高中数学 第四章 数学史上的丰碑微积分 2 圆周率同步精练 北师大版选修31.doc

圆周率练习1关于圆周率的最早记录出自()a周髀算经b九章算术c莱茵德草卷d几何原本2世界上第一个把计算到3.141 592 63.141 592 7的数学家是()a刘徽b阿基米德c祖冲之d卡瓦列利3最早用穷竭法研究圆周率的数学家是()a阿基米德 b安提丰c刘徽 d布里松4证明是无理数的数学家是()a高斯 b阿基米德c兰伯特 d林德曼5圆周率的计算是我国古代数学史上的伟大的成就之一，很久以前我们的祖先就发现圆的周长和直径之比是一个定数，这个定数被命名为圆周率那么圆周率在不断地精确过程中有哪些突出的成就呢？6查找资料，了解阿基米德与穷竭法7. 如图所示，已知直线y=2x+3与抛物线y=x2交于a，b两点，试用阿基米德穷竭法求抛物弓形aob的面积参考答案1答案：c2答案：c3答案：b4答案：c5答：周髀算经，采用的圆周率是“周三径一”，即3；魏晋时期刘徽创立割圆术，为计算圆周率建立了严密理论和算法，求出3.141 6，采用了极限思维，是近代微积分思想的萌芽；祖冲之求出的圆周率，在3.141 592 6和3.141 592 7之间，并且确立两个分数形式的近似值：约率和密率，祖冲之的成果在世界上一直领先了1 000年6答：在古希腊，利用穷竭法作出重要贡献的是阿基米德，阿基米德(archimedes，公元前287前212)出生于意大利西西里岛的叙拉古，是古希腊最杰出的数学家、力学家，他的几何著作成为古希腊数学的顶峰，他的数学著作主要有圆的度量论球与圆柱抛物线求积法论螺线等在这些著作中，阿基米德巧妙地将穷竭法与原子论观点结合起来，通过严密的计算，获得了许多重要的结果，例如他在抛物线求积法一书中，使用穷竭法求出了抛物线弓形的面积，他的方法简述如下：作三角形abc，设其面积为s1，其中l1ac，b是切点，再作抛物线的切线l2和l3使之分别平行于ab和bc，切点分别是d和e，再作三角形adb和三角形bec(如图)，设两个三角形面积之和为s2，用a1表示s1，a2表示s1+s2，那么用完全同样的方法可以得到an=s1+s2+sn.很明显，只要取n足够大，弓形面积s与an的差s-an就可以任意小由抛物线的性质可知s1=4s2，ans1.最后，阿基米德用反证法证明了s.特别要提到的是，阿基米德在计算以他的名字命名的曲线阿基米德螺线第一周围成的区域的面积时，使用了类似于现代积分学中的大和、小和的概念他的用法，用今天的符号表示就是：将2 n等分，在每一部分上作出顶角的内接圆扇形和外接圆扇形 (如下图)，它们的面积之和，分别用an与sn表示，显然所求之面积s满足不等式anssn，经过计算an，sn，于是，对任意的n，有ansn.阿基米德经过猜测，并使用反证法进行了证明，得出螺线第一周所围成的面积s.阿基米德突破了传统的有限运算，大胆地采用了无限逼近的思想，从而将穷竭法发展到了高峰，但是由于当时没有极限概念，不承认无限，因此，穷竭法仍是有限的形式，并且局限在几何直观上，运算也很烦琐，所以自阿基米德之后，很长时间没有被人重视尽管这种方法有很大的缺点，但是，他的求积方法已具有了定积分思想的萌芽7. 分析：可以求出弦ab的中点c，过c作y轴的平行线交抛物线与点d，这样抛物弓形aob的面积是abd面积的，因此我们只要求abd的面积即可解：设a，b两点的坐标为a(x1，y1)，b(x2，y2)，则有解得a(1,1)，b(3,9)，中点c(1,5)过中点c(1,5