11 29 abc ttt 1 2 代入 得 1 6 t 从而 2 3 3 3 ab 于是所求平面方程为 c 3 1 323 xyz 3 两平面的夹角 两平面法向量的夹角 常取锐角 称为两平面的夹角 图 7 41 设有两平面 1 2 的法向量分别为 1111 CBAn 2222 CBAn 由 向量夹角余弦公式得 12121212 22222 12 111222 cos nnA AB BC C nn ABCABC 2 第七章空间解析几何与向量代数第 25 页 共 35 页 高等数学 备课教案 张谋 从两向量垂直与平行的充要条件 即可得到 111 1212 222 ABC nn ABC 图 7 42 21 且重合 2 1 2 1 2 1 2 1 D D C C B B A A 21 不重合 2 1 2 1 2 1 2 1 D D C C B B A A 图 7 43 1212121212 0nnA AB BC C 21 相交 其交角由上公式确定 11122 ABCABC 2 例 6 求两平面 062 zyx 205 zyx的夹角 解 两平面的法向量分别为 12 1 1 2 2 1 1nn 则两平面的夹角 的余弦为 2 1 112211 121121 cos 2222 2 2 所以两平面的夹角 3 4 点到平面的距离 设是平面 0000 zyxP 0 DCzByAx外的一点 如图7 44 求 点到平面 0 P 的距离 解 在平面 上任意取一辅助点 1111 zyxP 则点到平面 0 P 的距离为 向量在平面法向量 d 10010101 PPxx yy zz CBAn 上投影的绝对值 注意到点在平面 1111 zyxP 上 所以 10 10 Pr n PPn dj PP n 010101 222 xx yy zzA B C ABC 第七章空间解析几何与向量代数第 26 页 共 35 页 高等数学 备课教案 张谋 000111 222 AxByCzAxByCz ABC 000 222 AxByCzD ABC 故点到平面 0 P 的距离为 222 000 CBA DCzByAx d 4 例 7 求平行于平面 0 234xyz0 且与球面 相切的平面 222 9xyz 的方程 解 因为 0 可设平面 的方程为 23xyzD0 注意到平面 与球面 相切 所以球心 到平面的距离等于 3 即 0 0 0 d 0 0 0 22 23 3 123 x y z xyzD d 得 故所求平面3 14D 的方程为 233 14xyz0 第七章空间解析几何与向量代数第 27 页 共 35 页 高等数学 备课教案 张谋 第五节第五节 直线及其方程 直线及其方程 1 直线的一般方程 由于直线可看成是两平面的交线 所以交线的方程为 L 1111 2222 0 0 A xB yC zD A xB yC zD 5 5 式称为空间直线的一般方程 通过直线L的平面有无数多个 将其中的任意两张平面方程的联立来都可 以表示直线方程 因此 直线的一般式方程不唯一 2 直线的点向式方程与参数方程 空间直线的位置可由直线上的一点和一个平行 于它的非零向量唯一确定 我们称与直线平行的非 零向量称为该直线的方向向量 记为 sm n p 如图 7 46 向量 的三个分量称为直线的 一组方向数 向量 的方向余弦叫做该直线的方向 余弦 s m n p s 已知直线过点L 0000 Mxyz 它的一个方向 向量 sm n p 下面求直线的方程 L 设为直线上任意一点 则向量 zyxM L 000 0 M Mxxyyzz 在 直线上 从而直线的方向向量 sm n p 与直线上的向量 0 M M 平行 即 0 M M 由两向量平行的充要条件可知 s p zz n yy m xx 000 6 方程组 6 称为直线的点向式方程 或对称式方程 注意 注意 因为s 是非零向量 所以它的方向数不全为零 某些分母为 零时 其分子也理解为零 m n p 例如 当m0 时 为保持方程的对称形式 6 式我们仍写为 00 0 0 xxyyzz np 理解为 0 00 0 xx yyzz np 当mn时 6 式理解为0 0p 0 0 xx yy 例 8 求过点 1 1 1M且与直线 平行直线方程 L 06322 02 zyx zyx 解 首先算求出所求直线的方向向量s 第七章空间解析几何与向量代数第 28 页 共 35 页 高等数学 备课教案 张谋 两平面的法向量分别为 1 1 2 1n 2 2 2 3n 由题意知 因此 所求直线的方向向量 1 sn 2 sn s 可取为 12 12186 223 ijk snnijk 由 6 式知 所求直线方程为 6 1 1 1 8 1 zyx 如果已知直线过两已知点 22221111 zyxMzyxM 则可取 21M M作为 直线的方向向量 即 12212121 sM Mxx yy zz 由 6 式知 过两 已知点的直线方程为 12 1 12 1 12 1 zz zz yy yy xx xx 7 7 式也称为直线的两点式方程 在直线的点向式方程中 令方程 6 等于t 为实参数 即 t t p zz n yy m xx 000 于是得 8 tpzz tnyy tmxx 0 0 0 称方程 8 为直线的参数式方程 直线方程的几种形式可以相互转化 参数方程 对称式方程 一般式方程 参数式为 对称式转化一般式较容易 主要是一般式转化为对称式或参数 式较繁一点 例 9 将直线方程化为点向式方程及参数方程 2330 4651 xyz xyz 0 解 由于已知了直线的一般式 所以要找到直线上的一个点与直线的方向 量 就可以写出直线的点向式方程及参数方程 先求直线上的一点 取 0000 zyxM0y 解方程 得 23 251 xz xz 1 1 x z 即点 0 1 0 1M 在直线上 再求该直线的一个方向向量s 因为s 分别垂直于平面233xyz0 及 的法向量4651xyz 0 1 2 3 1n 2 4 6 5n 所以可取 12 2312114 465 ijk snni j 由方程 6 可得 已知直线的点向式方程为 11 320 xyz 第七章空间解析几何与向量代数第 29 页 共 35 页 高等数学 备课教案 张谋 令上式为t 可得已知直线的参数方程为 13 2 1 xt yt z 解2 再直线上任取两点 从而知道了点及方向向量 进一步得对称式 解3 分别消去一个变量后联立即得对称式方程 3 两直线的夹角 两直线的方向向量的夹角称为两直线的夹角 取锐角 已知二直线 11 1 11 1 1 xxyyzz L mnp 及 22 2 22 2 2 xxyyzz L mnp 它们的方向向量分别为 111 1 n p sm 222 2 np sm 因此二直线的夹角 的余弦为 121212 12 222222 12 111222 cos m mn np pss s smnpmnp 从两向量垂直与平行的充要条件 即可得到 1 L 2 L 12 ss 11 22 mnp mnp 1 2 1 L与重合 2 L 11 22 mnp mnp 1 2 且 1 12 1 12 1 12 p zz n yy m xx 12 LL 12 ss 121212 0m mn np p 1 L与相交 2 L 222111 pnmpnm 例 10 求直线 1 2 41 1 1 zyx L和直线 12 2 2 2 zyx L夹角 解 因的方向向量分别为 21 L L 1 4 1 1 s 1 2 2 2 s 则两直线与的夹角 1 L 2 L 的余弦为 2 2 2 1 122141 112421 cos 22 22 2 2 所以两直线的夹角 4 4 平面与直线的夹角 直线和它在平面上的投影直线的夹角称为直 线与平面的夹角 取锐角 图 7 47 设 sm n pnA B C 分别是直线L方向 向量和平面 的法向量 且L与 的法向量的夹角 第七章空间解析几何与向量代数第 30 页 共 35 页 高等数学 备课教案 张谋 为 s n L与 的夹角为 则 2 s n 由两向量夹角的余弦公式 有sinsin 2 s n 222222 cos s nAmBnCp s n sn mnpABC 故直线与平面的夹角为 222222 sincos AmBnCp s n mnpABC 9 由两向量平行与垂直的充要条件 即可得到 0snAmBnCp L Ls ABC n mnp 例 11 求直线 2 4 1 5 1 2 zyx 与平面0142 zyx的夹角与交点 解 首先求直线与平面的夹角 直线的方向向量 2 1 1 s 平面的法向量 1 1 2 n 由公式 9 得 6 5 112211 121121 sin 222222 故直线与平面的夹角为 6 5 arcsin 再求直线与平面的交点 把直线方程转化为参数式方程 tztytx24 5 2 代入平面方程0142 zyx 得 01424522 ttt 解此方程 得 5 1 t 把 5 1 t代入直线的参数式方程中 即得直线与平面的交 点为 5 22 5 26 5 11 5 点到直线的距离 点到直线的距离 点 1111 M x y z到L 000 xxyyzz mnp 的距离为 01 M Ms d s 其中 0000 Mxyzsm n p 推导1 利用以 01 M M s 为边的平行四边形的面积 01 M Mssd 即得 第七章空间解析几何与向量代数第 31 页 共 35 页 高等数学 备课教案 张谋 0 M 1 M s d L L 1 M 推导2 求出过点 1 M且垂直于L的平面方程 进一步求出直线L与平面 的交点 2 M 两点 1 M 2 M的距离即为点 1 M到直线L的距离 6 平面束 设有两张不平行的平面 交成一条直线L 过 直线L的所有平面的集合称为由直线L所确定的 平面束 图 7 48 设空间直线的一般式方程为 0 0 2222 1111 DzCyBxA DzCyBxA L 则方程 11112222 A xB yC zDA xB yC zD 0 10 称为过直线L的平面束方程 其中 为参数 且不全为零 应用平面束方法处理直线或平面的某些问题 常常会使问题得以简化 例12 求直线在平面 0923 042 zyx zyx L014 zyx上的投影直 线方程 解 所谓直线L在平面 上的投影直线 L是指 过已知直线L且与已知平 面 垂直的平面 称为投影面投影面 与已知平面 的交线 首先求过直线L且垂直于已知平面 的平面 1 的方程