毕业论文：数学化归方法及其应用.doc

目录摘要1引言2一、对化归思想的理解2（一）化归的定义2（二）化归的实质2（三）化归的原则3（四）化归的步骤3（五）化归图释3（六）化归的分类3二、常用化归方法及其应用4（一）命题化归4（二）映射化归10（三）变量替换17三、化归方法的实际应用21结束语24参考文献25数学化归方法及其应用某某（渤海大学数学系 辽宁 锦州 121000 中国）摘要：数学思想和方法是数学活的灵魂，化归思想是其中重要的一种。在解决数学问题的过程中，我们往往把待解决的问题进行转化，将复杂的问题转化为简单的问题，将困难的问题转化为容易的问题，将未解决的问题转化为已解决的问题等等。这种数学问题之间的相互转化就称为数学化归。数学化归在数学的理论研究及数学问题的解决过程中都占有重要的地位，是解决数学问题的一个强有力的武器。本文将介绍化归的定义、原理、主要方法及其实际应用，通过具体的例子和实例，使读者了解并逐步掌握化归的方法和技巧，使其应用于日常的学习和生活。关键词：化归 典型化 特殊化 辅助命题 映射 变量替换Mathematics of Return Method and its Application (Department of Mathsmatics Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China) Abstract:Mathematic ideas and methods is the soul of mathematics, and the return method is an important one. In the process of solving the mathematical problems, we tend to solve the problem of conversion of the complex issue into a simple issue, the difficult issue into an easy issue, the unsolved issue into a resolved issue, and so on. This conversion between the mathematical problems is called the mathematics of return method. Mathematics of return method plays an important role in the theoretical study of mathematics and the process of the settlement of mathematical problems. It is a powerful weapon of the mathematical problems. This article describes the definition, principles, main methods and practical application of the return method. By the adoption of concrete examples and cases, the readers can understand and master the progressive return methods and techniques to apply to everyday learning and life.Key words:return methods typification specialization the supplementary questions mapping variable substitution引 言辩证法告诉我们：任何事物都不是孤立、静止和一成不变的，而是在不断地发展变化着。因此，作为一个数学系统或数学结构，其组成要素之间的相互依存和相互联系的形式是可变的，正是这种可变的性质，产生了数学化归。数学化归在数学的理论研究及数学问题的解决过程中都占有重要的地位。例如，两个数学系统之间的同构关系（视为一种化归），使得不同的数学对象化归在同一个数学系统中进行研究，从而导致新的数学理论的产生，因此推动了数学的发展。另一方面，化归又为解决数学问题提供了一个有力的武器。“问题是数学的心脏”，而几乎所有的数学问题的解决都离不开化归，只是所体现的化归形式不同而已。计算题是利用规定的法则进行化归；证明题是利用定理、公理或已解决了的命题进行化归；应用题是利用数学模型进行化归。可以说，离开化归，数学问题的解决将寸步难行。因此，我们必须了解并掌握数学化归的方法和技巧，使其熟练地应用于学习和生活当中。一、 对化归思想的理解（一）化归的定义化归指的是转化与归结。即把数学中待解决或未解决的问题，通过观察、分析、联想、类比的思维过程，选择恰当的方法进行变换、转化，归结到某个或某些已经解决或比较容易解决的问题。（二）化归的实质在解决数学问题的过程中，往往把待解决的问题转化，将复杂的问题转化为简单的问题，将困难的问题转化为容易的问题，将未解决的问题转化为已解决的问题等等。（三）化归的原则将不熟悉的问题转化为熟知的或已解决的问题；将抽象的问题转化为具体的直观的问题；将复杂的问题转化为简单的问题；将实际的问题转化为数学问题，使问题便于求解。（四）化归的步骤其一，化归对象，即对什么进行化归；其二，化归目标，即化成什么；其三，化归手段方法，即如何化归。（五）化归图释欲讨论问题，可转化为讨论问题，然后利用问题的解答去完成问题的解答。化归的一般模式为：问题 问题的解答 的解答（六）化归的分类 化归可分为等价化归和半等价化归，其中半等价化归可分为强等价化归和弱等价化归。等价化归就是指同一等价类中的元素相互转化，化归前后的问题在所定义的等价关系下保持某一方面的“同质”，这种同质就使化归后问题的解答保证了化归前问题的解答。在同一等价类中的元素可以相互转化，其转化前后的问题保持在等价关系下的同质，转化后命题属于该等价类。在同一类等价集中的问题也可以相互转化，但其转化前后的问题不保持在半等价关系中的同质，近似的转化命题属于化归后问题所在的半等价集。尽管半等价化归不一定能彻底解决原问题，但由于它的条件弱于等价化归，因此应用范围宽于等价化归。二、 常用化归方法及其应用（一）命题化归 1.命题的典型化化归就是指把所解命题化归为个别典型命题。设所给命题为，的典型命题是指：可推导出并且也可推导出，且利用能容易处理。命题的典型化化归在数学解题中随处可见。我们常常在解题时用“不妨设”，“不失一般性”，“任取一个满足题设的图形”等等语言，其实质就是将命题作典型化化归。因为命题的典型化化归是等价化归，所以典型命题解决后，原命题也已解决。 例1三次方程的求根问题，可等价化归为讨论方程。令（此代换为等价变换），代入,化简后便是,其中, ,此方程于原方程等价，因此即为原方程的典型命题。一旦后者解决了，原方程的解也就求得了。而的求根是容易的。例2在三角形中，,为中线， 为高。求证： 。 证明：如图，建立直角坐标系，设的坐标分别为则的坐标为。 而。分析：本题如果以所在的直线分别为轴和轴建立直角坐标系，那么，设点的坐标就比较麻烦。之所以要选取一种典型情况建立坐标系，是因为同一个图形在不同坐标系李实质是在一个坐标系中该图的位置不同，经过合同变换（合同变换时等价变换）后，可化归为解该题所建立的坐标系中的图形所在位置。这种特殊位置即为典型化，从而使原问题得以解决。 2.命题的特殊化化归 命题的典型化化归与特殊化化归的区别在于：典型化化归中，化归前后的命题属于同一等价类，而特殊化化归中的化归前后命题属于同一个半等价集。 例3从圆的直径的一端引两弦 过点引该圆的切线与的延长线交于点求证： 证明1：如图（右），连结， 是O的切线，四点共圆，。 证明2：如图（右），连结。是O的直径，, 切O于， , 斜边上的高是, ， 同理，四点共圆，。分析：证明1是错误的。因为由题设可位于的同侧或异侧，证明1考虑的是异侧情况，而证明过程不完全适用于位于同侧的情形，因此所证明的命题不是原命题的等价命题。证明2是正确的。因为在证明的全过程中，其理由完全适合上图的两种情形，所以所证得命题与原命题等价。 例4如果是小于的正数，而是这些数的某一种排列。那么，所有的数不可能都大于。分析：取的情况，此时必有。当时可排序使，不可能有两个因子都大于。对一般的，将作调整，可使,不可能个因子都大于。3.构造辅助命题化归 在很多情形中，往往需要构造一下辅助命题去帮助解决原命题，下面是一些构造辅助命题的常用方法。 （1）构造等价辅助命题 例5已知。求证：。 证明：构造函数。则与原不等式等价。当时，。所以在内是增函数，得。而，所以。故原不等式成立。（2）构造一般化辅助命题 例6试证：能被整除。 证明：构造函数。，为奇函数。而只含的偶次项，必为整数。故命题成立。（3）构造辅助方程 例7已知。求证：三数等比数列。 证明：构造方程。因其系数和，故有根。又由已知条件，知两根相等，,即，.成等比数列。（4）构造辅助数列 例8求和 Sn= 。解：设。构造辅助数列，则.所以。两边求和 ，即，故。而，。(5)构造行列式 例9已知不全为零，且。求证：。 证明：要证，只需证只需证 有非零解。由已知条件，知上面齐次线性方程组有非零解。故命题得证。 规律：具有形式的多项式可表示成一个行列式：。利用这个代换，可以解决一些多项式问题，比如多项式的因式分解解方程等等。定理：方程的所有解都是方程的解。 由定理可知的化归是半等价化归，行列式方程的根必须代人原方程验根。（6）微分中值定理应用中辅助函数的构造 在应用中值定理证题时，有时需要构造一个满足罗尔定理条件的辅助函数。 在证明拉格朗日中值定理和柯西中值定理时，分别利用了一下两个辅助函数： 然后利用罗尔定理去证明。 由于微分和积分是互逆的运算，因此可以从两个中值定理的结论入手，通过积分去寻找辅助函数。事实上，由拉格朗日中值定理的结论：,两边取不定积分,得.将换成，得，两边作差就是证明拉格朗日中值定理所需的辅助函数。同样，对柯西中值定理两边积分，得，即，从而得。这样，就得到了解决这类问题时构造辅助函数的一般方法，即从待证明的问题结论出发，通过积分区寻求辅助函数。例10设在上可导，且，。试证：必存在，使。分析：由，将换为后取不定积分，得 ，解得+c。所以得辅助函数。证明：构造辅助函数，易验证满足罗尔定理条件，因此存在，使，即得。（二）映射化归 1.恒等变换 在集合中定义一个变换 ,即把每个中的元素与自身对应起来，称为集合上的恒等变换。因此，集合中的恒等变换，是到的等价化归。下面是常用的恒等变换方法。（1）配方法配方法是数学中一种重要的恒等变形方法，在因式分解、根式化简、解方程、证明等式及不等式、求函数的极值、化简二元二次方程等方面都有广泛的应用。由于配方是在定义域不变的情况下进行的，因此是等价化归。例11已知。求的最小值。解：由，得。当时，取得最小值。（2）“1”的巧用“1”在数系中占有重要地位，作为数域里面的元素，它是单位元。因此产生了许多关于“1”的恒等式，如：，等等。因此在解题时，有时利用这些恒等式，往往事半功倍。例12解。解：，。例13如图，已知的边，且 的平分线交于,求证：。 证明：设。 又，。 故。（3）公式巧用公式的逆用、变形时恒等变换的一个重要技巧。例如：等比数列的求和公式，逆用便成了因式分解公式；二项式定理逆用便是一类特殊数列的求和公式；隶莫佛公式经变形，可得，从而使复数运算成为解决三角式化简、求值的有力工具。例14因式分解。解：。总结：本题的解答，巧用了等比数列的求和公式：。（4）恒等分割=型，其框图为：=分解组合问题解解例15求。解：。2. 点数映射化归我们把平面上的点集到实数集的化归，称为点数映射化。归。因此，可以建立平面上的点集到实数偶集的映射。实数偶集到平面直角坐标系中的点集的化归是等价化归；平面直角坐标系中的点集到实数偶集的化归也是等价化归。因此，我们可以使几何问题与代数问题互相化归。这种化归，往往可以使欲解决的问题简单化。（1）几何问题代数化例16已知分别是正方形的邻边和的中点，连结相交于点。求证：。 证明：如图，建立直角坐标系，设正方形的边长为，则正方形四个顶点的坐标分别为,点的坐标分别为。 所以，直线的方程为， 直线BN的方程为, 将两方程联立求得. 。 。 由此，可归纳出几何问题代数化的图释： 映射几何关系问题代数关系问题确定某种几何关系求出某些代数关系课题目的 代数计算 反演（2）代数问题几何化 例17(1986年高考理科试题).在平面 直角坐标系中，轴的正半轴（坐标 原点除外）上给定两点，试在 轴的正半轴（坐标原点除外）上求 点，使取得最大值，并求出该最大值。解：如图，过的中点作直线轴，以为圆心，为半径作弧交直线于，再以为圆心，为半径作圆。轴， 到轴的距离为。圆过点且与轴相切。设切点为，则点即为所求。因为若设点为轴正半轴上异于点的任一点，则必在圆 外，由平面几何知识易知，。现设，则由上述作法可知：。代数问题几何问题确定代数关系求出几何关系。这种方法的模式为： 几何表示课题目的 几何推理反演3.实复数映射化归几何关系问题代数关系复数关系确定几何关系求出代数关系求出复数关系关系图：实际上，三者可以相互化归。例18求的最小值。解：设。而在中，当且仅当时取等号，即 。解得：。当时，的最小值为。4.向量化归 复数集到以原点为起点的向量集的化归是等价化归，反之亦然。复数集到向量集的化归是等价化归，反之亦然。因此，平面点集、实数偶集、复数集、向量集之间可以互作等价化归。例19如图，设是平行四边形的较长的对角线，于，于。求证：。证明：取为基本向量， 则。， ，即。 。得，即。由此得：。5.反函数化归 设函数是双射，若的逆映射存在，则也是双射，则称为的反函数。所以，函数的反函数存在当且仅当是双射。若函数存在反函数，则从的定义域到值域的化归是等价化归，从值域到定义域的化归也是等价化归。 例20设是不等于的正数。证明：。 分析：因为对数函数与指数函数互为反函数，而一个函数如果存在反函数，则是唯一的，即是惟一的，即函数与其反函数是一一对应的，因此可以在两者之间互相化归，且这种化归是等价化归。 令则， 。三式相加，得， 即，即。 此外，在处理反三角函数问题时，往往采用反函数化归，化问题为三角函数讨论。但解反三角函数问题必须注意反函数的主值区间，否则函数不可逆，此时的化归是半等价而不是等价的。（三）变量替换 所谓变量替换，是指把一个数学式子中的某一些量以另一些与此相关的量去替代，从而使该数学式子变得较为简单或易于解决的化归过程，其实质是数集到数集的映射化归。 变量替换是数学解题的一种重要化归方法。在讨论几种常用的变量替换之前，首先了解一下变量替换的分类。 一种分类，根据替换的变元的个数，变量替换可分为一元和多元变量替换。 另一种，若是“以元代式”的替换则叫做第一类变量替换，若是“以式代元”的替换则叫做第二类变量替换。 由此，可以得出变量替换的化归原理： 这是一个互逆化归过程。通过变换，可以把化归为，这是第一类变量替换；反之，通过，把化为，这是第二类变量替换。下面讨论几种常用的变量替换。1. 整式变换在 中，若为整式，则称该变换为整式变换。例：在有理数范围内因式分解。设，则原式=。由上题可以看出，变量替换关键在于通过观察式子的规律设出，使计算和证明过程加以简化。2. 分式变换在解方程、证明不等式、求函数值域、解不等式、证明恒等式等化归中往往采用分式作变换替换，这种分式的变量替换包括第一类变量替换和第二类变量替换。以解方程为例，在实数范围内求方程的解。采用倒数方法，方程两边同除以，得。令，得。当，与原方程同解，解得，（舍去）。所以，即。故原方程的根为。3. 无理变换无理变换在解无理方程时经常使用。下面是适用于无理变换的无理方程的形式及变换方法。（1），设。（2），设。（3），设。 例21解方程。 解：根据分式变换，方程两边同除以，得。设，得。解得，即。经验根，均为原方程的根。 形如，通常作代换（不同时为0）4. 三角变换下列形式，通常采用三角变换求解。（1），其中是和的代数函数。令或令。（2），令或。（3），令 或令 。 以上变换均为第二类变量替换，因此必须注意变换函数必须有反函数，否则，化归不是等价化归。例22求定积分。 解：设，则原式=。5. 参数变换下面是两种主要的参数变换方法。（1） 参数方程与普通方程的互化若曲线的参数方程为t为参数，其中，则可化归为。这就使曲线的参数方程变成了普通方程。在中，令，则，也就是将普通方程化为了参数方程。若普通方程不是显函数式给出，而是隐函数，则可令，或。于是，或，由此解出或，就得曲线的参数方程。（2） 恒等参数变换一般地，一个方程如果与某一个三角恒等式同型，那么选角为参数作变换，可将变为该三角恒等式。因为这个变换时恒等变换，因此我们称这个变换为恒等参数变换。例如，方程，其恒等变形后得与三角恒等式同型，因此可令。恒等参数变换的好处在于：可以降维，而且变换后的方程比变换前的方程少了一个元，这样就可能使问题简单化，减少计算步骤和计算量；变换后成了三角式，而三角函数的公式多，这就为解题提供了多种渠道。另外，还有一种较为常用的化归方法待定系数法。如果两个一元多项式恒等，即，那么，由这个方程组成的方程组，可以确定待定的系数。待定系数法在因式分解、求函数解析式、分式化为部分分式、解方程等化归中都有着重要应用，其方法就是依据题意列出一般表达式，归纳整理之后比较对应的系数，组成方程组并求解。三、化归方法的实际应用 上面介绍了许多常用的数学化归方法及其具体在数学解体中的应用。化归不仅存在于几乎所有的数学问题解决之中，在我们的实际生活中也有着广泛的应用，仅以下例数学化归在家电设计中的应用加以说明。例23设衣服洗涤充分拧干后残存水量为千克，其中含污物千克，漂洗用的清水千克，我么把千克水分成次使用，每次用量依次是千克。经过次漂洗后，衣服上还有多少污物呢？怎样合理使用这千克水，才能把衣服洗得最干净（残留污物量最少）？分析：第一次，把带有千克污物的千克水的衣服放到千克水中，充分搓洗，使千克污物溶解或均匀悬浮于千克水中，把污水倒掉，衣服拧“干”后，由于千克污物均匀分布于千克水中，所以衣服上的残留污物量与残留的水量成正比。（衣服上的残留污物量）/（原来残留污物量） =（拧“干”后残存水量）/（）即：。完全类似的分析可知，漂洗两次之后衣服上的残余污物量为： 。依次继续漂洗，当第n次漂洗完后，设衣服上残余的污物量为则有：公式表明：（1）原来衣服上残存污物越多，最后残存污物也会越多， 衣服就越难洗净！（2）越小, 就越小，即每次拧得越“干”，最后残余物会越少。公式是“理想情况下的洗衣效果”公式。因为我们假定了每次洗涤中，污物都能充分均匀的溶于水中，实际上这是不容易做到的。公式就是洗涤衣服的“数学模型”，我们只要对公式进行相应的数学分析处理，就会得出有关的结论。比如可以回答下面的问题：（1） 是不是把水分得越匀，洗得越干净？（2）是不是洗得次数越多越干净？先看（1），其数学描述是，对于固定的，如何选取，才能使为最小？这里的条件是。由公式可知，要最小，则须乘积最大，注意。当固定时，为定值，问题转化为当个正数之和为定值时，问这个数的乘积何时最大？根据算术几何平均不等式