浙江省衢州市高三数学4月教学质量检测试题 理（含解析）.doc

浙江省衢州市2015届高三数学4月教学质量检测试题 理（含解析）第卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，, 则下列结论正确的是（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】试题分析：，所以，选c.考点：集合的基本运算.2.下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（ ）a. b. c. d.【答案】b考点：函数的奇偶性及单调性.3.已知直线，则“”是“”的（ ）a.充分不必要条件 b.必要不充分条件 c.充要条件 d.既不充分也不必要条件【答案】a【解析】试题分析：当时，所以.故为充分条件.当时，所以不是必要条件.选a.考点：1、充要条件；2、平面内两直线的垂直关系.4.若是不相同的空间直线，是不重合的平面，则下列命题正确的是（ ） a. b b. c. d. 【答案】c【解析】试题分析：对a.或异面，故a错；对b. 或相交或异面，故b错；对c. ，正确；对d. 或相交或，只有当垂直于的交线时，才有，故d错.考点：空间直线平面间的位置关系.5.已知实数满足： ，若的最小值为，则实数（ ）a. b. c. d. 8【答案】b【解析】试题分析：作出不等式组表示的区域如下图所示，从图可知，直线过点时，的值最小，所以.选b.考点：线性规划.6.为了得到函数的图像，可以将函数的图像（ ） a.向右平移 b.向右平移 c.向左平移 d.向左平移【解析】d试题分析：，所以将的图象向左平移可得的图象.考点：三角函数图象的变换.7.设点是曲线上的动点，且满足，则的取值范围为（ ） a. b. c. d. 【答案】a考点：1、曲线与方程；2、不等式.8.在等腰梯形中， 其中，以为焦点且过点的双曲线的离心率为，以为焦点且过点的椭圆的离心率为，若对任意不等式恒成立，则的最大值为（ ）a. b. c. 2 d. 【答案】b【解析】试题分析：设双曲线的实半轴为，则.设椭圆的长半轴为，则.所以.令，则，在上，都为增函数，又，所以在上，从而，所以在上单调递减.又在上单调递减，所以 在上单调递减，故，即.若对任意不等式恒成立，则.选b.考点：1、圆锥曲线；2、函数的应用.第卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）9.已知双曲线：，则它的焦距为_ _；渐近线方程为_ _；焦点到渐近线的距离为_ _【答案】.【解析】试题分析：所以焦距为，渐近线方程为，焦点到准线的距离即为.考点：双曲线.10.已知等差数列的前项和为,，则_ ，_ 【答案】【解析】试题分析：由题设得：，解之得：，.考点：等差数列.11.三棱锥中，平面，为侧棱上一点，它的正视图和侧视图 （如下图所示），则与平面所成角的大小为_ _；三棱锥的体积为 _ _【答案】【解析】试题分析：由题设及正视图可知，又由平面得，所以平面，即与平面所成角为.三棱锥的体积.考点：1、三视图；2、三棱锥的体积.12.在中，若，则其形状为_ _，_ .（锐角三角形 钝角三角形 直角三角形，在横线上填上序号）；【答案】，【解析】试题分析：由知，所以是直角三角形， ，利用数量积的几何意义得.考点：平面向量.13.已知满足方程，当时，则的最小值为 _ 【答案】8【解析】试题分析：.易知表示抛物线上的点与点的连线的斜率，从图可知，所以.考点：重要不等式.14.过抛物线的焦点作一条倾斜角为锐角,长度不超过的弦,且弦所在的直线与 圆有公共点,则角的最大值与最小值之和是_ _【答案】【解析】试题分析：抛物线的焦点为，则过焦点的直线方程为，代入得，弦长为.据题意得，所以.将变形得，由得，综合得，所以角的最大值与最小值之和.考点：直线与圆锥曲线.15.已知函数，若关于的方程有个不同的实数根，且所有实数根之和为，则实数的取值范围为_ _【答案】【解析】考点：函数与方程.三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16.（本题满分15分）已知函数 . （）求函数的单调增区间； （）在中，内角所对边分别为，若对任意的不等式 恒成立，求面积的最大值【答案】（）；（）.【解析】试题分析：（）将函数降次化一得，根据正弦函数的单调性可得函数的单调增区间；（）对任意的不等式恒成立，意即当时，取得最大值，所以.又，所以，由此得.要求面积的最大值，只需求出的最大值即可.由余弦定理得即，由此即可得面积的最大值. 试题解析：（） 由 解得 所以函数的单调增区间为 （）由题意得当时，取得最大值，则及 解得，所以 由余弦定理得 即 所以当时， 考点：1、三角恒等变换；2、三角函数的性质；3、解三角形；4、不等式.17.（本题满分15分）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，点分别为的中点，且，（）证明：平面； （）设直线与平面所成角为，当在内变化时，求二面角的取值范围【答案】（）详见解析；（）二面角取值范围为 【解析】（）解法1：连接，因为，点分别为的中点，则又平面，则 所以即为二面角的平面角又，所以 平面，则平面平面过点在平面内作于，则平面连接，于是就是直线与平面所成的角，即=在中，；在中，又，即二面角取值范围为解法2：连接，因为，点分别为的中点，则又平面，则 所以即为二面角的平面角，设为以所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，于是，设平面的一个法向量为，则由得可取，又，于是，又，即二面角取值范围为考点：1、空间直线与平面的位置关系；2、二面角.18.(本题满分15分)已知椭圆：过点，离心率为.（）求椭圆的标准方程；（）设分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于不同两点，记的内切圆的面积为，求当取最大值时直线的方程，并求出最大值【答案】（）椭圆的标准方程为；（）.【解析】试题分析：（）由题意得 ，解这个方程组即可得，从而得椭圆的标准方程为.（）设，的内切圆半径为，则，所以要使取最大值，只需最大. . 设直线的方程为 ，将代入可得，利用根与系数的关系可得，记，则，显然这个函数在上递减，当即时三角形的面积最大，由此可得.试题解析：（）由题意得 解得 椭圆的标准方程为. （）设，的内切圆半径为，则 所以要使取最大值，只需最大 设直线的方程为 将代入可得(*) 恒成立，方程(*)恒有解， 记 在上递减， 所以当即时，此时.考点：1、椭圆的标准方程；2、直线与圆锥曲线的位置关系；3、函数的最值.19.（本题满分15分）设各项均为正数的等比数列的公比为，表示不超过实数的 最大整数（如），设，数列的前项和为，的前项和为.（）若，求及；（）若对于任意不超过2015的正整数,都有 ，证明:【答案】（），；（）证明详见解析. 【解析】试题分析：（）根据等比数列的前项和公式及条件可得. 由于是一个取整函数，所以必然对中的项分情况讨论.因为，时，所以，这样分情况可求出. （）根据前项和公式求，则用公式.所以由可得，.因为，所以，其中.又因为，所以.待证不等式等价于，而，所以根据便可得出，从而问题得证.试题解析：（） 所以 则 因为，且 所以 即 （）因为 因为，所以，其中. 又因为，所以. (1) (2) 由（1）（2）两式可得 考点：数列与不等式.20.(本题满分14分)设为函数两个不同零点.（）若，且对任意,都有，求；（）若，则关于的方程是否存在负实根?若存在,求出该负根的取值范围，若不存在，请说明理由；（）若，且当时，的最大值为，求的最小值.【答案】（）；（）存在，其范围为；（）.【解析】试题分析：（）由得函数关于对称，从而，再将代入方程得，联立解方程组，由此得 ；（）首先应考虑去掉绝对值.因为，所以时的根必然大于0，故只需考虑时的情况.当时方程可化为：，即.用求根公式可求出这个方程的负根：.令，则，在上单调