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高中数学 2.3.2智能演练轻松闯关 苏教版选修1-1(2011高考安徽卷改编)双曲线2x2y28的实轴长是_解析:2x2y28,1,a2,2a4.答案:4(2010高考北京卷)已知双曲线1的离心率为2,焦点与椭圆1的焦点相同,那么双曲线的焦点坐标为_;渐近线方程为_解析:双曲线焦点即为椭圆焦点,不难算出为(4,0),又双曲线离心率为2,即2,c4,故a2,b2,渐近线为yxx.答案:(4,0)xy0双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍,且一个顶点的坐标为(0,2),则双曲线的标准方程是_解析:由题意得2a2b2c,即abc,又因为a2,c2a2b24b2,所以bc2,所以c24(c2)2,即c24c80,所以c2,b2,所求的双曲线的标准方程是1.答案:1(2011高考湖南卷改编)设双曲线1(a0)的渐近线方程为3x2y0,则a的值为_解析:渐近线方程可化为yx.双曲线的焦点在x轴上,()2,解得a2,由题意知a0,a2.答案:2(2010高考辽宁卷改编)设双曲线的一个焦点为f,虚轴的一个端点为b,如果直线fb与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为_解析:设双曲线方程为1(a0,b0),f(c,0),b(0,b),直线fb:bxcybc0与渐近线yx垂直,所以1,即b2ac,所以c2a2ac,即e2e10,解得e或e(舍去)答案:a级基础达标已知双曲线c经过点(1,1),它的一条渐近线方程为yx,则双曲线c的标准方程是_解析:设双曲线的方程为y23x2(0),将点(1,1)代入可得2,故双曲线c的标准方程是1.答案:1(2011高考北京卷)已知双曲线x21(b0)的一条渐近线的方程为y2x,则b_解析:双曲线的焦点在x轴上,2,4.a21,b24.又b0,b2.答案:2在平面直角坐标系xoy中,双曲线中心在原点,焦点在y轴上,一条渐近线方程为x2y0,则它的离心率为_解析:由双曲线焦点在y轴上,一条渐近线方程为x2y0,可知,则e.答案:已知双曲线1的右顶点为a,右焦点为f.过点f作平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点b,则afb的面积为_解析:由题意求出双曲线中a3,b4,c5,则双曲线渐近线方程为yx,不妨设直线bf斜率为,可求出直线bf的方程为4x3y200,将式代入双曲线方程解得yb,则safbaf|yb|(ca).答案:(2011高考山东卷改编)已知双曲线1(a0,b0)的两条渐近线均和圆c:x2y26x50相切,且双曲线的右焦点为圆c的圆心,则该双曲线的方程为_解析:双曲线的渐近线方程为bxay0和bxay0,圆心为(3,0),半径r2.由圆心到直线的距离为r,所以4a25b2,又双曲线的右焦点为圆c的圆心,所以c3,即9a2b2,a25,b24.故所求双曲线方程为1.答案:1已知f1、f2是双曲线1(a0,b0)的左、右焦点,过f1且垂直于x轴的直线与双曲线的左支交于a,b两点,若abf2是正三角形,试求该双曲线的离心率解:由abf2是正三角形,则在rtaf1f2中,有af2f130,af1af2,又af2af12a,af24a,af12a,又f1f22c,又在rtaf1f2中有aff1faf,即4a24c216a2,e.设双曲线1(a1,b0)的焦距为2c,直线l过(a,0)、(0,b)两点,且点(1,0)到直线l的距离与点(1,0)到直线l的距离之和sc,求双曲线的离心率e的取值范围解:直线l过(a,0)、(0,b)两点,得到直线方程为bxayab0.由点到直线的距离公式,且a1,得点(1,0)到直线l的距离为d1,同理得到点(1,0)到直线l的距离为d2,由sc得到c.将b2c2a2代入式的平方,整理得4c425a2c225a40,两边同除以a4后令x,得到4x225x250,解得x5,又e,故e.b级能力提升(2011高考课标全国卷改编)设直线l过双曲线c的一个焦点,且与c的一条对称轴垂直,l与c交于a,b两点,ab为c的实轴长的2倍,则c的离心率为_解析:设双曲线的标准方程为1(a0,b0),由于直线l过双曲线的焦点且与对称轴垂直,因此直线l的方程为l:xc或xc,代入1得y2b2,y,故ab,依题意4a,2,e212,e.答案:(2011高考浙江卷改编)已知椭圆c1:1(ab0)与双曲线c2:x21有公共的焦点,c2的一条渐近线与以c1的长轴为直径的圆相交于a,b两点,若c1恰好将线段ab三等分,则b2_解析:c2的一条渐近线为y2x,设渐近线与椭圆c1:1(ab0)的交点分别为c(x1,2x1),d(x2,2x2),则oc2x4x,即x,又由c(x1,2x1)在c1:1上,所以有1,又由椭圆c1:1(ab0)与双曲线c2:x21有公共的焦点可得a2b25,由可得b2.答案:已知双曲线的中心在原点,焦点f1、f2在坐标轴上,离心率为,且过点m(4,)(1)求双曲线方程;(2)若点n(3,m)在双曲线上,求证:0;(3)求f1nf2的面积解:(1)e,故可设等轴双曲线的方程为x2y2(0),过点m(4,),1610,6.双曲线方程为1.(2)证明:由(1)可知:在双曲线中,ab,c2.f1(2,0),f2(2,0)(23,m),(23,m)(23)(23)m23m2.n点在双曲线上,9m26,m23.0.(3)f1nf2的底f1f24,高h|m|,f1nf2的面积s6.(创新题)热电厂的冷却塔的外形是双曲线型,是双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所成的曲面,它的最小直径是24 m,上口直径是26 m,下口直径是50 m,高是55 m,建立如图所示的直角坐标系,求此双曲线的方程(精确到1 m)解:设所求双曲线的方程是1(a0,
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