高中数学函数的极大值和极小值.doc

金太阳新课标资源网 典例剖析题型一 函数极值的求法例1 已知在与时，都取得极值(1) 求的值；(2)若，求的单调区间和极值；分析：可导函数在点取到极值时，；求函数极值时，先求单调区间，再求极值。解：（1）f (x)3x22a xb0由题设，x1，x为f (x)0的解a1，1()a，b2 （2）f (x)x3x22 xc，由f (1)12c，c1f (x)x3x22 x1x（，）（，1）（1，）f (x)f (x)的递增区间为（，），及（1，），递减区间为（，1）当x时，f (x)有极大值，f ()；当x1时，f (x)有极小值，f (1) 评析：列表求单调区间和极值不容易出错。题型二 例2 设函数的图象如图所示，且与在原点相切，若函数的极小值为，（1）求的值；（2）求函数的递减区间分析;从图上可得是函数的极大值点，函数的图象经过（0，0）点且图象与x轴相切于（0，0）点，可先求出的值。分析;从图上可得是函数的极大值点，函数的图象经过（0，0）点且图象与x轴相切于（0，0）点，可先求出的值。解：（1）函数的图象经过（0，0）点 c=0，又图象与x轴相切于（0，0）点，=3x2+2ax+b 0=302+2a0+b，得b=0 y=x3+ax2，=3x2+2ax当时，当时，当x=时，函数有极小值4 ，得a=3（2）=3x26x0，解得0x2 递减区间是（0，2）评析：求出的值后，利用导数就可求出单调区间。备选题例3：已知函数+lnx, 求的极值.解;因为f(x)=-, 令f(x)=0，则x=注意函数定义域为（0，），所以驻点是x=,当x(0, )时f(x)0, 为增函数，所以x=是极小值点，的极小值为f()=(1+ln2),没有极大值。评析：注意函数的定义域点击双基1、函数y=1+3x-x有 （ ）A极大值1，极小值-1， B。极小值-2，极大值2C极大值3 ，极小值 2， D。极小值-1，极大值32、函数y=3+mx+x有极值的充要条件是 ( )A m0 B m0 C m0 D, m03、 f(x)在区间（a,b）的图像如右Y则f(x) 在区间（a,b）内有极大值点（ ）A 2个 B。3个 C 4个 D 1个aABCD x0b4、y=x+的极大值为极小值为5、若函数在处有极大值，则常数的值为_；课外作业一选择题1、函数在一点的导数值为是函数在这点取极值的（ ）A充分条件 B必要条件 C充要条件 D必要非充分条件2、函数,已知在时取得极值,则( )A.2 B.3 C.4 D.53、函数=-x+3x-3x+6有 （ ）A.极大值5 B 极小值5 C极小值1 D无极值4、函数的极大值为6，那么等于（ ）A.6 B.0 C.5D.115、下列四个函数，在处取得极值的函数是（ ） A.B. C.D.6、函数=ax+3x+(a-1)x-5有极值的充要条件是（ ）A a=-3或a=4 B -3a4或a-3 D aR7、如右图是函数的导数的图象，则有( )A,唯一极值点x=1 B x=0极大值点，x=2是极小值点C x=0极小值点，x=2是极大值点 D无极值8、函数=2sinx-x则有 ( )A x=是极小值点, B x=是极小值点C x=是极大值点, D x=是极大值点,二填空题9、函数的极大值为 10、函数=-x-的极大值为 11、函数y=x34x+的极小值为 三解答题思悟小结1.可导函数f（x）在极值点的导数为0，但是导数为0的点不一定是极值点.如果f（x）在x0处连续，在x0两侧的导数异号，那么点x0是函数f（x）的极值点.2.求可导函数f（x）的极值的步骤如下：（1）求f（x）的定义域，求（x）；（2）由（x）=0，求其稳定点；（3）检查（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取极小值；如果左右同号，那么f（x）在这个根处不取极值.参考答案例2 点击双基1、解：=-3+3,令=0得x= -1或x=1，易得x= -1是极小值点，x=1.是极大值点，故选D，2、解：=3+m=0则方程要有两解，函数y=3+mx+x才有极值。所以m0,解得-3a0，在x=右侧0,所以x=是极大值点，故选C二填空题9、解：，当时，；当时， 当时，10、 解：令=-1+0，则x(-,0)或x(0, )，令=-1+0, 则x(-)或x(,+) ，所以极大值为=-2， 11、解：，极小值在时取到，极小值为三解答题12、求函数的极值。解：y= 令y=0的=-2,=2函数驻点左右的符号如下表所示：x(-,-2) (-2,2) (2,)y+ _ +y x=-2是极大值点，x=2是极小值点所以极大值是y=, 极小值是y=-13、求函数的极值：y 2 e x e、解一; y2 exex令y0 2exex 2 e2x1e2 x x ln 2在x ln2附近 y由负到正 y有极小值，y极小2解二: y2 e x ex令y0 则x ln 2y2 e x ex由于：y(ln 2) 2 ee20说明y在x ln 2附近是增函数，即由负到正，所以y有极小值214、求函数y x48 x 2 2的极值：解：y4 x316 x，令y0，解得x10，x22，x32当x