（江苏专用）高考数学大一轮复习 第十章 解析几何初步 第56课 圆的方程 文.doc

第56课 圆的方程(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(必修2p111练习4改编)方程x2+y2-6x=0表示的圆的圆心坐标是，半径是.【答案】(3，0)3【解析】原方程转化为(x-3)2+y2=9，圆心坐标为(3，0)，半径为3.2.(必修2p111练习3(1)改编)以两点a(-3，-1)和b(5，5)为直径端点的圆的方程是.【答案】(x-1)2+(y-2)2=25【解析】圆心，即(1，2)，直径2r=10，所以圆的方程是(x-1)2+(y-2)2=25.3.(必修2p102习题8改编)方程x+1=表示的曲线是.【答案】右半圆【解析】方程x+1=同解于方程(x+1)2=()2，x+10，此方程化简为(x+1)2+y2=1，x-1.此方程表示以点(-1，0)为圆心、1为半径的半圆，位于直线x=-1的右侧.4.(必修2p100习题7改编)已知点p(1，1)在圆c：x2+y2-ax+2ay-4=0的内部，则实数a的取值范围是.【答案】(-，2)【解析】因为点p在圆内，所以1+1-a+2a-40，所以a0)为半径的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.2.圆的方程的一般形式是x2+y2+dx+ey+f=0(d2+e2-4f0)，其中圆心为，半径为.3.以a(x1，y1)，b(x2，y2)为直径两端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.4.(1)设点p到圆心的距离为d，圆的半径为r.若点p在圆上，则d=r；若点p在圆外，则dr；若点p在圆内，则d0，d2+e2-4f0)，则：点p在圆c外f(m，n)0；点p在圆c上f(m，n)=0；点p在圆c内f(m，n)0)，由圆过点a(3，-2)，b(2，1)，得由x=0，得y2+ey+f=0，y1+y2=-e.由y=0，得x2+dx+f=0，x1+x2=-d.由题意知x1+x2+y1+y2=-d-e=2，解得d=-，e=，f=.故所求圆的方程为x2+y2-x+y+=0.方法二：设圆心为(a，b)，圆与x轴分别交于(x1，0)，(x2，0)，与y轴分别交于(0，y1)，(0，y2)，则根据题意知x1+x2+y1+y2=2，所以+=1，a=，b=，所以a+b=1.又因为点(a，b)在线段ab的中垂线上，所以a-3b-4=0，联立解得所以圆心为，半径r=，所以所求圆的方程为+=，即x2+y2-x+y+=0.【精要点评】求圆的方程时，要根据已知条件选择合适的形式，一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式.不论是哪种形式，都是确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式.另外，充分利用圆的几何性质，也可以求得圆的方程中的三个参数.常用的性质有：圆心在过切点且与切线垂直的直线上；圆心在任意弦的中垂线上；两圆相切时，切点与两圆心三点共线.变式1求过两点a(1，4)，b(3，2)且圆心在直线y=0上的圆的标准方程，并判断点p(2，4)与圆的位置关系.【解答】方法一：(待定系数法)设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.因为圆心在y=0上，故b=0.所以圆的方程为(x-a)2+y2=r2.因为该圆过a(1，4)，b(3，2)两点，所以解得a=-1，r2=20.所以所求圆的方程为(x+1)2+y2=20.又点p(2，4)到圆心c(-1，0)的距离d=pc=r.所以点p在圆外.方法二：(直接求出圆心坐标和半径)因为圆过a(1，4)，b(3，2)两点，所以圆心c必在线段ab的垂直平分线l上.因为kab=-1，故l的斜率为1，又ab的中点为(2，3)，故ab的垂直平分线l的方程为y-3=x-2，即x-y+1=0.又知圆心在直线y=0上，故圆心坐标为c(-1，0).所以半径r=ac=，故所求圆的方程为(x+1)2+y2=20.又点p(2，4)到圆心c(-1，0)的距离 d=pc=r，所以点p在圆外.变式2如图(1)，圆o1与圆o2的半径都是1，o1o2=4，过动点p分别作圆o1，圆o2的切线pm，pn(m，n分别为切点)，使得pm=pn，若以o1o2的中点o为原点，o1o2所在的直线为x轴建立平面直角坐标，求点p所在的圆的方程.(变式2(1)【解答】建立如图(2)所示的平面直角坐标系，则o1(-2，0)，o2(2，0).(变式2(2)由已知pm=pn，得pm2=2pn2.因为两圆的半径均为1，所以p-1=2(p-1).设p(x，y)，则(x+2)2+y2-1=2(x-2)2+y2-1，即(x-6)2+y2=33，所以点p所在圆的方程为(x-6)2+y2=33(或x2+y2-12x+3=0).与圆有关的最值问题例2若实数x，y满足x2+y2+2x-4y+1=0，求下列各式的最大值和最小值.(1)；(2)3x-4y；(3)x2+y2.【思维引导】(1)和(2)中，设所求式等于某参数，再将其转化为直线方程，利用直线与圆的位置关系求解，(3)是原点到圆上点的距离的平方问题，可用两点间距离公式求解.【解答】(1)方法一：令=k，则kx-y-4k=0.因为x，y满足x2+y2+2x-4y+1=0，所以圆心(-1，2)到直线kx-y-4k=0的距离不大于圆的半径2，即2，解得-k0，所以的最大值为0，最小值为-.方法二：令=k，则y=k(x-4)代入圆的方程，整理得(1+k2)x2+(2-4k-8k2)x+16k2+16k+1=0，因为上述方程有实数根，所以=(2-4k-8k2)2-4(1+k2)(16k2+16k+1)0，化简整理得21k2+20k0，解得-k0，所以的最大值为0，最小值为-.(2)方法一：设3x-4y=k，则3x-4y-k=0，圆心(-1，2)到该直线的距离不大于圆的半径，即2，解得-21k-1，所以3x-4y的最大值为-1，最小值为-21.方法二：设k=3x-4y，即y=x-，代入圆的方程，整理得25x2-(16+6k)x+k2+16k+16=0，因为上述方程有实根，所以=(-16-6k)2-425(k2+16k+16)0，化简整理得k2+22k+210，解得-21k-1，所以3x-4y的最大值为-1，最小值为-21.(3)方法一：先求出原点与圆心之间的距离d=，根据几何意义，知x2+y2的最大值为(+2)2=9+4，最小值为(-2)2=9-4.方法二：由(1)的方法知，圆的方程中的x，y变为0，2)，所以x2+y2=(-1+2cos )2+(2+2sin )2=9+8sin -4cos =9+4sin(+)，其中tan =-，所以9-4x2+y29+4，即x2+y2的最大值为9+4，最小值为9-4.【精要点评】本题的每一小题都给出了不同的解法，希望读者仔细研读，比较优劣，选择自己容易把握的方法.涉及圆的最值的问题主要有三种类型：(1)斜率型：=k，其本质是动直线的斜率变化问题，可用例题中第(1)题的两种方法求解.(2)截距型：ax+by=t，其本质是动直线的截距变化问题，可用例题中第(2)题的两种方法求解.(3)距离型：(x-a)2+(y-b)2=s，其本质是定点到圆上的点的距离问题，可用例题中第(3)题的两种方法求解.变式设点p(x ，y)为圆x2+y2=1上任一点，求下列两个式子的取值范围.(1)；(2)x2+y2-2x+6y+1.【思维引导】(1)将u=变形为y-2=u(x+1)，则该直线与圆x2+y2=1恒有公共点；(2)将圆的方程通过三角代换变成三角式代入求出表达式，利用参数求出范围.【解答】(1)方法一：由u=得，y-2=u(x+1)，此直线与圆x2+y2=1有公共点，故圆心(0，0)到直线的距离d1，即1，解得u-，所以的取值范围是.方法二：由消去y后得(u2+1)x2+(2u2+4u)x+(u2+4u+3)=0，此方程有实数根，故=(2u2+4u)2-4(u2+1)(u2+4u+3)0，解得u-，所以的取值范围是.(2)将圆的方程x2+y2=1通过三角代换，变为0，2)，所以x2+y2-2x+6y-1=1-2cos +6sin +1=2+6sin -2cos =2+2sin(+)，所以x2+y2-2x+6y-1的取值范围是2-2，2+2.与圆有关的实际问题例3有一种大型商品在a，b两地都有出售，且价格相同.某地居民从两地之一购得商品后运回的费用：每单位距离a地的运费是b地的运费的3倍.已知a，b两地的距离为10 km，顾客选择a地或b地购买这种商品的标准：包括运费和价格的总费用较低.求a，b两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购物地点.【思维引导】建立适当的坐标系，设出符合某种条件的点，从而表示出这一点与a和b两点的距离与费用，如果到a地购买比到b地购买总费用低，则有价格+a地运费价格+b地的运费.(例3)【解答】以a，b所确定的直线为x轴，ab的中点o为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系.因为ab=10，所以a(-5 ，0)，b(5 ，0).设某地p的坐标为(x ，y)，且p地居民选择a地购买商品便宜，并设a地的运费为3a元/km，b地的运费为a元/km.因为p地居民购物总费用满足条件：价格+a地运费价格+b地的运费，即3aa.因为a0，所以3，化简整理得+y2，所以以点为圆心、为半径的圆是两地购货的分界线.圆内的居民从a地购物便宜；圆外的居民从b地购物便宜；圆上的居民从a，b两地购物的总费用相等，因此可随意从a，b两地之一购物.【精要点评】本题的关键是建立坐标系，引入坐标研究曲线的形状，这也是解析几何的最基本的思想.每单位距离a地的运费是b地的运费的3倍转化为几何条件即为pa=3pb，动点的轨迹是一个圆.变式如图(1)是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度ab=20 m，拱高op=4 m，每隔4 m需用一支柱支撑，求支柱a2p2的高度.(精确到0.01 m，28.72)(变式(1)【解答】建立如图(2)所示的坐标系，设该圆拱所在圆的方程为x2+y2+dx+ey+f=0，由于圆心在y轴上，所以d=0，方程即为x2+y2+ey+f=0.(变式(2)因为p，b都在圆上，由题意知其坐标分别为(0，4)，(10，0)，所以解得f=-100，e=21.所以这个圆的方程是x2+y2+21y-100=0.把点p2的横坐标x=-2代入这个圆的方程，得(-2)2+y2+21y-100=0，即y2+21y-96=0.因为p2的纵坐标y0，故应取正值，所以y=3.86(m).所以支柱a2p2的高度约为3.86 m.1.(2015北京卷改编)圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是.【答案】(x-1)2+(y-1)2=2【解析】由题意可得圆的半径为r=，则圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=2.2.若点p(1，)在圆x2+y2-2ax-2ay=0的内部，则实数a的取值范围是.【答案】【解析】由点p在圆的内部，得1+3-2a-6a.3.若直线l：ax+by+4=0(a0，b0)始终平分圆c：x2+y2+8x+2y+1=0，则ab的最大值为.【答案】1【解析】圆c的圆心坐标为(-4，-1)，则有-4a-b+4=0，即4a+b=4.所以ab=(4ab)=1，当且仅当a=，b=2时取等号.4.若实数x，y满足方程x2+y2-4x+1=0，则的最大值为，最小值为.【答案】-【解析】因为=，所以表示过点p(-1，0)与圆(x-2)2+y2=3上的点(x，y)的直线的斜率.如图，由图象知的最大值和最小值分别是过点p与圆相切的直线pa，pb的斜率，kpa=，kpb=-=-=-，故的最大值为，最小值为-.(第4题)趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习第111112页.【检测与评估】第56课圆的方程一、 填空题1.与圆(x+2)2+y2=5关于原点(0，0)对称的圆的方程为.2.若直线y=x+b平分圆x2+y2-8x+2y+8=0 的周长，则实数b的值为.3.若点(1，1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部，则实数a的取值范围是.4.圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程为.5.(2015全国卷改编)已知abc顶点的坐标分别为a(1，0)，b(0，)，c(2，)，则abc外接圆的圆心到原点的距离为.6.已知实数x，y满足(x-2)2+(y+1)2=1，则2x-y的最大值与最小值的和为.7.若方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0表示一个圆，则实数m的取值范围为.8.已知点p(a，b)关于直线l的对称点为p(b+1，a-1)，那么圆c：x2+y2-6x-2y=0关于直线l对称的圆c的方程为.二、 解答题 9.已知abc顶点的坐标分别为a(0，0)，b(1，1)，c(4，2)，求abc外接圆的方程.10.若方程ax2+ay2-4(a-1)x+4y=0表示圆，求实数a的取值范围，并求出半径最小的圆的方程.11.如图，为保护河上古桥oa，规划建一座新桥bc，同时设立一个圆形保护区.规划要求：新桥bc与河岸ab垂直；保护区的边界为圆心m在线段oa上并与bc相切的圆，且古桥两端o和a到该圆上任意一点的距离均不少于80 m.经测量，点a位于点o正北方向60 m处，点c位于点o正东方向170 m处(oc为河岸)，tanbco=.(1)求新桥bc的长.(2)当om多长时，圆形保护区的面积最大?(第11题)三、 选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.已知圆c关于y轴对称，经过点(1，0)且被x轴分成两段弧长之比为12的圆弧，那么圆c的方程为.13.已知点p(x，y)是圆x2+(y-1)2=1上任意一点，若点p的坐标满足不等式x+y+m0，则实数m的取值范围是.【检测与评估答案】第56课圆的方程1.(x-2)2+y2=5【解析】圆心(-2，0)关于原点(0，0)的对称点为(2，0)，所以所求圆的方程为(x-2)2+y2=5.2. -5【解析】圆心坐标为(4，-1)，由直线y=x+b平分圆，知-1=4+b，所以b=-5.3.(-1，1)【解析】因为点(1，1)在圆的内部，所以(1-a)2+(1+a)24，解得-1a0，即有4(m+3)2+