考研数学导数的定义.docx

导数的定义 1. 函数在点处的导数引例 ，求在处的切线的斜率及切线方程解：切线方程即定义1 存在函数在点处可导函数在点的某个邻域内有定义且存在逆否命题一定成立：不存在或函数在点的某个邻域内没有定义函数在点处不可导题型1 利用导数的定义求例1设函数，其中为正整数，则（A） （B）（C） （D）解：方法1 所以，故选（A）。方法2 故选（A）。例2 设其中在上有定义，在点处可导存在，且, 则_.思路点拨 本题考查利用导数的定义求导数.因为可导性未知，因为利用定义计算.解因为，由导数的定义 题型2 利用导数的定义求极限例3 设函数在处可导，且，则（ ）（A） （B） （C） （D）解：，选（B）例4 设函数在处可导，则等于( ).(A) (B) (C) (D) 思路点拨 本题考察函数的导数的定义.解 应选(B)因为在处可导，有 所以选(B). 2. 函数在任一点处的导数定义2 存在函数在点处可导函数在点的某个邻域内有定义且存在逆否命题一定成立：不存在或函数在点的某个邻域内没有定义函数在点处不可导题型3 利用导数的定义求例5 ，利用导数的定义求解：例6 （I）设函数可导，利用导数定义证明（II）设函数可导，写出的求导公式.解：（I） （II）由题意得 题型4 导数几何意义的应用例7 曲线与曲线相切，则 （A）4e （B）3e （C）2e （D）e解：因与相切，故在上，时，在上，时，所以选择（C）例 8 设是周期为5的可导函数，又，则曲线在点处的切线的方程为（ ）.(A) . (B) (C) (D) 思路点拨要求在处的切线方程，关键求出，而由函数的周期性得解应选(B).已知，根据函数的连续性和极限的存在性知又 故.所以切线方程为.选(B).3. 存在存在，存在且相等函数在点处可导存在存在，存在且相等逆否命题一定成立：（1）存在，（2）存在(3)相等（1）（2）（3）至少有一个不成立函数在点处不可导题型5 利用左右导数求分段函数在分段点的导数例9 ，判断在处是否可导解： ，所以在处不可导例10设在的某个邻域内有定义, 则在处可导的一个充分条件是( ). (A)存在; (B)存在; (C)存在; (D)存在. 思路点拨 本题考查导数的定义式，只要了解导数定义式常见的几种形式，即可得到正确选项.解 应选(D)如果此极限存在，则由导数定义可知，函数在处可导，也就是该极限存在是函数在处可导的充要条件. 因此选(D).例11 设 在处可导, 则( ).(A) (B) 为任意常数 (C) (D) 为任意常数解 应选(C).在处可导，那么函数一定在处连续, 因此，而，因此.又 , 要使得在处可导，只要，即. 因此选(C).例 12 设函数在处连续，且，则( ).(A) 且存在 (B) 且存在 (C) 且存在 (D) 且存在思路点拨 本题考查函数的连续性及导数与左右导数的关系。解 应选(C).由于在处连续，于是存在且.又因为，所以. 因此，. 由已知 ，故而，选(C).例 13 设函数在处连续，下列命题错误的是（ ）.(A) 若存在，则 (B) 若存在，则 (C) 若存在，则存在 (D) 若存在，则存在思路点拨 根据极限存在的性质和导数定义判定.解 应选(D)若存在，由极限存在的性质知，在