浙江省温州市乐清国际外国语学校高一数学上学期期中试卷（含解析）.doc

2015-2016学年浙江省温州市乐清国际外国语学校高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）1图中阴影部分表示的集合是（）aaubbuabcu（ab）du（ab）2已知奇函数f（x），当x0时，则f（1）=（）a1b2c1d23设u=r，a=x|x0，b=x|x1，则aub=（）ax|0x1bx|0x1cx|x0dx|x14设集合u=1，2，3，4，5，6，m=1，2，4，则um=（）aub1，3，5c3，5，6d2，4，65定义在1，+）上的函数f（x）满足：（1）f（2x）=2f（x）；（2）当2x4时，f（x）=1|x3|则集合a=x|f（x）=f（61）中的最小元素是（）a13b11c9d66如图，函数y=f（x）的图象为折线abc，设g （x）=ff（x），则函数y=g（x）的图象为（）abcd7设f（n）=in+in，则集合xr|x=f（n），nn*=（）aibi，ic2id8设全集u=1，2，3，4，5，集合m=1，4，n=1，3，5，则n（um）=（）a1，3b1，5c3，5d4，59已知集合m=（x，y）|y=k（x1）+1，x，yr，集合n=（x，y）|x2+y22y=0，x，yr那么mn中（）a不可能有两个元素b至多有一个元素c不可能只有一个元素d必含无数个元素10偶函数y=f（x）在区间0，4上单调递减，则有（）af（1）f（）f（）bf（）f（1）f（）cf（）f（1）f（）df（1）f（）f（）11已知集合a=1，1，b=x|12x4，则ab等于（）a1，0，1b1c1，1d0，112若集合m=x|x210，n=x|x2，则mn=为（）ax|1x2bx|1x2cx|1x2或x1dx|x1二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，满分20分）13设ab=1，2，3，4，5，3ab，则符合条件的（a，b）共有组（a，b顺序不同视为不同组）14如果对定义在r上的函数f（x），对任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）x1f（x2）+x2f（x1），则称函数f（x）为“h函数”给出下列函数y=x3+x+1；y=3x2（sinxcosx）；y=ex+1；f（x）=以上函数是“h函数”的所有序号为15已知函数y=loga（x+4）1（a0，且a1）的图象恒过定点a，若点a在直线mx+ny+1=0上，其中m0，n0，则的最小值为16设a为实常数，y=f（x）是定义在r上的奇函数，当x0时，f（x）=9x+7若f（x）a+1对一切x0成立，则a的取值范围为三、解答题17已知集合，若ab=，求实数a的取值范围18已知定义域为r的函数是奇函数（1）求a，b的值；（2）利用定义判断函数y=f（x）的单调性；（3）若对任意t0，1，不等式f（2t2+kt）+f（kt2）0恒成立，求实数k的取值范围19函数f（x）的定义域为r，且对任意x，yr，有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x0时，f（x）0，且f（1）=2（）求f（0）的值，并证明f（x）是奇函数；（）判断f（x）的单调性并证明你的结论；（）求f（x）在区间3，3上的最大值和最小值20（文科）设函数f（x）=（a2）（1）用反证法证明：函数f（x）不可能为偶函数；（2）求证：函数f（x）在（，1）上单调递减的充要条件是a221已知二次函数f（x）满足f（x+1）f（x）=4x，且f（0）=1（1）求二次函数f（x）的解析式（2）求函数g（x）=（）f（x）的单调增区间和值域22已知全集u=0，1，2，3，4，5，6，集合a=xn|1x4，b=xr|x23x+2=0（1）用列举法表示集合a与b；（2）求ab及u（ab）2015-2016学年浙江省温州市乐清国际外国语学校高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）1图中阴影部分表示的集合是（）aaubbuabcu（ab）du（ab）【考点】venn图表达集合的关系及运算【专题】作图题【分析】由韦恩图可以看出，阴影部分是a中去掉b那部分所得，由韦恩图与集合之间的关系易得答案【解答】解：由韦恩图可以看出，阴影部分是a中去掉b那部分所得，即阴影部分的元素属于a且不属于b，即a（cub）故答案为 a【点评】阴影部分在表示a的图内，表示xa；阴影部分不在表示a的图内，表示xcua2已知奇函数f（x），当x0时，则f（1）=（）a1b2c1d2【考点】函数奇偶性的性质；函数的值【专题】计算题【分析】根据函数的奇偶性将f（1）化简成f（1）根据，将x=1的值代入x0时的解析式，即可求出所求【解答】解：奇函数f（x）f（1）=f（1）而f（1）=1+1=2f（1）=f（1）=2故选d【点评】本题主要考查了函数奇偶性的应用，以及函数的值的求解，属于基础题3设u=r，a=x|x0，b=x|x1，则aub=（）ax|0x1bx|0x1cx|x0dx|x1【考点】交、并、补集的混合运算【专题】集合【分析】欲求两个集合的交集，先得求集合cub，再求它与a的交集即可【解答】解：对于cub=x|x1，因此acub=x|0x1，故选b【点评】这是一个集合的常见题，属于基础题之列4设集合u=1，2，3，4，5，6，m=1，2，4，则um=（）aub1，3，5c3，5，6d2，4，6【考点】补集及其运算【专题】集合【分析】直接利用补集的定义求出cum【解答】解：集合u=1，2，3，4，5，6，m=1，2，4，则um=3，5，6，故选c【点评】本题主要考查集合的表示方法、求集合的补集，属于基础题5定义在1，+）上的函数f（x）满足：（1）f（2x）=2f（x）；（2）当2x4时，f（x）=1|x3|则集合a=x|f（x）=f（61）中的最小元素是（）a13b11c9d6【考点】抽象函数及其应用【专题】数形结合法；归纳法；函数的性质及应用【分析】根据各分段的函数解析式可以归纳出：x2n，2n+1时，f（x）=2n1|x32n1|，再结合函数图象解出f（x）=f（61）的最小的x【解答】解：因为x2，4时，f（x）=1|x3|，其值域为0，1，且先增后减，所以，x4，8时，f（x）=2f（）=21|3|=2|x6|，值域为0，2，x8，16时，f（x）=2f（）=22|6|=4|x12|，值域为0，4，x16，32时，f（x）=2f（）=24|12|=8|x24|，值域为0，8，x32，64时，f（x）=2f（）=28|24|=16|x48|，值域为0，16，一般地，x2n，2n+1时，f（x）=2n1|x32n1|，值域为0，2n1而6125，26，即n=5，所以，f（61）=16|6148|=3，由于f（x）=f（61）=3，要使x最小，可设x3，8，即令4|x12|=3，解得x=11或13，所以，满足f（x）=f（61）的最小x的值为11故选：b【点评】本题主要考查了抽象函数的应用，涉及分段函数解析式的求法和函数值的确定，运用了归纳推理题的解题思想，属于中档题6如图，函数y=f（x）的图象为折线abc，设g （x）=ff（x），则函数y=g（x）的图象为（）abcd【考点】函数的图象【专题】压轴题；函数的性质及应用【分析】函数y=f（x）的图象为折线abc，其为偶函数，所研究x0时g（x）的图象即可，首先根据图象求出x0时f（x）的图象及其值域，再根据分段函数的性质进行求解，可以求出g（x）的解析式再进行判断；【解答】解：如图：函数y=f（x）的图象为折线abc，函数f（x）为偶函数，我们可以研究x0的情况即可，若x0，可得b（0，1），c（1，1），这直线bc的方程为：lbc：y=2x+1，x0，1，其中1f（x）1；若x0，可得lab：y=2x+1，f（x）=，我们讨论x0的情况：如果0x，解得0f（x）1，此时g（x）=ff（x）=2（2x+1）+1=4x1；若x1，解得1f（x）0，此时g（x）=ff（x）=2（2x+1）+1=4x+3；x0，1时，g（x）=；故选a；【点评】此题主要考查分段函数的定义域和值域以及复合函数的解析式求法，是一道好题；7设f（n）=in+in，则集合xr|x=f（n），nn*=（）aibi，ic2id【考点】虚数单位i及其性质；元素与集合关系的判断【专题】计算题【分析】根据所给的函数的表示式和虚数的单位的性质，看出需要对n进行分类来求解结果，即当n除以4，余数是0，1，2，3，对应的结果分别表示出来，得到没有元素满足集合的条件，得到结论【解答】解：根据题意，当n=4k+1时，f（n）=0；当n=4k+2时，f（n）=2；当n=4k+3时，f（n）=0；当n=4k+4时，f（n）=2；因xr，故集合中没有满足条件的元素，故选d【点评】本题考查虚数单位及其性质，考查元素与集合关系的判断，本题解题的关键是对于所给的函数的表示式，需要针对于n与4相除所得的余数来分类，本题是一个基础题8设全集u=1，2，3，4，5，集合m=1，4，n=1，3，5，则n（um）=（）a1，3b1，5c3，5d4，5【考点】交、并、补集的混合运算【分析】根据补集意义先求cum，再根据交集的意义求n（cum）【解答】解：（cum）=2，3，5，n=1，3，5，则n（cum）=1，3，52，3，5=3，5故选c【点评】本小题主要考查集合的概念、集合运算等集合有关知识，属容易题9已知集合m=（x，y）|y=k（x1）+1，x，yr，集合n=（x，y）|x2+y22y=0，x，yr那么mn中（）a不可能有两个元素b至多有一个元素c不可能只有一个元素d必含无数个元素【考点】直线与圆的位置关系；交集及其运算【专题】应用题【分析】说明集合p是恒过（1，1）的且不垂直x轴的直线，判断点与圆的位置关系，即可得到选项【解答】解：集合m的含义是过（1，1）点且不垂直x轴的直线，集合n是以（0，1）为圆心半径为1的圆，因为点（1，1）在圆x2+y22y=0上，所以直线与圆相交，故mn中含有两个元素故选：c【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，集合的基本运算，体现了转化的数学思想注意直线系中，方程不表示垂直x轴的直线，这是解题的易错点10偶函数y=f（x）在区间0，4上单调递减，则有（）af（1）f（）f（）bf（）f（1）f（）cf（）f（1）f（）df（1）f（）f（）【考点】奇偶性与单调性的综合【专题】计算题【分析】由函数y=f（x）为偶函数，可得f（x）=f（x），从而有f（1）=f（1），f（）=f（），结合函数y=f（x）在0，4上的单调性可比较大小【解答】解：函数y=f（x）为偶函数，且在0，4上单调递减f（x）=f（x）f（1）=f（1），f（）=f（）10，4f（1）f（）f（）即f（1）f（）f（）故选a【点评】本题主要考查了函数的奇偶性及函数的单调性的综合应用，解题的关键是由偶函数把所要比较的式子转化为同一单调区间上可进行比较11已知集合a=1，1，b=x|12x4，则ab等于（）a1，0，1b1c1，1d0，1【考点】交集及其运算【专题】计算题【分析】利用指数函数的性质求出集合b中不等式的解集，确定出集合b，找出a与b的公共元素，即可求出两集合的交集【解答】解：由集合b中的不等式变形得：202x22，解得：0x2，b=0，2），又a=1，1，则ab=1故选：b【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键12若集合m=x|x210，n=x|x2，则mn=为（）ax|1x2bx|1x2cx|1x2或x1dx|x1【考点】交集及其运算【专题】计算题；数形结合【分析】把集合m中的不等式左边利用平方差公式分解因式，根据两数相乘同号得正的取符号法则转化为两个一元一次不等式组，求出两解集的并集确定出集合m，然后把集合m和n的解集表示在数轴上，找出两集合的公共部分，即可得到两集合的交集【解答】解：由集合m中的不等式x210，变形得：（x+1）（x1）0，可化为或，解得：x1或x1，集合m=x|x1或x1，又n=x|x2，在数轴上画出相应的解集，如图所示：则mn=x|1x2或x1故选c【点评】此题考查了交集的运算，利用了转化及数形结合的思想，其中确定出集合m，然后借助数轴，找出两集合的公共部分是求交集的关键二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，满分20分）13设ab=1，2，3，4，5，3ab，则符合条件的（a，b）共有81组（a，b顺序不同视为不同组）【考点】排列、组合及简单计数问题；交、并、补集的混合运算【专题】概率与统计【分析】利用两个集合的交集、并集，求得集合a、b【解答】解：由于ab=1，2，3，4，5，3ab，则若集合a为3时，b=1，2，3，4，5；若集合a为1，3时，b=2，3，4，5或1，2，3，4，5；同理若集合a分别为2，3、4，3、5，3，对应的b有2个；若集合a为1，2，3时，对应的b有3，4，5、1，3，4，5、2，3，4，5、1，2，3，4，5同理若集合a分别为1，3，4、1，3，5、2，3，4、2，3，5、3，4，5，对应的b有4个若集合a为1，2，3，4时，对应的b有3，5、1，3，5、2，3，5、3，4，5、1，2，3，5、1，3，4，5、2，3，4，5、1，2，3，4，5同理若集合a分别为1，2，3，5、1，3，4，5、2，3，4，5时，对应的b有8个若集合a为1，2，3，4，5时，对应的b有3、1，3、2，3、4，3、5，3，1，2，3、1，3，4、1，3，5、2，3，4、2，3，5、3，4，5、1，2，3，4、1，2，3，5、1，3，4，5、2，3，4，5、1，2，3，4，5 综上可知，符合条件的（a，b）共有1+42+64+48+116=81组故答案为 81【点评】本题考查集合的表示方法、两个集合的交集、并集的定义和求法，求出集合a，b是解题的关键14如果对定义在r上的函数f（x），对任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）x1f（x2）+x2f（x1），则称函数f（x）为“h函数”给出下列函数y=x3+x+1；y=3x2（sinxcosx）；y=ex+1；f（x）=以上函数是“h函数”的所有序号为【考点】函数单调性的性质【专题】新定义；函数的性质及应用【分析】不等式x1f（x1）+x2f（x2）x1f（x2）+x2f（x1）等价为（x1x2）f（x1）f（x2）0，即满足条件的函数为单调递增函数，判断函数的单调性即可得到结论【解答】解：对于任意给定的不等实数x1，x2，不等式x1f（x1）+x2f（x2）x1f（x2）+x2f（x1）恒成立，不等式等价为（x1x2）f（x1）f（x2）0恒成立，即函数f（x）是定义在r上的增函数y=x3+x+1；y=3x2+1，则函数在定义域上不单调y=3x2（sinxcosx）；y=32（cosx+sinx）=32sin（x+）0，函数单调递增，满足条件y=ex+1为增函数，满足条件f（x）=当x0时，函数单调递增，当x0时，函数单调递减，不满足条件综上满足“h函数”的函数为，故答案为：【点评】本题主要考查函数单调性的应用，将条件转化为函数的单调性的形式是解决本题的关键15已知函数y=loga（x+4）1（a0，且a1）的图象恒过定点a，若点a在直线mx+ny+1=0上，其中m0，n0，则的最小值为12【考点】基本不等式【专题】计算题；函数思想；综合法；不等式的解法及应用【分析】由已知求出a的坐标，代入mx+ny+1=0，得到3m+n=1则=（）（3m+n），展开后利用基本不等式求最值【解答】解：由x+4=1，得x=3，函数y=loga（x+4）1（a0，且a1）的图象恒过定点a（3，1），则3mn+1=0，即3m+n=1=（）（3m+n）=6+当且仅当3m=n，即m=时等号成立故答案为：12【点评】本题考查函数恒过定点问题，考查了利用基本不等式求最值，关键是对1的灵活运用，是基础题16设a为实常数，y=f（x）是定义在r上的奇函数，当x0时，f（x）=9x+7若f（x）a+1对一切x0成立，则a的取值范围为【考点】函数奇偶性的性质；基本不等式【专题】函数的性质及应用【分析】先利用y=f（x）是定义在r上的奇函数求出x0时函数的解析式，将f（x）a+1对一切x0成立转化为函数的最小值a+1，利用基本不等式求出f（x）的最小值，解不等式求出a的范围【解答】解：因为y=f（x）是定义在r上的奇函数，所以当x=0时，f（x）=0；当x0时，则x0，所以f（x）=9x+7因为y=f（x）是定义在r上的奇函数，所以f（x）=9x+7；因为f（x）a+1对一切x0成立，所以当x=0时，0a+1成立，所以a1；当x0时，9x+7a+1成立，只需要9x+7的最小值a+1，因为9x+72=6|a|7，所以6|a|7a+1，解得，所以故答案为：【点评】本题考查函数解析式的求法；考查解决不等式恒成立转化成求函数的最值；利用基本不等式求函数的最值三、解答题17已知集合，若ab=，求实数a的取值范围【考点】集合关系中的参数取值问题【专题】计算题【分析】先利用指、对数不等式的解法分别求出集合a和集合b，再由ab=，求实数a的取值范围【解答】解：集合=x|x2x60=x|x3或x2，b=x|log4（x+a）1=x|0x+a4=x|ax4a，ab=，解得1a2故实数a的取值范围为：1，2【点评】本题考查指、对数不等式的解法、集合的运算，解题时要认真审题，先分别求出集合a和集合b，再由ab=，求实数a的取值范围18已知定义域为r的函数是奇函数（1）求a，b的值；（2）利用定义判断函数y=f（x）的单调性；（3）若对任意t0，1，不等式f（2t2+kt）+f（kt2）0恒成立，求实数k的取值范围【考点】奇偶性与单调性的综合；函数恒成立问题【专题】函数的性质及应用【分析】（1）根据奇函数定义，利用f（0）=0且f（1）=f（1），列出关于a、b的方程组并解之得a=b=1；（2）根据函数单调性的定义，任取实数x1、x2，通过作差因式分解可证出：当x1x2时，f（x1）f（x2）0，即得函数f（x）在（，+）上为增函数；（3）根据函数的单调性和奇偶性，将不等式f（2t2+kt）+f（kt2）0转化为：对任意的t0，1都成立，再设求出导函数，化简后判断符号，判断出函数在0，1上的单调性求出函数的最大值，即得k的取值范围【解答】解：（1）f（x）为r上的奇函数，f（0）=0，即=0，可得b=1又f（1）=f（1），即=，解之得a=1，经检验当a=1且b=1时，满足f（x）=f（x）是奇函数，（2）由（1）得，任取实数x1、x2，且x1x2则f（x1）f（x2）=，x1x2，可得0，f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（x2），函数f（x）在（，+）上为增函数； （3）根据（1）（2）知，函数f（x）是奇函数且在（，+）上为增函数不等式f（2t2+kt）+f（kt2）0对任意t0，1恒成立，即f（2t2+kt）f（kt2）=f（t2k），2t2+ktt2k对任意t0，1都成立即t2+kt+k0，变量分离得对任意t0，1都成立，设，则=0，在0，1上递减，则函数的最大值是0，综上得，k0，故实数k的取值范围是：k0【点评】本题以含有指数式的分式函数为载体，研究了函数的单调性和奇偶性综合应用，以及恒成立问题，考查了转化思想和分离常数法，属于中档题19函数f（x）的定义域为r，且对任意x，yr，有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x0时，f（x）0，且f（1）=2（）求f（0）的值，并证明f（x）是奇函数；（）判断f（x）的单调性并证明你的结论；（）求f（x）在区间3，3上的最大值和最小值【考点】抽象函数及其应用【专题】函数的性质及应用【分析】（1）令a=b=0，则可得f（0）=0；y=x，即可证明f（x）是奇函数，（2）设x1x2，由已知可得f（x1x2）0，再利用f（x+y）=f（x）+f（y），及减函数的定义即可证明（3）由（2）的结论可知f（3）、f（3）分别是函数y=f（x）在3、3上的最大值与最小值，故求出f（3）与f（3）就可得所求值域【解答】证明（1）令x=y=0，f（0）=f（0）+f（0），可得f（0）=0f（x+y）=f（x）+f（y），得f（xx）=f（x）+f（x）即f（x）+f（x）=f（0）=0f（x）=f（x），即函数y=f（x）是奇函数，（2）设x1x2，则x1x20，f（x1x2）0，而f（x+y）=f（x）+f（y），f（x1）=f（x1x2+x2）=f（x1x2）+f（x2）f（x2）函数y=f（x）是r上的减函数；（3）：由函数y=f（x）是r上的单调减函数，y=f（x）在3，3上也为单调减函数y=f（x）在3，3上的最大值为f（3），最小值为f（3）f（3）=（1+2）=f（1）+f（2）=f（1）+f（1）+f（1）=3f（1）=6，同理，f（3）=3f（1）=6，因此，函数y=f（x）在3，3上的值域为6，6【点评】本题考查了抽象函数的奇偶性和单调性，深刻理解函数奇偶性和单调性的定义及充分利用已知条件是解决问题的关键20（文科）设函数f（x）=（a2）（1）用反证法证明：函数f（x）不可能为偶函数；（2）求证：函数f（x）在（，1）上单调递减的充要条件是a2【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；反证法与放缩法【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用【分析】（1）利用偶函数的性质和反证法即可得出；（2）利用导数与函数单调性的关系、充分必要条件即可得出【解答】（1）解：假设函数f（x）是偶函数，则f（2）=f