（通用版）高考数学三轮考点总动员 专题1.7 概率与统计、推理与证明、算法 理（含解析）.doc

专题1.7 概率与统计、推理与证明、算法1古典概型计算三注意：第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；第三，事件a是什么，它包含的基本事件有多少个2.求解几何概型的概率问题，一定要正确确定试验的全部结果构成的区域，从而正确选择合理的测度，进 而利用概率公式求解(1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可；(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型3.求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；(2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”、“至少”型题目，用间接法就显得比较简便4相互独立事件与n次独立重复试验(1)若a1，a2，an是相互独立事件，则p(a1a2an)p(a1)p(a2)p(an)(2)如果在一次试验中事件a发生的概率为p，事件a不发生的概率为1p，那么在n次独立重复试 验中事件a发生k次的概率为：pn(k)cpk(1p)nk.5离散型随机变量的分布列、期望与方差的基本公式：e()x1p1x2p2xnpn；d()(x1e()2p1(x2e()2p2(xne()2pn；e(ab)ae()b，d(ab)a2d()；二项分布：b(n，p)，则p(k)cpk(1p)nk，e()np，d()np(1p).6. 正确把握三种抽样方法的适用范围及特点，能根据具体情况正确选择抽样方法：当总体中的个体个数较少时，通常采用简单随机抽样，一般可用从总体中逐个抽取的；当总体中的个体个数较多且均衡时，通常采用系统抽样，将总体平均分成几部分，按一定的规则分别在各部分中抽取；当总体是由差异明显的几部分组成时，则采用分层抽样，将总体按差异分成几层，按分层个体数之比抽取7.频率分布直方图：画一个只有横、纵轴正方向的直角坐标系，把横轴分成若干段，每一段对应一个组的组距，然后以此段为底作一矩形，它的高等于该组的，这样得出一系列的矩形，每个矩形的面积恰好是该组上的频率，这些矩形就构成了频率分布直方图.在频率分布直方图中，每个小矩形的面积等于相应数据的频率，各小矩形的面积之和等于；8.样本的数字特征：（1）众数：一组数据中，出现次数最多的数据就是这组数据的众数（一组数据中的众数可能只有一个，也可能有多个）.在频率分布直方图中，最高的矩形的中点的横坐标即为该组数据的众数；（2）中位数：将一组数据由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.在频率分布直方图中，中位数对应的直线的左右两边的矩形面积之和均为，可以根据这个特点求频率分布直方图中的中位数；（3）平均数：设个数分别为、，则叫做这个数的算数平均数.在频率分布直方图中，它等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和；（4）方差：设个数分别为、，则叫做这个数的方差，方差衡量样本的稳定性的强弱.一般来讲，方差越大，样本的稳定性越差；方差越小越接近于零，样本的稳定性越强；9.两个分类变量的独立性检验的一般步骤：1）列出两个分类变量的列联表： 2）假设两个分类变量、无关系；3）求 ；4）把的值与临界值比较，确定、有关的程度或无关系.10.综合法与分析法的关系 （1）分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件、基础知识之间的关系，找到解决问题的思路，再运用综合法证明，或者在证明时将两种方法交叉使用 (2)用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)”“即要证”“就要证”等分析到一个明显成立的结论p，再说明所要证明的数学问题成立11.算法 (1)利用循环结构表示算法，第一要先确定是利用当型循环结构，还是直到型循环结构；第二要选择准确的表示累计的变量；第三要注意在哪一步开始循环，满足什么条件不再执行循环体(2)关于赋值语句，有以下几点需要注意：赋值号左边只能是变量名字，而不是表达式，例如3m是错误的赋值号左右不能对换，赋值语句是将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量，例如yx，表示用x的值替代变量y的原先的取值，不能改写为xy.因为后者表示用y的值替代变量x的值在一个赋值语句中只能给一个变量赋值，不能出现一个或多个“”1将四个数字随机填入右边的方格中每个方格中恰填一个数字且数字可重复使用 则事件“方格的数字大于方格的数字，且方格的数字大于方格的数字”的概率为（ ） a b c d 【答案】c【要点回扣】古典概型2小明通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆中投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末看电影；若此点到圆心的距离小于，则周末打篮球；否则就在家看书那么小明周末在家看书的概率是 【答案】【解析】设“看电影”、“打篮球”、“看书”三个事件分别为a、b、c，则这三个事件互斥，而且，又，所以；【要点回扣】1几何概型；2互斥事件；3已知一个三角形的三边长分别是5,5,6,一只蚂蚁在其内部爬行,若不考虑蚂蚁的大小,则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的概率是 【答案】【解析】由已知三角形的面积为，阴影部分的面积为，故某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的概率是【要点回扣】几何概型4已知研究与之间关系的一组数据如下表所示，则对的回归直线方程必过点（ ） 01231357 a b c d 【答案】d【要点回扣】线性回归方程的定义5在样本频率分布直方图中，样本容量为，共有个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他个小长方形面积和的，且则中间一组的频数为 【答案】32【解析】设中间一组频数为x，由题意，中间一个小长方形的面积等于其他个小长方形面积和的，则另外10组频数为，因为样本容量为160，所以，所以【要点回扣】频率分布直方图6一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在2500，3000）（元）月收入段应抽出 人【答案】25【解析】试题分析：由题可知，区间在2500，3000）之间出现的频率为，分层抽样方法抽出100人中，此部分人应该有；【要点回扣】频率分布直方图的计算7在区间上随机选取一个数m，不变执行如图所示的程序框图，且输入的值为1，然后输出的值为n，则的概率为（ ）a b c d【答案】c【解析】.这是一个循环结构，循环的结果依次为：.最后输出3.所以在区间上随机选取一个数m，则的概率为，选c.【要点回扣】程序框图.8执行右面的程序框图，若输出结果为，则可输入的实数值的个数为（ ） a b c d【答案】c【解析】根据题意，当时，令，得；当时，令，得，故输入的实数值的个数为3【要点回扣】程序框图及对数的运算9.为如图所示的程序框图中输出的结果，则化简 的结果是 a b c d【答案】a【解析】；即值具有周期性，周期为3；而；所以输出值为2；则【要点回扣】程序框图与诱导公式10用秦九韶算法求多项式 ,当时,的值为 （ ） a.27 b.86 c. 262 d.78【答案】c【解析】根据秦九韶算法求多项式的规则变化其形式，得出结果即可.，故，当x=3时，。【要点回扣】算法思想11执行如图所示的伪代码，则输出的结果为 【答案】11【解析】试题分析：i=1，17成立，s=3，i=3；37成立，s=7，i=5；57，s=11，i=7；77不成立，输出11。【要点回扣】1.程序框图；2.循环结构；12设abc的三边长分别为a、b、c，abc的面积为s，内切圆半径为r，则，类比这个结论可知：四面体sabc的四个面的面积分别为s1、s2、s3、s4，内切球半径为r，四面体sabc的体积为v，则r=（ ） a. b. c. d.【答案】c【解析】设四面体的内切球的球心为o，则球心o到四个面的距离都是r，所以四面体的体积等于以o为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和则四面体的体积为 ，r=【要点回扣】类比推理13学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，则这一组学生最多有（ ） a.2人 b.3人 c.4人 d.5人【答案】b【解析】用abc分别表示优秀、及格和不及格，显然语文成绩得a的学生最多只有1个，语文成绩得b得也最多只有一个，得c最多只有一个，因此学生最多只有3人，显然（ac）（bb）（ca）满足条件，故学生最多有3个故选：b【要点回扣】合情推理14已知有下列各式：，成立，观察上面各式，按此规律若，则正数（ ） a4 b5 c d【答案】c【解析】观察给出的各个不等式，不难得到，从而第4个不等式为，所以当时，正数，选c【要点回扣】寻找规律，归纳推理。15设是坐标原点，ab是圆锥曲线的一条不经过点且不垂直于坐标轴的弦，m是弦ab的中点，分别表示直线ab,om的斜率。在圆中，在椭圆中，类比上述结论可得 。【答案】【解析】设，则中点，所以，则，又因为都在椭圆上，所以，两式相减整理得，所以【要点回扣】类比推理16若数列的通项公式为,试通过计算的值，推测出_.【答案】【解析】由题意得，所以由此可得.【要点回扣】归纳推理17. (福建省莆田一中、泉州五中、漳州一中2015届高三上学期三校联考数学理14)正偶数列有一个有趣的现象：；按照这样的规律，则2012在第 个等式中。【答案】31【解析】发现这些数一次列出是成等差数列的，2012是第1006个数，第一个式子由3个数，第二个式子5个数，第n个式子2n+1个数，则第一个式子到第n个式子共个数，当时，第一个式子到第30个式子共个，当时，第一个式子到第31个式子共，故2012在第31个等式中【要点回扣】推理与证明18某班组织的数学文化节活动中，通过抽奖产生了名幸运之星这名幸运之星可获得、两种奖品中的一种，并规定：每个人通过抛掷一枚质地均匀的骰子决定自己最终获得哪一种奖品，抛掷点数小于的获得奖品，抛掷点数不小于的获得奖品（1）求这名幸运之星中获得奖品的人数大于获得奖品的人数的概率；（2）设、分别为获得、两种奖品的人数，并记，求随机变量的分布列及数学期望【答案】（1）；（2）详见解析，；【解析】试题分析：（1）获得奖品的人数大于获得奖品的人数即为“获得奖品3人，获得奖品2人”或“获得奖品4人，获得奖品1人”或“获得奖品5人，获得奖品0人”；（2）的可能取值为，即为“获得奖品3人，获得奖品2人”或“获得奖品2人，获得奖品3人”；即为“获得奖品4人，获得奖品1人”或“获得奖品1人，获得奖品4人”；即为“获得奖品5人，获得奖品0人”或“获得奖品0人，获得奖品5人”；试题解析：这名幸运之星中，每人获得奖品的概率为，奖品的概率为（1）要获得奖品的人数大于获得奖品的人数，则奖品的人数可能为，则 则所求概率为（2）的可能取值为，且， ， 所以的分布列是：故随机变量的数学期望 【要点回扣】1独立事件的概率；2随机变量的概率分布和数学期望；19.右图为某校语言类专业n名毕业生的综合测评成绩（百分制）分布直方图，已知8090分数段的学员数为21人（1）求该专业毕业总人数n和9095分数段内的人数；（2）现欲将9095分数段内的名毕业生分配往甲、乙、丙三所学校，若向学校甲分配两名毕业生，且其中至少有一名男生的概率为，求名毕业生中男女各几人（男女人数均至少两人）？（3）在（2）的结论下，设随机变量表示n名毕业生中分配往乙学校的三名学生中男生的人数，求的分布列和数学期